数学模型：航空机票超订票问题.doc

数学模型辽宁工程技术大学数 学 建 模 课 程 成 绩 评 定 表学 期2014-2015学年1学期姓 名专 业 班 级 课程名称 数学建模论文题目 航空机票超订票问题评定标准评定指标分值得分知识创新性20理论正确性20内容难易性15结合实际性10知识掌握程度15书写规范性10工作量10总成绩100评语:任课教师时 间2014年月 日备 注3航空机票超订票问题摘要当今是一个经济发展迅猛的时代，做任何事情都要有超前意识，为赢得时间，快速的交通工具成为现代生活的必需品。飞机成为我们生活当中日益重要的交通工具，订购机票也自然成为我们需要关心的一个问题。本文基于“航空机票超票订票的问题”运用数学建模所学知识建立数学模型，运用MATLAB软件，通过计算解决以下问题：（1）假设两地的机票价为1500元，每位旅客 有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期损失达到最小？（2）上述参数不变的情况下，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期利润达到最大，最大利润为多少？关键词：航空机票；数学建模；MATLAB软件；最大利润1 问题背景描述随着社会的不断进步，经济的不断发展，人们生活节奏也越来越快，对效率的要求也越来越高，为了出行的效率，飞机成了人们通常的选择。航空公司会针对社会现象推出相应的营运模式，从而使公司赢得最大的利润。针对此种现象，航空公司一般都采用超量订票的运营模式，即每班售出票数大于飞机载客数。按民用航空管理有关规定：旅客因有事或误机，机票可免费改签一次，此外也可在飞机起飞前退票。航空公司为了避免由此发生的损失，采用超量订票的方法，即每班售出票数大于飞机载客数。但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况，在这种情况下，航空公司让超员旅客改乘其它航班，并给旅客机票价的20%作为补偿。为了减少发生持票登机旅客多于座位数的情况，航空公司需要对乘客数量进行统计，从而对机票预售量做出一定估算，从而获得最大的利润。2 问题的提出某航空公司执行两地的飞行任务。已知飞机的有效载客量为150人。按民用航空管理有关规定：旅客因有事或误机，机票可免费改签一次，此外也可在飞机起飞前退票。航空公司为了避免由此发生的损失，采用超量订票的方法，即每班售出票数大于飞机载客数。但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况，在这种情况下，航空公司让超员旅客改乘其它航班，并给旅客机票价的20%作为补偿。要求：（1）假设两地的机票价为1500元，每位旅客 有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期损失达到最小？（2）上述参数不变的情况下，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期利润达到最大，最大利润为多少？3 分析与建立模型（1）假设两地的机票价为1500元，每位旅客 有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期损失达到最小？设飞机的有效载客数为 N ，超订票数为S (即售出票数为 NS) ，k为每个座位的盈利值， h 为改乘其他航班旅客的补偿值设x是购票末登机的人数，是一随机变量，其概率密度为 f (x). 当时，有S - x个人购后，不能登机，航空公司要为这部分旅客进行补偿。当xS 时，有x - S个座位没有人坐，航空公司损失的是座位应得的利润，因此，航空公司的损失函数为满足方程的S是函数 EL(S)的极小值点，使航空公司的损失达最小。设每位旅客购票未登机的概率为 p ，共有m个旅客，则恰有x旅客未登机的概率，即x服从二项分布。因此,积分即用二项分布计算。（2）上述参数不变的情况下，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期利润达到最大，最大利润为多少？设飞机的有效载客数为 N ，超订票数为S ( 即售出票数为 N + S ) ，k为每个座位的盈利值， h 为改乘其他航班旅客的补偿值若不超订票（即S=0），则盈利的期望值为E0 = 每个座位的盈利 飞机座位有乘客的期望值 = k N (1p).若超订票数为 1 (即S=1 ) ，盈利的期望值为E1 = 不超订票时盈利的期望值 + P该旅客乘机P该旅客有座位每个座位的盈利- P该旅客乘机P该旅客无座位该旅客的补偿 = E0 + (1p) P N 个旅客至少有1 人不乘机 k (1p) P N 个旅客至多有0人不乘机 h = E0 +(1-p) 1- binopdf (0,N,p) k - (1-p) binopdf (0,N,p) h = E0 + (1-p) k-(k+h) binopdf (0,N,p).因此，只要计算出超订票数S=0,1,2, 的期望值,并比较它们的大小，就可以得到最优的超订票数和最大盈利的期望值。4 MATELABE运算过程（1）假设两地的机票价为1500元，每位旅客 有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期损失达到最小？Matlab软件中提供二项分布函数根据题意N=300，p=0.04，k=1500。假设机票价就是航空公司的盈利，h=1500*0.2=300。Matlab中相应的程序:N=150;p=0.04;k=1500;h=300;S=0;while binopdf(S,N+S,p)1EPROFIT(i) = EPROFIT(i-1)+ (1-p)*(k-(k+h)* binopdf (i-1,N+i-1, p);endEPROFIT(x)结果如下：EPROFIT =217436.2218849.7220194.6221400.4222393.5223124.5223584.7223803.4223832.6223728.7223540.1223302.3223038.1222760.7222477.2答案:比较EPROFIT数组中的结果得 超订票数为 9 张时，航空公司获利润最大，预期的期望值达到 223832.6 元。程序截图如下：程序结果截图如下：5 建模的应用与推广模型的应用与推广，在高速发展的社会，再快节奏的生活中，飞机的必然成了既舒适又高效的交通工具，随着机票打折飞机成了越来越多人的出行选择，该模型可在实际情况中得到应用，不仅可以保证每次航班的使用效率，提高运载能力，同时也可以使航空公司获得更高的利润。所以在众多的机场中，订票管理部门皆可使用本模型。也可在火车或长途客运的售票中运用该模型，以做到利润最大。但是现实中还有好多实际问题有待解决，模型只提供了理论上支持。6 参考文献1 理学院应用数学系.数学建模简介及其MATLAB的实现M.阜新：辽宁工程技术大学理学院应用数学系，2008 2 谢金星, 薛毅.51单片机C语言程序设计快速入门M.北京:清华大学出版社，2005 3谭永基，俞文ci，数学模型，复旦大学出版社，19974李尚志等，数学实验，高等教育出版社，19997 附录MATLAB的用途 MATLAB 的名称源自 Matrix Laboratory ，它是一种科学计算软件，专门以矩阵的形式处理数据。 MATLAB 将高性能的