拔河比赛数学建模.doc

兰州交通大学2013年大学生数学建摸竞赛论文题目： 拔河比赛 参赛组号：参赛人1： 姓名 柴梅 学院 自动化与电气工程学院 班级 自控101 参赛人2： 姓名 刘雪 学院 自动化与电气工程学院 班级 自控101 参赛人3： 姓名 张志龙 学院 自动化与电气工程学院 班级 自控102 论文编号： 拔河比赛一、摘要本文针对拔河比赛问题建立四个数学模型，运用牛顿定律，层次分析法，微分方程解决拔河过程中的位置安排，拉过绳索的长度，比赛规则以及提案问题。模型一：要解决拔河比赛中的站队问题；首先，考虑影响站队获胜的因素；其次对各个因素利用牛顿定律进行分析；再次利用层次分析法对算出各因素的权重为：身高技巧体重力量；最后，综合分析各因素，得出要想在，比赛中发挥最大能量，需要身高高的在前面，体重和力量大的在后面，技巧好的在前方。模型二：解决拉过绳索的距离是否科学问题；利用牛顿定律对受力进行分析，得到加速度和速度的关系式，之后利用微积分对加速度进行双重积分求出所移动的位移为0.9567小于比赛所规定的距离4米，所以将比赛获胜规定为拉过绳索4米是科学的。模型三：为吸引更多的学生和提高学生的素质，需要制定什么规则；首先，提高积极性所提出的要求不要太苛刻，能够符合人们的心理；其次，提高竞争力需要考虑到队员的需求；最后，对体重和拉力的距离定量分析，判断这两个因素对吸引学生和提高竞争力的影响。模型四：根据模型三制定的拔河比赛规则，以此向全国大学生体育运动组委会提出将拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目的提案；根据提案的内容及要求结合拔河比赛的相关内容，得出合理的提案。最后，对模型进行灵敏度和误差分析，并且对模型优缺点进行评价与推广。关键词: 拔河比赛 层次分析法不 比赛规则 提案2、 问题的提出拔河比赛虽然是普及性集体性的体育运动，但是参加者往往对拔河技术却知之甚少，以至许多人错误地认为拔河比赛纯属比力气，无技术。这不仅反映出我国科学不够普及，科学理论与实践结合不够紧密，同时也反映出目前国内对拔河技术方面的研究较少，拔河技术基础知识远远未得到推广与普及。拔河比赛看似简单，实际上隐含着比较复杂的力学原理。有关文献虽然从不同的角度做出一些分析与讨论，但均未能结合比赛实际及实战要求作出综合性的比较系统的阐述。本文结合拔河比赛实际进行分析研究，给出了拔河比赛的决胜因素，希望有助于理论联系实践，有助于拔河运动技术水平的提高。三、队员位置安排从拔河胜负的结果来看，负方一般会有三种不同的情况：一是负方队员没有被拉倒，只是队员脚底打滑或者双脚被迫向前移动（或手中绳子打滑）而绳子中点被平拉过分界线；二是负方队员脚底没有滑动，而是被拉得失去平衡、向前翻倒使绳子中点越过分界线；三是负方队员被拉得既有平动又向前翻转而告负。比赛过程中胜负未定之前的双方的反复拉锯式对抗都包含在这三种情况之中。我们假定双方队员的手与绳子之间都没有相对滑动，绳子不伸长且质量忽略不计，队员的拉力方向与绳子之间的夹角都达到最小，每队队员拉绳子的合力为各个队员分力的矢量和。双方各以一名队员为代表，对问题进行简化处理。这样，队员身体的运动可以简单地分为身体重心的平动、绕以队员的前脚为支点的转动和既有平动又有转动三种情况2。3.1 拉力克服摩擦力2 图1为A、B两队拔河时的示意图，受力分析如图2。A队共受4个力作用：重力GA、支持力NA、摩擦力fA和B队对A队的水平拉力TBA。B队受力也是4个力，即GB、NB、fB和A队对B队的水平拉力TAB1。对于A方，因为NA=GA，所受的合力 FA合=TBAfA；对B方，也有FB合=TABfB 。所以，无论对哪一方而言，平动时战胜对方都是对对方的拉力大于对方所受到的摩擦力。例如，A方战胜B方，就是A拉B的拉力TAB战胜B所受的地面摩擦力fB，即TABfB ，B失去平衡，绳子中点O向A方平动。拉力T是弹力，是人体肌肉收缩产生的力，它与队员的身体综合素质有关，是拔河比赛中起主要作用的力学因素。如果双方的拉力悬殊很大，则拉力大的一方必胜无疑。当双方拉力相当时，若脚下摩擦力不够，必定自身滑动、失去平衡而落败。所以，增大摩擦力使自身稳定，则能与对方的拉力抗衡而立于不败之地，也就能为本方增加获胜的机会。根据 =N,可知增大摩擦力应从增大摩擦因素和增大正压力N入手，具体做法有以下四点：1.增大摩擦因素 与场地地面的软硬、粗糙程度、场地地面的材料和对员的鞋底有关。地面情况对双方都一样不用考虑，主要应当考虑选择坚固结实的、摩擦因数大的有较深较密沟纹的橡胶底鞋或车胎底的鞋，以尽量增大鞋底与地面之间的摩擦。2.增大正压力N在没有附加运动及没有竖直方向分力的外力作用时，由N=G=mg可知，体重较大的队员受的摩擦力也较大，所以应当尽可能选择体重较大的队员出场。3.提高重心时增大正压力N若运动员突然升高身体重心，其向上加速度为a ，则N=GmaG , 即运动员用力向下蹬地，可增大正压力NG。但这个升高过程的时间很短，必须把握恰当的时机才能奏效。（同理，运动员突然下蹲降低重心即重心向下加速时，N将小于G，将使摩擦力变小，这点要相当注意，要在摩擦力足够大时才可以用。）4 .采取高重心姿势增大正压力N当对方排头队员处于低重心姿势或对方拉绳位置较低时，采取高重心姿势抬高拉绳，使对方的拉力变为斜向下拉，利用对方拉力的向下分力增大正压力N=GTBAcosG 。如图3。 但高重心姿势不利于平衡拉力距，应用中应当把握好有利时机。这3、4两种方法有很强的技术性，队员与指挥需要经过认真的训练才能运用自如。由于摩擦力是阻力，它在一定的范围随对方的拉力增大而增大，只能被动地抗衡，令对方拉不动，最多不败，却不能战胜对方。要战胜对方，必须有足够的拉力使对方失衡。所以摩擦力是胜负的重要因素而非决定因素。3.2拉力矩战胜重力矩 拔河队员除平动外，还存在着以前脚为支点的转动。仍以A为例，对A起转动作用的是B方对A方的拉力TBA和自身重力GA产生的力矩，拉力矩使A向前倾倒，重力矩与拉力矩抗衡使A保持平衡，故重力矩在比赛中产生积极作用。若本方对对方的拉力矩大于对方的自身重力矩，即可拉倒对方而获胜。重力矩的大小与队员身体的倾角有关3。队员为保持身体平衡，与地面的倾角必须小于 呈后倾态。设队员身高L，与地面倾角 ，如图4。TBA作用于肩部约在身高0。8L处，GA作用于重心约在0.6L处1，若TBA0.8Lsin GA0.6Lcos，则A方围绕支点O向前倾倒而落败；当拉力矩与重力矩平衡时，TBA0.8Lsin= GA0.6Lcos即0.8sinTBA= 0.6cosGA。 此式表明，增大队员体重对增大重力矩也有显著作用。同时，在对方拉力TBA一定时。减小将增大重力力臂，增大重力矩，同时减小拉力臂减小拉力矩，有利于抗衡。当 时，cossin，对增大重力矩显著有利。但 太小不仅队员的灵活性降低而且会导致摩擦力减小造成新的不利。在人的脚背自然绷直而且脚底都接触地面时， 略大于 。这里要根据具体情况灵活调整，当摩擦（因数）足够时，可减小 ，队员取低重心后倾姿势。当摩擦因数不足时，可适度增大 。经验表明， 一般 大约可以在30 75范围内调整，这也因队员个人身体条件差异而不同。对于出现既平动又转动的第三种情况，则是比赛中一方不慎受到对方的突然的强大的拉力袭击而乱了队形阵脚，这时拉力显著大于最大静摩擦力，拉力矩又显著大于自身的重力矩，队员们处于惊慌之中未来得及调整姿势，就又滑动又翻倒而落败，这场面一般出现在双方力量悬殊较大或一方注意力不集中没有充分准备好的情况，这样的比赛常常数秒钟就见分晓，而且往往使败方马上形成意志落败，接下去就有可能会一败涂地。3.3 队员姿势的调整技巧正确的身体姿势是队员身体保持平衡和发挥力量的可靠保证。队员身体姿势不正确，往往既不能正常发挥力量又不能可靠地保持自己身体平衡而导致比赛失败。但是队员的每一种身体姿势都有其有利的一面和不利的一面，双方在比赛过程中，各队队员的身体姿势都会有变化，比赛中势均力敌的双方也还会有几次的反复才决出一场胜负，即会出现A队几乎要胜了，随即又被B队拉回到B队几乎要胜利了的场面，这种势均力敌的精彩场面有时会出34次甚至多次的反复。要使比赛获胜，指挥员必须采取灵活机动的攻防战术，随时指挥队员调整好正确有利的身体姿势。这里，我们简要分析几种姿势在比赛中的利弊。1. 高重心后倾姿势4。见图3。有利一面：这种姿势的最大静摩擦力 f=N=（GTsin），可抵抗较大的拉力，又具有较大幅度的向后向下移动重心、施展爆发力的余地。不利一面：由于该姿势重心高，自身的重力臂小，使重力矩小，容易失去平衡而被拉倒，比赛中有时会因为没有把握好采用高重心姿势的时机，又为了保持平衡不翻倒，队员们不得不向前移步而负于对方。同时也因为已经处于高重心姿势，失去了突然向上升高重心的施展爆发力的余地。2.低重心后倾姿势4。 如图5。有利的一面：人体与地面的倾角小,重心偏后,显著地增大了重力臂（0.6Lcos ），使重力矩显著增大，从而比高重心姿势能对抗更大的拉力矩。当摩擦足够时，低重心姿势与高重心姿势对抗，其它因素相同的情况下，高重心姿势将落败。不利的一面：由于重心低，改变了对方拉力方向使之变为斜向上拉（但 很小，实际上远没有变化显著），拉力的向上分力将使人体对地面的正压力减小为N = GTsin ，从而使人体受到的最大静摩擦力：f=N=（GTsin）变小，能抵抗对方的最大拉力也变小。当摩擦因数不够大时，低重心姿势会造成脚下打滑而落败。3.姿势调整。赛场上的形势是瞬时即变的，取胜方必须根据需要随时迅速调整队员的身体姿势，使本方处于优势地位，才有可能取胜。这要求运动员与指挥员密切配合，即时把队员调整到对本方有利的姿势而战胜对方。根据前面的分析，可以得到调整姿势的基本原则：1） 场地摩擦足够，处于高重心姿势被对方拉得要向前翻转时，全队应当适当降低重心保持平衡。双方相持时，处于高重心姿势得队员可利用高重心姿势有较大幅度后移和降低重心的灵活余地，全队突然后移重心施展爆发力战胜对方2）摩擦因数较小（如水泥地面）时，宜采取高重心姿势以增大摩擦防止支点移动。原处于低重心姿势一方，相持时可全队突然升高重心施展爆发力发动进攻。在被对方拉动前移时，应当适当提高重心增大摩擦力防止滑动，同时可采取双脚有次序蹬地移步，因为静摩擦因数大于滑动摩擦因数，蹬地移步时，产生的最大静摩擦力大于滑动摩擦力，因而有利地对抗对方拉力而保持身体平衡。3.4 指挥5与队员的素质拔河是团队之间的智慧、精神意志和力量的较量，指挥相当重要。没有好的指挥，全队就不可能紧密配合如一人发挥到最有力量的状态，就没把握抓住战机击败对方。同时拔河又是一种实战，队员的个人素质也很重要，如个人力量、身高、体重、是否反映灵敏、是否会用力、是否服从指挥等等都要考虑，甚至是否有过实战经验，都不应忽略。简而言之，队员既要有力，又要会施力，更要服从指挥即时施力才能取胜。比赛中，如果两队势均力敌，指挥不力的一方必将失利；双方指挥水平相当，反应迟缓、不听指挥的队员人数较多的一方则必败无疑。3.5挑选队员的原则根据以上分析，我们很容易归纳出以下几个挑选队员的原则：(1)大力士原则全体队员的合拉力大于对方的最大摩擦力或拉力矩大于对方的重力矩才能获胜，每个队员的个人力量大，则全体队员的合拉力必定大，所以应当挑选体力大的大力士队员参赛。(2)大体重原则在相同摩擦因素时，体重大，可获得的最大静摩擦力大，同时质量大者惯性也大，故体重大者占优势。若比赛规则中（可以由比赛组委会规定）无队员体重的限制，应优先挑选大体重的队员。（3)高大身材原则身材高大的队员对身体姿势的重心高、低的调节范围较大，可有效地改变和控制绳子拉力方向，对拉力矩、重力矩的调节也有较大的范围，在姿势调整中有条件产生最好的调整效果，同时队员身材高大还具有威慑对方心理的作用。因此，其他条件相当的情况，优先选择身材高大的队员参赛。 (4)机敏原则 队员机警灵敏、反映快捷，容易快速掌握比赛技术要领，容易组织训练，容易配合指挥适时施展爆发力，容易抓住战机而充分发挥集体力量优势。3.6结论综上所述，要取得拔河比赛的胜利，首先在挑选队员方面占优先；其次一定要让队员明白决定胜负的力学原理，使每一位队员都学会出大力把握什么时候出大力，掌握技术技巧，在知识、技术基础和服从指挥的参赛素质上占优先；第三，指挥要善于合理安排队员位置，身材高大、身手矫健的机敏队员占居排头与排尾以控制和稳定整个队伍，并认真进行技术、战术、指挥与配合上的战前训练，在实战准备上也要占先；第四，全体队员还要有必胜信心和顽强的斗志，与指挥及本方的拉拉队员们共同营造压倒对方的气势氛围，在精神力量上也同样要占先。这样才能来之能战，战之必胜。四、证明比赛规定拉过4米合理与否4.1回归方程定义：在一组具有的变量的数据（x与Y）间，通过散点图我们可观察出所有数据点都分布在一条直线附近，这样的直线可以画出许多条，而我们希望其中的一条最好地反映x与Y之间的关系，即我们要找出一条直线，使这条直线“最贴近”已知的数据点，记此直线方程为（如右所示，记为式） 这里在y的上方加记号“”，是为了区分Y的实际值y，表示当x取值xi=1，2，6）时，Y相应的观察值为yi，而直线上对应于xi的纵坐标是 式叫做Y对x的 回归直线方程，相应的直线叫做回归直线，b叫做回归系数。要确定回归直线方程，只要确定a与回归系1根据预测目标，确定自变量和因变量数b。 明确预测的具体目标，也就确定了因变量 2建立回归预测模型 依据自变量和因变量的历史统计资料进行计算，在此基础上建立回归分析方程，即回归分析预测模型。 3进行相关分析 回归分析是对具有因果关系的影响因素（自变量）和预测对象（因变量）所进行的数理统计分析处理。只有当变量与因变量确实存在某种关系时，建立的回归方程才有意义。因此，作为自变量的因素与作为因变量的预测对象是否有关，相关程度如何，以及判断这种相关程度的把握性多大，就成为进行回归分析必须要解决的问题。进行相关分析，一般要求出相关关系，以相关系数的大小来判断自变量和因变量的相关的程度。 4检验回归预测模型，计算预测误差 回归预测模型是否可用于实际预测，取决于对回归预测模型的检验和对预测误差的计算。回归方程只有通过各种检验，且预测误差较小，才能将回归方程作为预测模型进行预测。 5计算并确定预测值 利用回归预测模型计算预测值，并对预测值进行综合分析，确定最后的预测值。 应用回归预测法时应首先确定变量之间是否存在相关关系。如果变量之间不存在相关关系，对这些变量应用回归预测法就会得出错误的结果。 正确应用回归分析预测时应注意： 用定性分析判断现象之间的依存关系； 避免回归预测的任意外推； 应用合适的数据资料； 4.2回归直线的求法 最小二乘法： 总离差不能用n个离差之和来表示，通常是用离差的平方和，即作为总离差，并使之达到最小，这样回归直线就是所有直线中删去最小值的那一条，这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法。 4.3采