数学：第15讲《位值原理与进位制进阶》讲义.pdf

五年级数学星队秋季第十五讲 位值原理与进位制进阶 例 1 【分析】 (1)用数字 1、2、3 各一个可以组 成三位数,所有这样的三位数之 和是_. (2)三个不同的非零数字 a,b,c 共 可以组成6个不同的三位数,这6 个三位数之和一定是_的倍 数. (3)三个互不相同的数字,可以组 成 6 个不同的三位数,知道这 6 个三位数的和为2886,那么：这 三个数字的和为_;这六个三 位数中最小可能值是_;这六 个三位数中最大可能值是_. (4)a,b,c 分别是 09 中不同的数 码,用 a,b,c 共可组成六个三位数, 如果其中五个三位数之和是 2234,那么另一个三位数是 _. 【分析】 (1)123+132+213+231+312+321 =1332 (2) abcacbbacbaccabcba 222 ()abc,一定是 222 的 倍数. (3)设这三个数字分别是a、b、c, 有2222886abc, 13abc; 百位最小为 1,和为 13,应该让个 位越大越好,个位为 9,因此最小 值为 139; 百位最大为 9,因为可以出现的 全是三位数,因此不可能出现 0, 个位最小为 1,最大值为 931. (4)由a,b,c组成的六个数的和是 222 ()abc因为 2234222 10,所以10abc 若11abc, 则 所 求 数 为 222 11 2234208, 但2081011,不合题意 若12abc, 则 所 求 数 为 222 122234430, 但430712 ,不合题意 若13abc, 则 所 求 数 为 222 132234652, 65213 ,符合题意 若14abc, 则 所 求 数 为 222 142234874, 但8741914,不合题意 若15abc, 则 所 求 数 222 1522341096, 但 所 求 数为三位数,不合题意 所以,只有13abc时符合题 意,所求的三位数为 652 例 2 (1)如果 70aba b ,那么ab等于 _. (2)一个两位数,在它的前面写上 3,所成的三位数比原来的两位数 的 5 倍小 32,原来的两位数是 _. 【分析】 (1)将 70aba b ,展开整理得： (10) 71000abab 707100abab 306ab 5ab 由于位值的性质,每个数位上的 数值在 09 之间,得出1a ,5b . (2)设原来的两位数为ab,则 3325,1083,83.abababab 例 3 (1)已知 1370,abcdabcabaabcd求 . (2)已知一个四位数加上它的各 位数字之和后等于2014,则所有 这样的四位数之和为多少? (3)一个 4 位数,它和它的反序数 的和是以下 4 个数中的一个： 8656;8657;8658;8667.这 两个 4 位数的和到底是多少? (4)一个 4 位数,把它的千位数字 移到右端构成一个新的 4 位数. 再将新的4位数的千位数字移到 右端构成一个更新的四位数,已 知最新的 4 位数与最原先的 4 位 数的和是以下 5 个数中的一个： 9865； 9867； 9462； 9696； 9869.这两个 4 位数的和到底 是多少? 【分析】 (1)原式：1111a111b11c d=1370, 所以 a=1,则 111b11cd=1370 1111=259,111b11cd=259. 推知 b=2;则 22211c d=259,11cd=37 进而推知 c=3,d=4 所以abcd =1234. (2)设四位数abcd,那么 2014abcdabcd ,最后 求得 2006abcd 或 1988,所以所 有四位数之和为 2006 19883994 (3)设原序数为abcd,则反序数为 dcba,则 abcddcba 100010010100010010abcddcba() () 10011101101001abcd 11 91101091abcd() 因为等式的右边能被 11 整除,所 以abcd dcba能被 11 整除.4 个 数中只有8657是11的倍数,因此 和为 8657.例如： 4783+3874=8657 (4)设这个 4 位数是abcd,则最新 的 4 位数是cdab.两个数的和为 10101011010101abcdcdababcd ,是 101 的倍数.在所给的 5 个数 中只有 9696 是 101 的倍数,故正 确的答案为 9696. 练一练 (1)一个四位数,将其 4 个数位上 的数字求和,再加上原来的四位 数,得到一个新的四位数;再将得 到的新四位数4个数位上的数字 求和,再加上这个新的四位数,又 得到一个新四位数;如此操作四 次,最后得到的数是 2012,问最初 的四位数是多少? (2)以五位数为例说明： 其原序数 和反序数之差一定是99的倍数 【分析】 (1)设第三次操作后得到的数为 abcd,可得到 2012abcdabcd ,解得 2005abcd 或 1987abcd ,之后 再继续倒推,可得到第二次得到 的数为 1979 或 1970;再倒推,可 得到第一次得到的数为 1957 或 1948;第一个数为 1937 或 1928. (2)abcde=edcba 1000010001001010000100010010abcdeedcba() () 99999909909999abde 99 1011010101abde() 因为等式的右边能被 99 整除,所 以abcdeedcba能被 99 整除 例 4 (1)把 5 写在某个四位数的左端 得到一个五位数,把 5 写在这个 四位数的右端也得到一个五位 数,已知这两个五位数的差是 22122,求这个四位数. (2)若用相同的汉字表示相同数 字,不同汉字表示不同数字,则在 等式 58学习好勤动脑勤动脑学习好 中“学习好勤动脑”表示的六位 数最小是多少? 【分析】 (1)设这个四位数为 x,则有： (50000x)(10 x5)=22122 或 (10 x 5) (50000 x)=22122, 得,x=3097 或 x=8013. (2)(引导和常规的位值原理不同, 如果一个个展开会非常麻烦,引 导前面的数和后面的数有哪些 相同的地方,引出整体思想的方 程 解 法 ) 设 A学习好 , B勤动脑 (如果有学生问不是 三位数怎么办,请规定0ab ab ), 可得到 (1000) 5(1000) 8ABBA, 整理后得到49927995AB,化简 得：128205AB,128,205 出 现 2 重复,因此需要扩倍 可以得 到最小的六位数是 410256 例 5 你来到了一个陌生的星球，这个 星球的人还处在用符号计数的 阶段，这个星球的一只猎物用 来表示， 代表十位， 代表百位. 下图为该星球的人，观察并回答 问题： （1）他告诉你， 他今天打的猎 物数量是，这个数写成 十进制的数是多少？ （2）后来你在这个星球见到 了一只 ， 发现他们也有符号 相同的计数方法，他听说今 天很多同类被抓走了，痛苦 的捂住了眼睛. 他想知道 今天有多少同类被图中的怪 物抓走了，你该如何告诉 他？ 【答案】 （1）137 ； （2） 【分析】 （1）观察发现怪物共有 8 个手 指，可知怪物使用 8 进制： 2 1 1 82 8137 （2）观察可知此怪物用六进 制， 2 1373 64 65 ，因 此 106 (137)(345)，则表示方法 应为： 倒取余数法： 练一练 （1） 8 (145)化成十进制是多 少？ （2）十进制的 1234 化成九进 制是多少？ （3） 7 (125)化成八进制是多 少？ 【答案】 101、1621、104 【分析】 （1） 2 8 (145)1 84 85101 （2） 32 12341 96 92 9 1 ，因 此 109 (1234)(1621) （3） 22 78 (125)1 72 75681 84(104) 例 6 （1） 已知六进制的abc化为九进 制后可以写成cba，那么这个数 写成十进制是多少？ （2）解方程 87 ()()aabbaa （3）将三进制数 120120021021112001 化成九进 制. 【分析】 （1）根据题意，可以得到不定 方程：366819abccba， 化简得35803acb； 由于35a和80c都是 5 的倍数， 推 知 b 一定是 5 的倍数，由于6b （六进制） ，则 b 为 0 或 5； 若0b ，则716ac，则 a 至少 为 16，不符合要求； 若5b ，则7163ac，当5a 时，2c ，则 552abc ； 2 6 (552)5 65 62212 . （ 2 ） 根 据 题 意 有 ： 648497aabbaa，化简 得43ab， 由于7b ， 故而a=3， b=4. （3）三进制的 00,01,02,10,11,12,20,21,22 正好 一一对应九进制的 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9； 因此，可将三进制从个位起两位 一段依次转化为九进制： 39 (120120021021112001)(516237461) 例 7 （1）在七进制下进行加法： 77 (1235)(4251)； （2）在九进制下进行加法： 99 (178)(8803)； （3）在二进制下进行加法： 22 (101011)(1110). 【分析】 七进制下满 7 进 1；九进制下满 进 1；二进制下满 2 进 1； 练一练 哪种进制下， 有135 243636成 立？ 【答案】 七进制 【分析】 由于有 6，至少为七进制，由于 结果比十进制看起来要大，所以 一定少于十进制. 分析个位：5 4614 ，可见只 能是七进制. 例 8 （1） 艾迪的小店进了7盒糖果， 每粒糖果重量都应是 10 克，每 盒有 1000 粒. 收到后， 艾迪接到 厂商电话，说有一盒是坏的，每 粒都只有 9 克，机智的艾迪回答 说：我只用电子称称量一次就能 把坏的盒子找出来. 那么艾 迪是如何做到的？ （2）艾迪的小店又进了 7 盒糖 果， 每粒糖果重量都应是10克， 每盒有 1000 粒. 收到后， 艾迪接 到厂商电话，说有好几盒是坏的， 坏的盒每粒都只有 9 克，但厂家 也不知道有几盒坏了，但是艾迪 回答说：我还是只用电子称称量 一次就能把坏的盒子找出来， 那么艾迪是如何做到的？ （3）艾迪的小店又进了 7 盒糖 果， 每粒糖果重量都应是10克， 每盒有 1000 粒. 收到后， 艾迪接 到厂商电话，说有好几盒是坏的， 坏的盒每粒都只有 9 克，更有一 些是有毒的，有毒的盒每粒只有 8 克，但厂家也不知道有几盒坏 了，几盒有毒。艾迪很愤怒，但 是艾迪回答说：我还是只用电子 称称量一次就能把坏的盒子找 出来. 那么艾迪是如何做到 的？ 【分析】 （1） 艾迪把每盒编号 17， 分别 对应取 1、2、3、4、5、6、7 粒。 放在一起称，重量比 280 少了几 克，那么第几盒就是坏的. （2） 艾迪把每盒编号 17， 分别 取 1、3、4、8、16、32、64 粒 放在一起称，这 7 个数就是二进 制的 1、 10、 100、 1000、 10000、 100000、1000000；如果都没有 坏的，那么应为 12700 克；少了 多少克那么就转换为二进制，得 到的二进制的1所在位上的盒子 就是坏的，比如少了 37 克，转 化为二进制就是 0100101，即第 1、3、6 盒是坏的. （3） 艾迪把每盒编号 17， 分别 取 1、3、9、27、81、243、729 粒放在一起称，这 7 个数就是三 进制的 1、 10、 100、 1000、 10000、 100000、1000000；如果都没有 坏的，那么应为 109300 克；少 了多少克那么就转换为三进制， 得到的三进制的1所在位上的盒 子就是坏的，2 所在位就是有毒 的。比如少了 38 克，转化为三 进制就是 0001102，即第 3、4 盒 是坏的，第一盒是有毒的。 练一练 艾迪小店进了 1000 瓶水，其中 有一瓶有毒，所幸盛盛有一些 实验用的小白鼠，已