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年第期 物理通报 科学前沿 “ 分形 ” 与 “ 物理 ” 非线性科学专题之 六 黄哟 北京大学非线性科学中心 田 前面我们曾简略地介绍了分形与分形几何的 基本概念分形是一个数学名词 , 但它能在一定程 度上真实地反映出客观世界的图象 , 因此它必然与 物理 、化学、生物、地质等学科中的各种演化过程有 着紧密的联系 但当我们将分形引人到物理或其他 自然学科中时 , 必须强调指出 , 在数学中谈分形时 , 它的自相似尺度是可以扩展到无穷的 , 即 “ 数学分 形 ” 是一个极限过程的产物而在实际问题中运用 分形时 , 它的自相似性的适用尺度一般只有几个量 级 因此我们只能在一定的范围内称某类现象或某 类过程所形成的事物是一个 “分形”, 而不能将其随 意地推广应用 在本文中将着重谈谈 “分形” 概念对 物理学的研究带来了一些什么变化 从近十几年的 发展来看 , 大致可分为两种类型 , 一类是研究分形 生长的物理机理 , 也就是要回答 自然界为什么会生 成大量具有自相似特征的分形结构 , 这些结构有什 么特点等等 , 我们称这类问题为 “ 物理 学 中的分 形 ” 另一类问题是探讨由于分形的 出现使某些原 来的物理性质在分形结构如一些有规分形与无规 分形上发生 了一定的变化 , 这些变化必然会使我 们过去熟知的若干物理规律发生反 常现象 , 对这类 问题 的研究 , 我们将其归纳为 “ 分形上的物理学 ” 下 面我们将结合实例来简要地谈谈这两方面的向 题 物理学中的分形 在上一篇 “ 分形几何 ” 中我们曾谈过 “ 什么是扩 散置限凝聚模型模型 ”, 以及如何在计算机 上生成集团并给出它的分形维数等 这里要讨 论的是它所反映的物理本质首先我们可看到 是自然界中的一类生长凝聚过程的抽象模型所谓 生长就是指研究的对象是随着时间在不断地发生 着变化 , 是一个动态过程从物理学的角度看 , 它是 一个远离平衡的动力学过程 , 是一个极其复杂的过 程而生长模型是抓住生长中某些特征进行分析 , 然后构成若干生 长法则 , 并让物体按这种法则发生 演化并达到其最终形态 的一种简单的数学或物理 模型自从模型问世以来 , 大量 的实验证实了 这类分形结构的存在性据不完全的统计 , 自然界 中己发现有上百种物理 、化学和生物过程所形成的 结构是属于类型的它们是电离电解时的电 沉积 、 不 同粘度流体间的流动变化 粘性指进 、气 体放电如我们常见的闪电 、雪花 的形成与河流网 络的分布等等 为了使读者能初步地了解一点实验 现象 , 这里将简单展示两个实验的图片一个是 由 日本科学家完成的电沉积实验 , 他们利用电解沉积 法使锌金属微粒在二维空间内生 长具体作法如 下在一个直径为 。 的圆柱体容器内装上 高的硫酸锌溶液 , 然后再 注入 一 基 醋酸盐 残残姚 , 它与硫 酸锌形成一个分界 面在圆柱的中心垂直插人一根碳棒作阴极 棒的 尖端正好位于分界面上阳极 由一直径为与 圆柱同心 的锌板 圆筒构成加上电压后 , 锌金属就 在碳棒的尖端进行凝聚 通常只 要分钟左右就 可形成直径约为几个厘米的集团 , 典型的结构如图 图锌金属的电凝聚图图二维脉冲放电图 所示实验给出生长集团的分形维数为刀 二 , 与模型符合得相当好第二个实验是研究在压 缩的凡气体内加上邵的脉冲电压后发 生的二维径 向放电 , 放电时拍摄下的相片见 图 , 它 望刃年第 期 物理通报科学前沿 的分形维数为 二 类似的实验还有在两种 不同粘度的 流体中发 生的流动现象 , 我们称它为粘性指进胶体中微胶 粒的凝聚集团 , 固体材料中发生的裂纹花样等 , 这 里就不再一一列举了对于一个物理工作者来说 , 奇怪的是能描述如此多实际现象的模型却有 着极其简单的生长法则 , 这说明模型抓住了生 长问题中的某些本质特征 , 因此它就成了近年来科 学家们首选的研究对象首先让我们来回顾一下与 生长有关的数学 问题由于这是一个在简单方 形点阵上的无规行走 , 它必然可用扩散方程来 描 述 但在模拟生长过程中粒子是一粒一粒地凝聚 上去的 , 其生长速率非常慢 , 所以可 近似地看成是 一个稳态过程 , 这样扩散方程就简化为一个拉普拉 斯方程 , 即 二 , 这里的是粒子扩散时在各 点处的浓度场 。若分析其他与 刀创 模型有关的实验 时也都出现与拉普拉斯方程有联系例如在粘性指 进中流体在各点处的压力是满足拉普拉 斯方程 甲 的 , 在电沉积和离子放电问题中离子在各 处所受到的电场也是满足拉普拉斯方程 沪 的所以刀创 模型有时被人们称为是受拉普拉斯场 控制的生长过程 , 是具有普适性的一种生长模型 所谓普适性是指这类过程都具有相同的规律 , 而与 具体过程的细节无关 它们的相同规律包括下列几 点集团都呈现出一种开放型的树枝状的美丽结 构集团具有 随机的自相似性质实验与计算 机模拟 中得到它们的分形维数的数值只与欧儿里 德空间维数有关 , 与其他的物理量无关 , 其具体数 值可表示为在二维空间大约是 一 , 在三维 空间大约是 一 对于这个有趣的课题 , 从数 学与物理的角度看 , 在研究上却存在着相当大的难 度难点来源于生长表面的复杂性因为在生长过 程中其表面随时间不断地发生着变化 , 所以是一个 极其不规则的表面 , 即不规则的变动的边界对于 动边界的拉普拉斯方程目前还无法求得解析解 大 量的科研工作都停留在计算机模拟 与实验方面 , 而 结果大多数也是属于定性或粗略的定量描述 匕因 此这还是一个未解决的课题当然在这十儿年的时 间内 , 科学家们对它的认识也正在逐步地 深化 , 有 些问题己经解决并得到了共识 , 有些问题 尚待解 决下面我们只简单地谈一点己达到共识的问题 首先考虑它的生长机理 由于生 长法则非常简 单 , 所以就可以从这里着手进行讨论 现在我们设 一一 想在方形点阵的中心处具有一个种子微粒的时刻 记为 二 , 显然从较远处扩散来的微粒到达种子 微粒近邻时可在四个生长点处与种子微粒发生粘 结 , 这四个生长点具有相同的生长概率只图 , 即 豪 , 刀刀 气气气气二, , 州任一 一 图模型生长概率示意图 微粒作无规行走后粘结于集团的过程是一个 不可逆的生长过程 , 当第一个微粒粘结后就出现了 一个质量 二 的集团在时相应地就有个 可生长的格点见 图 , 但它们的生 长概率却不 再是完全相等的其中有四个生长点 的概率比较 小 , 我们将其记为 尸 一 , 而在尖端的两个生 长点则有尸 一 这说明处于尖端的点要比处 于内部一些的点容易生长 , 它的生长机会要比两侧 的多大约 , 当集团继续生 长时 , 处于尖端的点 会得到更大的生 长概率这种 “ 富者愈富 , 穷者愈 穷 ” 的现象称为 “ 马太效应 ” 它来源于圣经 马太福 音 , 所以称它为 “ 马太效应 ” 目前已发现在非线性 物理的许多领域中都会出现这个效应 , 科学家们认 为这是非线性现象中的一个普遍规律从以上的分 析可看出 , 集团表面的生长概率函数只是一个重 要的函数 , 它给出 了集团生长 的主要信息 同时它 又是一个相当复杂的函数 , 我们尚无法对其进行解 析计算这就是研究模型所面临的一个难题 当然这些年来对它的研究也有一定的进展 , 例如引 进多重分形等但离完全的解决还有相 当大 的距 离 有关这方面的问题 , 这里就不再多谈了 分形上的物理学 输运包括扩散 、 电导 、 摩擦理论是物 理 、化学和 生物等学科中非常关注的问题非平衡 态统计力学给出了一些理论方法 , 一般称为经典输 运理论 这里要讨论的是在无序系统或分形上的输 运规律 , 这些规律与经典理论有很大的区别 , 它们 会带来一系列的反常行为例加 , 流体在裂缝或多 孔介质 中的反常扩散 、在玻璃体及大分子中的反常 年第期物理通报科学前沿 弛豫和在逾渗集团上的反常电导等法国科学家德 然纳曾形象地称这类问题为 “蚂蚁在迷宫” 这类 问 题在实用方面很重要 , 所以有许多科学家在这个领 域内进行研究工作 这里我们只能举在分形上的扩 散为例作一些讨论分形可以选用有规分形 , 如谢 尔平斯基缕垫等也可选用随机分形 , 如逾渗集团 或集团等大量无序材料如多孔介质 、高聚物 凝胶 、无规 电阻网络 、 高温超导体等都可以用逾渗 模型来描述 , 所以我们选逾渗集团作为蚂蚁行走的 迷宫 在讨论扩散之前先简单地介绍一点有关逾渗 模型的知识 考虑一个二维方形点阵 , 假定在点阵 上的 “座” 可以被随机地占据 , 则其被占据的概率为 尸 , 不被占据的概率为 一 尸 若相邻的座都被占据 时 , 这些座就可以联接起来组成一个集团显然 当 尸增加时 , 集团的大小也会相应地增大 , 但仍然是 有限的当尸达到某一临界值时 , 点阵上就会出 现一个无限大集团 , 这时就认为是 发生了逾渗相 变 , 同时称是逾渗阂值对于实际 问题 , 所谓的 无限大集团可以定义为该集团所 占据的座可在点 阵内上下贯穿或左右贯穿对于二维方形点阵 , 己 计算出 , , 图是在 , 尸 和 尸 三种情况下逾渗相变 的示意 图逾渗相变 是一个二级相变 , 它的许多行为都符合二级相变的 普适性规律现己证明在 尸 后出现的无 限大 集团具有 自相似结构 , 是一个典型的分形结构它 的分形维数在不同的欧几里德空间的数值分别为 时蚂蚁开始从逾渗集团上任一座随机地向其一个 近邻行走一步 , 这时被它选中的近邻有两种可能的 状态 , 一是己被 占据的 , 一是空的假定所有被占据 的近邻也就是该座是处于集团上对于蚂蚁的行 走都具有相 同的概率这表明蚂蚁可在被 占据的座 上随机地行走当时间足够长后 , 基夫等科学家 们证实蚂蚁在逾渗集团上的方均位移所遵守的规 律是 一 万 甲 常数 李 尸 口翻黝 二二 图逾渗相变示意图 马 二 马 二 对逾渗模型有了初步了解后 , 我们再回转来讨 论蚂蚁在逾渗集团上的行走这显然是一个在无序 系统上的无规行走问题 无规行走的特征参量是它 的方均位移 在欧氏空间中方均位移可 表示为 、 这里的是它的步数 , 也可以标度为时间设 式中的指数 , 称为行走分维 , 它与表征其几何 特征的分形维数马有关对于二维逾渗集团 , 目前 最好的数值解为 二 士 现在我们来看一看式所表达 的物理意义 当尸 一 时 , 整个点阵上 的座均被 占据 , 这时的逾 渗集团是一个各向同性的实体 , 与普通的晶格点阵 没有什么区别 , 因此它的方均位移与时间的关系和 欧几里德空间所得到的结果相一致是毫不奇怪的 当时 , 点阵上的集团都是有限大小的 , 所以 蚂蚁在任一集团上行走时 , 不管它行走的时间有多 么长 , 它都不能跑到另一个集团上去 这样 , 它的方 均位移只能是一个与时间无关的常数只有在 尸 时才会有反常 的扩散行为出现 这个反常行为 来源于逾渗集团上座分布的不规则性逾渗集团与 一般分形一样 , 它的结构中存在着许多空洞和分枝 岔道所以每个座的近邻数就不再是一个由点阵 决定的常数 , 而是与座在集团上所处的位置有关的 一个变数 , 记为 这祥蚂蚁向近邻行走的概率就 由原来的告变成告在许多情况下蚂蚁有可能盲 , , 、 ,一“ 一 一 一 一