数学：第11讲《数字谜中的最值》讲义.pdf

五年级数学星队秋季第十一讲 数字谜中的最值 例 1 下式中的 a， b， c， d 分别代表 0 9 中的一个数码，并且满足 2()cdab， 被减数最小是多 少？ 3 ab cd 【答案】 42 【分析】 如果不发生借位，则由竖式知 ca， 3db， ()5cdab 不满足2()cdab， 所以一定 借位了，由竖式知1ca， 103bd，即7db， ()6cdab又有 2()cdab，得 12cd差 最小为39， 所以被减数最小42 练一练 下式中的 a， b， c， d 分别代表 0 9 中的一个数码，并且满足 2()abcd， 被加数最大是多 少？ 5 ab cd 【答案】 35 【分析】 如果不发生进位，则ca， 5db， ()5cdab，不 可能还有2()abcd， 所以一 定进位了，1ca， 5 105dbb， ()4cdab，又有 2()abcd，所以 4cd ， 和最大为40， 被加数最大为35 例 2 右边竖式中，相同的字母代表相 同的数字，所有符合这样条件的 四位数中减数最大的是多少？ 7902 DCBA ABCD 【答案】 1989 【分析】 用A、B、C、D分别表示原数的 千位、百位、十位、个位数字， 按题意列减法算式如上式从首 位来看A只能是 1 或 2，D是 8 或9； 从末位来看，102AD， 得8DA，所以只能是1A ， 9D 被减数的十位数B，要被 个位借去 1，就有1BC B最 大能取 9，此时C为 8，因此，符 合条件的原数中， 最大的是 1989 例 3 将数字 19 填入下图竖式的9 个 方格中，每个数字只能用一次， 那么和的最小值为多少？ 2 0 +1 3 【答案】 3135 【分析】 四个数的所有数字之和为 12920 1 351 ， 除 以 9 余 6，所以和除以 9 余 3， 最小为 3126， 然而此时加数的四 位数要求首位必须是 2，无法构 造，逐步调整为 3135；构造 4290621873135， 所以最小 值 3135. 例 4 在“”内填入适当的数字，使下 列竖式成立，并使乘积尽可能小， 那么乘积最小是多少？ 6 4 0 【答案】 93744 【分析】 由于被乘数乘以6得到的数的个 位数字为 4，所以被乘数的个位 数字为 4 或 9，如果为 9，那么 被乘数乘以乘数的十位数字得 到的数的个位数字不可能为 0， 与题意不符，所以被乘数的个位 数字为 4，且乘数的十位数字为 5，所以乘数为 56 由于被乘数乘以6得到的五位数 至少为 10004，而 10004616672， 所以被乘数 大于 1667， 而被乘数的个位数字 为 4，所以被乘数至少为 1674， 乘积最小为1674 5693744 练一练 如图竖式中，乘积最大可以是多 少？最小可以是多少？ 3 21 【答案】 2941，2431 【分析】 最大值：首先可得到： 13 17 11 13 21 注意到乘积不能超过 3000， 3000 171768，所以最大 只能是 173 和 17 相乘，积是 2941. 最小值：第一个部分积最小是 143 71001，故乘积最小是 143 172431 例 5 如下面除法竖式的每个方框中 填入适当的数字，使竖式成立， 并使商尽量的小那么，商的最 小值是 2 0 0 7 0 【答案】 3401 【分析】 首先商的十位是 0. 商要小则除 数尽量大， 那么商的末位就是 1， 除数是 700 多，为凑出百位是 2 的积最小要乘以 3，凑出百位是 0 或 9 最小要乘以 4，所以商最 小为 3401. 例 6 满足式子7 4abcddabc 的四 位数abcd最大是多少？最小是 多少？ 【答案】 4848，1212 【分析】 两数都要尽量大，d 是偶数，最 大是 8，此时 a 必须是 4（如果 是 5 则式子结果在 35000 以上， 3500048750， dabc做不到） ， 把这个横式当两个结果相同的 竖式来看： 4884 74 66 bcbc 所以从右边竖式得出c是4或9， 而由于结果肯定是 4 的倍数，说 明abcd是 4 的倍数，则 c 是 4， 然后可由两式结果相等得出b是 8： 48488484 74 3393633936 两数都要尽量小，d 是偶数，最 小是 2，此时 a 必须是 1，把这 个横式当两个结果相同的竖式 来看： 1221 74 44 bcbc 所以从右边竖式得出c是1或6， 而由于结果肯定是 4 的倍数，说 明abcd是 4 的倍数，则 c 是 1， 然后可由两式结果相等得出b是 2： 12122121 74 84848484 例 7 满足式子 45abcbadeed 的五 位数abcba最大是多少？最小是 多少？ 【答案】 59895 【分析】 根据题意， 45abcbadeed ，则 abcba为 45 的倍数， 所以 a 应为 0或5， 又a还在首位， 所以a=5， 现在要让abcba尽可能的大，首 先需要位数高的尽可能的大，所 以令9b,为了满足 abcba是 9 的倍数，8c ， 59895451331符合条件. 最小值：若以数论方法分析，最 小值并不易求. 但是我们已经得 到了最大的商是 1331， 那么最小 值得到的商只可能是 1001、 1111、 1221 中的一个，枚举可知只有 45 122154945是最小值. 同 时也会发现此题只有 2 个答案. 练一练 1991 乘自然数 m 的结果的末四 位为 8888，求 m 的最小值. 【答案】 8568 【分析】 先定个位，然后逐步定，计算时 注意不需要计算万位及以上，减 少计算量： 1991 8 5928 8888 1991 68 5928 946 8888 1991 568 5928 946 55 8888 1991 8568 5928 946 55 8 8888 例 8 将 19 这 9 个数字分别填入下 式的各个方框内，则下式的计算 结果最大可能是 . () 【答案】 6427 【分析】 称此式为()abcdefghi， 则为了结果最大，必然bc， ef，1ghi （i 没有任何 加权，故 i 必为 1） ； 分析def可知de；d 的加权 （efa）大于 b 的加权（10a） ， 故db 因1d，故eb，fc； 即使把最小的 1、2、3、4、5 分 配给 b、c、d、e、f，bcdef也 能组合成31 5 42241 100 ， 故知a g ； （将 a、d 的值互换， 比较两式之差这个方法） 分析 a、 d 可知ad，可见 a 的优先度大 于所有其他各数，故9a ； 9 ()1bcdefgh d 的加权为9100ef， 故dg， 可见 d 的优先度大于其它各数， 8