2012考研试题及评分标准.pdf

1 2012 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学(一 一) 试 试 卷卷 考生注意：考生注意：（1）本试卷共三大题，本试卷共三大题，23 小题，满分小题，满分 150 分分. （2）本试卷考试时间为本试卷考试时间为 180 分钟分钟. 题 号 18 914 15 16 17 18 19 20 21 22 23 总 分 得 分 一一选择题：选择题： 1 - 8小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是下列每题给出的四个选项中，只有一个是 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定的位置上指定的位置上. (1) 曲线 2 2 1 xx y x + = 的渐近线的条数为 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数 2 ( )(1)(2)() xxn x f xeeen=L，其中n为正整数，则(0) f = (A) 1 ( 1)(1)! n n (B) ( 1) (1)! n n (C) 1 ( 1)! n n (D) ( 1)! nn (3) 如果函数( , )f x y在(0,0)处连续，那么下列命题正确的是 (A) 若极限 0 0 ( , ) lim x y f x y xy + 存在，则( , )f x y在(0,0)处可微 (B) 若极限 22 0 0 ( , ) lim x y f x y xy + 存在，则( , )f x y在(0,0)处可微 (C) 若( , )f x y在(0,0)处可微，则极限 0 0 ( , ) lim x y f x y xy + 存在 (D) 若( , )f x y在(0,0)处可微，则极限 22 0 0 ( , ) lim x y f x y xy + 存在 (4) 设 2 0 sin(1,2,3) k x k Iexdx k = ，则有 (A) 123 III (B) 321 III (C) 231 III (D) 213 III (5) 设 1234 1234 0011 0 ,1 ,1 ,1 cccc = = ，其中 1234 ,c c c c为任意常数，则下列 向量组线性相关的为 2 (A) 123 , (B) 124 , (C) 134 , (D) 234 , (6) 设A为 3 阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且 1 100 010 002 P AP = ， 123 (,)P =， 1223 (,)Q =+，则 1 Q AQ = (A) 100 020 001 (B) 100 010 002 (C) 200 010 002 (D) 200 020 001 (7) 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则 P XY= (A) 1 5 (B) 1 3 (C) 2 3 (D) 4 5 (8) 将长度为 1 m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 (A) 1 (B) 1 2 (C) 1 2 (D) 1 二二、填空题：、填空题：914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 请将答案写在答题纸请将答案写在答题纸 指定的位置上指定的位置上. (9) 设函数( )f x满足( )( )2 ( )0fxfxf x+=及( )( )2 x fxf xe+=， 则( )f x= . (10) 2 2 0 2xxx dx= . (11) (2,1,1) () z grad xy y += . (12) 设( , , )1,0,0,0x y z xyzxyz =+=，则 2 y dS = . (13) 设为 3 维单位列向量，E为 3 阶单位矩阵，则矩阵 T E的秩为 . (14) 设, ,A B C是随机事件，A与C互不相容， 11 (),( ) 23 P ABP C=，()P AB C = . 三三、解答题：、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分. 请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸 指定的位置上，解答应写出文字指定的位置上，解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分（本题满分 10 分）分） 证明： 2 1 lncos1( 11) 12 xx xxx x + + + . (16)（本题满分（本题满分 10 分）分）求函数 22 2 ( , ) xy f x yxe + =的极值. 3 (17)（本题满分（本题满分 10 分）分）求幂级数 2 2 0 443 21 n n nn x n = + + 的收敛域及和函数. (18)（本题满分（本题满分 10 分）分）已知曲线 ( ) :(0) cos2 xf t Lt yt = ，记ZXY=. （I）求Z的概率密度 2 ( ;)f z ； （II）设 12 , n Z ZZL为来自总体Z的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量 2 ； （III）证明 2 为 2 的无偏估计. 4 2012 年考研数学(一)试题 参考解答和评分标准 一选择题一选择题 （1）C （2）A （3）B （4）D （5）C （6）B （7）A （8）D 二填空题二填空题 （9） x e (10) 2 (11) ijk+ rrr (12) 12 3 (13) 2 (14) 4 3 三解答题三解答题 (15) 证：证：记1 2 cos 1 1 ln)( 2 + + = x x x x xxf，则 xx x x x x xf + + =sin 1 2 1 1 ln)( 2 ，x x xfcos1 )1 ( 4 )( 22 = 4 分 .当11 x f，从而)(x f 单 调增加. 又因为0)0(= f ，所以，当01x时，0)( x f；当10 x f，于是0)0(=f是函数)(xf在（- 1,1）内的最小值. 从而当11x时，0)0()(= fxf，即 2 1cos 1 1 ln 2 x x x x x+ + 10 分 (16) 解：解： 2 2 22 )1 ( yx x exf + = 2 22 yx y xyef + =， 令 = = , 0 , 0 y x f f 得驻点（1,0）和（- 1,0）. 3 分 记 2 2 22 ) 3( yx xx exxfA + = =， 2 2 22 ) 1( yx xy exyfB + = =， 2 2 22 ) 1( yx yy eyxfC + = =6 分 在点（1,0）处，由于02 12 = eACB，02 2 1 = eA， 故 2 1 )0 , 1 ( = ef是),(yxf的极大值. 8 分 在点（- 1,0）处，由于02 12 = eA， 故 2 1 )0 , 1( =ef是),(yxf的极小值. 10 分 (17) 解：解：记,.)2 , 1 , 0( 12 344 2 = + + =n n nn an.因1lim 1 = + n n n a a ，所以原级数的收敛半径为 1. 5 又因为当1=x时，级数 = + + 0 2 12 344 n n nn 发散，所以幂级数的收敛域是（- 1,1）. 3 分 记 = = = + += + + = 0 2 0 22 0 2 12 2) 12( 12 344 )( n n n nn n n x xnx n nn xS. 由于)() 12( 0 12 0 2 =+ = + =n n n n xxn=) 1 ( 2 x x ) 11( )1 ( 1 22 2 + =x x x 7 分 = = + + = + 00 122 12 1 12 nn nn n x xn x = = x n n dtt x 0 0 2 )( 1 = x dt tx 0 2 1 11 ) 10( 1 1 ln 2 1 + =x x x x ， 又3)0(=S， 所以和函数 + + + = , 3 , 1 1 ln 1 )1 ( 1 )( 22 2 x x xx x xS . 0 , 10 = t f解得.cos cos 1 cos sin )( 2 t tt t tf= 又由0)0(=f，得.sin)tanln(sec)(ttttf+= 7 分 因0)0(=f， += )(lim 2 tf t ，所以以曲线L及x轴和y轴为边界的区域是无界区域， 其面积为 + = 0 ydxS = 2 0 )(cos dttft 9分 = 2 0 2 sin tdt 4 1 = 10 分 (19) 解：解： 取 1 L为有向线段0=x，y从 2 到 0； 由L与 1 L围城的平面区域记为D. 根据格林公式，得 += L dyyxxydxxI)2(3 32 += + 11 )2(3)2(3 3232 LLL dyyxxydxxdyyxxydxx 3 分 + = 0 2 33 )2( )3()2( dyydxdy y x x yxx D y = 0 2 21ydydxdy D 8 分 4 2 = 10 分 6 (20) 解：解： （I） .1 100 100 010 001 4 a a a a a A= 3 分 （II）若方程组=Ax有无穷多解，则 . 0 =A由（I）可得1=a或1=a. 5 分 当1=a时， 1100 111001 0110101101 (), 0011000110 1001000002 A = MM MM M MM MM 于是( )(),r Ar A M故方程组=Ax无解. 7 分 当1=a时， 110011001 0 0110101011 (), 0011 00011 0 1001000000 A = MM MM M MM MM 于是( )()34,r Ar A =M故方程组=Ax有无穷多解，其通解为： ()()T T kx1111001-0+= k为任意常数. 11 分 (21) 解：解： （I）因 ),()(ArAAr T = , 000 100 110 101 10 01 110 101 + = a a a A 所以，当1=a时， . 2 )(=Ar 4 分 （II）由于, 1=a 所以. 422 220 202 =AAT 矩阵AAT的特征多项式为 ),6)(2( 422 220 202 = = AAE T 于是AAT的特征值为. 0, 6 , 2 321 = 6 分 当2 1 =时，由方程组, 0)2(=xAAE T 可得属于 2 的一个单位特征向量 T )0 , 11 ( 2 1 ，； 当6 2 =时，由方程组() , 0 6=xAAE T 可得属于 6 的一个单位特征向量 T )2 , 1 , 1 ( 6 1 ； 当0 3 =时，由方程组, 0=AxAT可得属于 0 的一个单位特征向量.) 1, 1 , 1 ( 3 1 T 9 分 7 令 , 3 1 6 2 0 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 =Q 则f在正交变换Qyx =下的标准形为.62 2 2 2 1 yyf+=11分 (22) 解：解： （I） . 4 /11, 20 , 0 2=+=YXPYXPYXP 4 分 （II）由()YX,的概率分布可得，XYYX,的概率分布分别为 X 0 1 2 P 2 1 3 1 6 1 7 分 所以. 0)(),(, 3 2 )(, 3 2 , 3 5 , 1, 3 2 2 =EYEXXYEYXCovXYEDYEYEYEX 故 . 3 /2),(),(=DYYXCovYYXCov 11分 (23) 解：解： （I）因X与Y相互独立，所以YXZ=服从正态分布，且, 0=EZ ,3 2 =+=DYDXDZ故Z的概率密度为., 6 1 );( 2 2 6 2 +=+LL，则数列 n S有界是数列 n a收敛的 (A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件 (4) 设 2 0 sin(1,2,3) k x k Iexdx k = ，则有 (A) 123 III (B) 321 III (C) 231 III (D) 213 III (C) 1212 ,xxyy (D) 1212 ,xxyy (6) 设区域D由曲线sin ,1 2 yx xy = =围成，则 5 (1) D xydxdy= (A) (B) 2 (C) 2 (D) (7) 设 1234 1234 0011 0 ,1 ,1 ,1 cccc = = ，其中 1234 ,c c c c为任意常数，则下列 向量组线性相关的为 9 (A) 123 , (B) 124 , (C) 134 , (D) 234 , (8) 设A为 3 阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且 1 100 010 002 P AP = ， 123 (,)P =， 1223 (,)Q =+，则 1 Q AQ = (A) 100 020 001 (B) 100 010 002 (C) 200 010 002 (D) 200 020 001 二二、填空题：、填空题：914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 请将答案写在答题纸请将答案写在答题纸 指定的位置上指定的位置上. (9) 设( )yy x=是由方程 2 1 y xye+ =所确定的隐函数，则 2 0 2 x d y dx = = . (10) 22222 111 lim() 12 n n nnnn += + L . (11) 设 1 (ln)zfx y =+，其中( )f u可微，则 2 zz xy xy += . (12) 微分方程 2 (3)0ydxxydy+=满足条件 1 1 x y = =的解为y = . (13) 曲线 2 (0)yxx x=+上曲率为 2 2 的点的坐标是 . (14) 设A为 3 阶矩阵，且| 3A =， * A为A的伴随矩阵，若交换A的第一行和第二行得矩 阵B，则 * |BA = . 三三、解答题：、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分. 请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸 指定的位置上，解答应写出文字指定的位置上，解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分（本题满分 10 分）分）已知函数 11 ( ) sin x f x xx + =. 记 0 lim( ) x af x =. （I）求a的值； （II）若当0 x 时，( )f xa与 k x是同阶无穷小，求常数k的值. (16)（本题满分（本题满分 10 分）分）求函数 22 2 ( , ) xy f x yxe + =的极值. (17) （本题满分（本题满分 12 分）分） 过点(0,1)作曲线:lnL yx=的切线， 切点为A， 又L与x轴交于B点， 区域D由L与直线AB围成， 求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积. (18)（本题满分（本题满分 10 分）分）计算二重积分 D xyd ，其中区域D由曲线1 cos(0)r= + 与极轴围成. 10 (19)（本题满分（本题满分 10 分）分）已知函数( )f x满足方程 ( )( )2 ( )0fxfxf x+=及( )( )2 x fxf xe+=， （I）求( )f x的表达式； （II）求曲线 22 0 ()() x yf xftdt= 的拐点. (20)（本题满分（本题满分 10 分）分）证明： 2 1 lncos1( 11) 12 xx xxx x + + + . (21)（本题满分（本题满分 10 分）分） （I） 证明方程 1 1 nn xxx +=L（n为大于 1 的整数） 在区间 1 (,1) 2 有且仅有一个实根； （II）记（I）中的实根为 n x，证明lim n n x 存在，并求此极限. (22)（本题满分（本题满分 11 分）分） 设 1001 0101 , 0010 0010 a a A a a = . （I）计算行列式A； （II）当实数a为何值时，方程组Ax=有无穷多解，并求其通解. (23) （本题满分（本题满分 11 分）分）设 101 011 10 01 A a a = ，二次型 123 ( ,)() TT f x x xxA A x=的秩为 2. （I）求实数a的值； （II）求正交变换xQ y=将f化为标准形. 11 2012 年考研数学(二)试题 参考解答和评分标准 一选择题一选择题 （1）C （2）A （3）B （4）D （5）D （6）D （7）C （8）B 二填空题二填空题 （9）1 (10) /4 (11) 0 (12) x (13) ( 1,0) (14) 27 三解答题三解答题 (15) 解： （解： （I）) 1 sin 1 (lim 0 xx x a x + = xx xxx x sin sin lim 2 0 + = 2 2 0 sin lim x xxx x + = 2 分 x xx x 2 cos21 lim 0 + = 1= 5 分 （II）1 1 sin 1 )( + = xx x axf, sin sinsin 2 xx xxxxx+ = 2 2 00 sinsin lim )( lim + + = k x k x x xxxxx x axf 1 0 )2( cossincos21 lim + + + = k x xk xxxxx 7 分 k x xkk xxxx ) 1)(2( sincos2sin2 lim 0 + + = . ) 1)(2( cossin3cos lim 1 0 + + = k x kxkk xxxx 所以，当1=k时，有. 6 1)( lim 0 = k x x axf 此时，axf)(与x是同阶无穷小),0( x 因此1=k. 10 分 (16) 见【数学一（见【数学一（16） 】） 】 (17) 解：解：设切点A的坐标为),( 11 yx 则切线方程为 ),( 1 1 1 1 xx x yy= 将点（0,1）代入，得 . 2 , 1 2 1 =yex 3 分 所求面积为2) 1( 2 1 ln 2 1 2 = e exdxS1 1 ln 2 1 2 2 += edx e xx e . 2 = 7 分 所求体积为) 1(4 3 ln 2 1 2 2 = exdxV e ).1( 3 2 2 =e 12 分 (18) 解法解法 1 drdrxyd DD sincos 3 = + = cos1 0 3 0 sincosdrrd 3 分 += 0 4 sincos)cos1( 4 1 d 5 分 = += 1 1 4 cos )1( 4 1 tdtt t令 += 1 1 5432 )464( 4 1 dtttttt 12 += 1 0 42 )(2dttt. 15 16 = 10 分 (19) 解： （解： （I） 联立 =+ =+ ,2)()( ,0)(2)()( x exfxf xfxfxf 得 ,2)(3)( x exfxf= 2 分 因此)2()( 33 + = Cdxeeexf dx x dx , 3xx Cee += 代入,2)()( x exfxf=+ 得 , 0 =C 所以 .)( x exf= 4 分 （II） = x tx x dteedttfxfy 00 22 .)()( 22 , 12 0 22 += x tx dtexey ,)21 (22 0 2 22 += x tx dteexxy 7 分 当0 y ，又 , 0 )0(=y故曲线的拐点为（0,0）10 分 (20) 见【数学一（见【数学一（15） 】） 】 (21)（I）证）证 令),1( 1)( 1 += nxxxxf nn K则)(xf在 1 , 2 1 上连续，且 ,01)1(,0 2 1 1 2/11 )2/11 ( 2 1 ) 2 1 (=+= xxnnxxf nn K故)(xf在) 1 , 2 1 (内单调增加. 综上所述， 方程0)(=xf在 )1 , 2 1 ( 内有且仅有一个实根. 5 分 （II）解）解 由 ) 1 , 2 1 ( n x 知数列 n x有界， 又1 1 =+ n n n n n xxxK， . 1 1 1 11 1 1 =+ + + + +n n n n n n n xxxxK 因为, 0 1 1 + + n n x 所以, 1 1 11 1 + + + n n n n nn n n n n xxxxxxKK 于是有, 2 , 1, 1 K= + nxx nn 即 n x单调减少. 综上所述，数列 n x单调有界，故 n x收敛. 8 分 记.lim n n xa =由于, 1 1 1 = + n n nn x xx 令n 并注意到 , 1 2 1 1 xxn 则有 , 1 1 = a a 解得, 2 1 =a即. 2 1 lim= n n x 10 分 (22) 见【数学一（见【数学一（20） 】） 】 (23) 见【数学一（见【数学一（21） 】） 】 13 2012 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学(三 三) 试试 卷卷 考生注意：考生注意：（1）本试卷共三大题，本试卷共三大题，23 小题，满分小题，满分 150 分分. （2）本试卷考试时间为本试卷考试时间为 180 分钟分钟. 题 号 18 914 15 16 17 18 19 20 21 22 23 总 分 得 分 一一选择题：选择题： 1 - 8小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是下列每题给出的四个选项中，只有一个是 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定的位置上指定的位置上. (1) 曲线 2 2 1 xx y x + = 的渐近线的条数为 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数 2 ( )(1)(2)() xxn x f xeeen=L，其中n为正整数，则(0) f = (A) 1 ( 1)(1)! n n (B) ( 1) (1)! n n (C) 1 ( 1)! n n (D) ( 1)! nn (3) 设函数( )f t连续，则二次积分 2 2 2 02cos ()df rrdr = (A) 2 2 24 2222 02 () x x x dxxy f xydy + (B) 2 2 24 22 02 () x x x dxf xydy + (C) 2 2 24 2222 011 () y y dyxy f xydx + + (D) 2 2 24 22 011 () y y dyf xydx + + (4) 已知级数 1 1 ( 1)sin n n n n = 绝对收敛，级数 2 1 ( 1)n n n = 条件收敛，则 (A) 1 0 2 (B) 11 2 (C) 3 1 2 (D) 32 2 的 简 单 随 机 样 本 ， 则 统 计 量 12 34 2 XX XX + 的分布为 (A) (0,1)N (B) (1)t (C) 2(1) (D) (1,1)F 二二、填空题：、填空题：914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 请将答案写在答题纸请将答案写在答题纸 指定的位置上指定的位置上. (9) 设 1 cossin 4 lim(tan ) xx x x = . (10) 设函数 ln1 ( ) 211 xx f x xx = ， ( ( )yf f x=，则|x e dy dx = = . (11) 设连续函数(