数学最全公式.pdf

MBA 大师-联考数学最全公式 数列 一.数列的定义 通常简记为 二.数列的通项公式 与之间的关系，一般用= ()来表示 三.数列的分类 （1）有穷数列和无穷数列 （2）单调数列、摆动数列、常数列 四. 与的关系 = ( = ) ( ) 等差数列 一.等差数列的定义 = ( ， )或+ = ( ) 二.等差数列的通项公式 = + ( ) = + = + = 与的一次函数关系，其斜率为，在轴上的截距为 = + ( ) = ( ) 三.等差数列的增减性 递增数列 ，次数列为递增数列；若公差 或 或 为递减数列 = 为常数列 4.非负性：即| ，任何实数 的绝对值非负，其他具有非负性的因素：平方数（或偶 次乘方），如,；开偶次根号, 。 5.同号异号性质：| + |=|+| | |=|+| | | | + | |；右边 等 号成立条件为 。 三.两个特殊绝对值模型 1.平底锅型：() = | | + | | ，此种函数表达式，没有最大值，只有最小值。 且在两个零点之间取得最小值 | | 。图像的表现为两头高，中间平，类似于平底锅。 2.Z 字型： () = | |-| |此种函数表达式，既有最大值也有最小值，分 别在 零点的两侧取得且两个最值为| |。图像的表现为两头平，中间斜。 例： ()=| | | | = = 四.基本不等式 | )的实数所有对应的就是全部与原点距离小于 的点 即| （ ） 总结：大于取两边，小于取中间 比与比例 一.比 两个数相除，又称为这两个数的比，即: = ； 二.比例的基本性质 1.两个外项的积等于两个内项的积，即: = : = 2.比的前项后项同时乘或除以相同的数（除 0），比值不变； 3.: = : = : = : : = : 三.比例的基本定理 1.合比定理： = + =+ 2.分比定理： = = 3.合分比定理： = = 4.等比定理： = = = = + + 平均值 一.算术平均值 设个数, ,，称 =+ + 为这个数的算术平均值，简记为 = = 二.几何平均值 设个正整数, ,， 称= 为这个数的几何平均值， 简记为= = （几何平均值是相对于正数而言） 三.基本定理 当, ,为个正数时，他们的算术平均值不小于几何平均值 即:+ + ，当且仅当= = = 时，等号成立。 四.其他定理 1.若 , ,则+ 当且仅当 = 时等号成立。 2.当 + ,( ),即对正数而言互为倒数的两个数之和不小于 2，且当 = 时取得最 小值是 2。 代数式 一.代数式的分类 有理式 无理式 整式 分式 单项式 多项式 代数式 二.整式（单项式、多项式） 1.常用公式 平方差公式： =( + )( ) 完全平方公式：( )= + 立方和与立方差公式： =( )( + ) 三元完全平方和公式：( + + )=+ + + 完全立方和公式：( + )=+ + ( )+ ( )+ ( )=2+ + 2.多项式因式多项式因式的的分解分解 把一个多项式表示成几个整式之积的形式， 叫作多项式的因式分解。 在指定把一个多项式表示成几个整式之积的形式， 叫作多项式的因式分解。 在指定数集内因式数集内因式 分解时， 通常要求最后结果中的每一个因式均不能在该数集内继续分解。 多项式因式分解常分解时， 通常要求最后结果中的每一个因式均不能在该数集内继续分解。 多项式因式分解常 用方法如下：用方法如下： 方法一方法一：提公因式法提公因式法 方法二方法二：公式法公式法（乘法公式从右至左，即为因式分解公式）（乘法公式从右至左，即为因式分解公式） 方法三方法三：求根法：求根法 若方程若方程+ + + + = 有有个根个根,，则多项式则多项式 + + + + = ( )( )( )( ) 方法四：二次三项式的十字相乘法 方法五：分组分解法 方法六：待定系数法 3.余数定理和因式定理 余数定理：() = + + + + ，则()除以一次因式( )所得 的余数一定是()；因为() = ( )() + ，令 = ，必有() = . 因式定理：多项式()含有因式( )，即()被( )整除的充要条件是() = （即 r=0） 二.分式及运算 1.定义：若 A、B 表示两个整式，且 B0，B 中含有字母，则称 是分式。分子和分母没有 正次数的公因式的分式，称为最简分式（或既约分式）. 2.基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的式子，分式的值不 变，即有 = ( ). 方程与不等式 一.方程 1.一元一次方程、二元一次方程 一元一次方程的形式是 + = ，其中 ，它的根为 = 二元一次方程组的形式是 + = + = ， 如果 ， 则方程组有唯一解(,) 2.一元二次方程 一元二次方程的形式是+ + = ( ) （1）判别式：= （2）求根公式： = ( ) （3）根与系数的关系（韦达定理）： + = ，= 利用韦达定理可以求出关于两个根的扩展式： ： + = + ： + = ( +) ( ) ：| | = ( )= (+ ) = | ：+ = (+ ) ：+ = (+ )( + ) = (+ ) ( + ) ： + = | +| （4）二次函数图像与根的关系 = + + = ( + ) + 其图像是以 = 为对称轴，( , )为顶点的抛物线 () = + + ( ) () = 的根 () 的解集 = | = = = | + + 若 ， ；若 ， + + ； ， 若，同号，则 ， ，则 ；若 ， ，则 （2）基本不等式 基本不等式的形式： + (， ) 根式形式： + ， + + (， +) 分式形式： + (， +) 倒数形式： + ( +)，+ ( ) （3）绝对值不等式 | + | | + |( 等号成立) | + | | |(等式成立的条件是 且| |) | | | + |( 等号成立) | | | |(等式成立的条件是 且| |) | | 有限个实数之和的绝对值不大于它们的绝对值之和，即： | + + + | | + | + + | | 当它们同号时等号成立 2.一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的求解 （1）一元二次不等式 记() = + + ( )，方程() = 的两根为，且 ，= 的解集为 R，() 的解集为空集； = ，() 的解集为| ， ，() ，() 的解集为| 或 ，() 的解集为| 且 ; + + 对任意都 成立，则有： () () () ()() () 简单的绝对值不等式 |()| () 或() ) |()| |()| () () |()| |()| () () 排列组合与概率 一.两个原理 1.加法原理 如果完成一件事可以有类办法，在第类办法中有种不同的方法( = ,)，那 么完成这件事共有 = + + + 种不同的方法。 2.乘法原理 如果完成一件事需要分成个步骤，做第步有种不同的方法( = ,)，那么完 成这件事共有 = 种不同的方法。 二.排列与组合数 1.排列与排列数 （1）定义：从个不同的元素中任取( )个，按照一定的顺序排列成一列，称为 从个元素中取出个元素的一个排列，所有这些排列的个数，称为排列数，记 （2）排列数公式： = ( )( )( + ) = ! ( )! 注：阶乘（全排列） = ! 2.组合与组合数 （1）定义：从个不同的元素中任取( )个并成一个组，称为从个元素中取出 个元素的一个组合，所有这些组合的个数，称为组合数，记为 （2）组合数公式： = ! = ! !( )! （3）基本性质： = ，+ = + = = 三.古典概率的基本概念 1.概率的性质 () ，() = ，() = ( ) = () + () ( ) 如 A，B 互不相容，则( ) = () + () 2.几种特殊事件发生的概率 （1）等可能事件（古典概型）：() = （2）互不相容事件：( ) = () + () 对立事件：() + ( ) = （3）相互独立事件：( ) = ()() （4）独立重复试验 如果在一次试验中某件事件发生的概率为，那么在这次独立重复试验中这件事件恰 好发生次的概率为：() = ( ) 四.随机事件与概率 1.概率运算公式 （1）( + ) = () + () ()（加法公式） A，B 互斥时，( + ) = () + () （2）( ) = () （3）() = () ()（A，B 独立）（乘法公式） 2.独立试验序列 （1）伯努利概型：次试验中事件发生次的概率 () = ( ) （2）直到第次试验，事件才首次发生 = ( ) （3）做几次伯努利试验，直到第次，事件才发生次 = ( ) 几何 平面几何 一.三角形 （1）三角形内角之和等于 180 三角形外角等于不相邻的两个角之和。 （2）三角形的面积公式： = = = ( )( )( ) 其中是边上的高，是，边所夹的角，为三角形周长的一半. （3）三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. （4）三角形三条中线的交点是重心，则 AG：GD=2：1 （5）连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并 且长度等于第三边的一半. （6）几种特殊的三角形（直角，等腰，等边）： 勾股定理：= + 常见勾股数：3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,13 射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边 是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 在下图直角三角形 中， 为直角，斜边 上的高 分斜边为 和 ，则有： = ； = ； = 等腰直角三角形的三边之比为： 等腰三角形底边上的中线和高重合 G b D B C A A B D C （7）三角形四心： 内心：三条内角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）； 外心：三条边的垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）； 重心：三条中线的交点； 垂心：三条高线的交点； 注意：等边三角形“四心”合一 二.四边形 1.矩形（正方形） 矩形两边长为，面积为 = ，周长为 = ( + )，对角线长为+ 2.平行四边形（菱形） 平行四边形两边长是，设底边为，高为，面积为 = ，周长为 = ( + ) 性质： 平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分； 一对对边平行且相等的四边形是平行四边形； 平行四边形的面积为底乘高： = （其中 , 分别为平行四边形两边长，以 为底边的高为）；周长 = ( + ) 3.梯形 上底为，下底为，高为，中位线为 ( + ),面积为 = ( + ) 三.圆和扇形 1.圆 圆的圆心为，半径为，则： 周长为 = 面积为 = 2.扇形的弧长 = = 其中其中为扇形角的弧度，为扇形角的弧度，为角度，为角度，为扇形半径为扇形半径 3.角的弧度 把圆弧长度和半径的比值称为圆周角的弧度。 度与弧度的换算关系：弧度= , = 几常用的角： = ， = ， = ， = ， = ， = 3.扇形 扇形 OAB 中，圆心角为，则弧长 = ，扇形面积 = = ，弓形面积： = 扇 4.圆的图形特点 圆是轴对称图形， 对称轴是经过圆心的任一直线， 反映圆的轴对称性质的定理是 “垂径” 定理及其逆定理：凡（1）过圆心的线，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所对 的弧，在图形中出现两个，就能推出其他两个。 圆有旋转不变性，反映这条性质的“弦、弧、弦心距、圆心角之间的关系”定理：在同 圆或等圆中，（1）弦相等，（2）弧（劣弧）相等，（3）弦心距相等，（4）圆心角相等， 只要具有其中一个，就能推出其他几个。 4.圆的性质 在圆 o 中，半径为，线段,是过圆外点 A 的两条切线，则： （1）半径为的圆，面积等于,圆周长等于； （2）直径所对的圆周角是直角； （3）弧所对应的圆周角是其所对应的圆心角的一半； （4）等弧对等角（圆周角、圆心角）； （5）圆的切线在切点处与半径垂直； （6）从圆外一点所作圆的两根切线相等。即：= 解析几何 一.平面直角坐标系 1.基本概念： （1）平面直角坐标系、象限 平面内点的坐标表示为： (,) 其中：为点的横坐标，为点的纵坐标。 象限中的点坐标关系如右图所示。 （2）两点间距离公式： 两点 (, )及 (, )间的距离 = ( )+ ( ) 特别的：点 (, )与坐标原点 (,) 的距离为 = + （3）中点公式： 设 (, ), (, ) 则线段 的中点(, )的坐标为：= ( + ), = ( + ). 二.平面直线 1. 直线的倾斜角与斜率： 直线的倾斜角：直线与轴正方向的夹角，记为，且 0 第二象限 第三象限 时成立） 3.直线与圆的位置关系 直线 : = + ; 圆：( )+ ( )= ；为圆心（, ）到直线的距离. 直线与圆的位置关系 图形 成立条件 相离 直线直线 相切 直线直线 = 相交 直线直线 ); 为圆心（, ）到圆心（, ）的距离。 O O 圆与圆位置关系 图形 成立条件 公共内切线 公共外切线 包含 0 内切 = 0 相交 且 ); （2）=中叫做底数，叫做真数，叫做以为底的对数； （3）对数恒等式：=( , 且 ) （4）对数运算法则： ()= + ( )= - = = B 0 1 1 1 0 且 ) = ( 且 ) 图像 值 域 单调性 （-,+） 上为减函数 （-，+） 上为增函数 （0，+） 上为减函数 （0，+） 上为增函数 奇偶性 非奇非偶 1 1 （2）加权平均数：即将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的 单位数。平均数的大小不仅取决于总体中各单位的标志值（变量值）的大小，而且取决于 各标志值出现的次数（频数），由于各标志值出现的次数对其在平均数中的影响起着权衡 轻重的作用，因此叫做权数。 2.众数：是一组数据中出现次数最多的数。 3.中位数：顾名思义是一组数据中间位置的数，但考虑一组数可能有偶数个或奇数个，所 以要注意强调取中位数的方法。一般地，个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一 个数据或