数学建模论文—π的计算.doc

数学建模I结 课 论 文 班级：材料物理141403 学号：201414020311 姓名：郭宇林 指导教师：王欣洁 圆周率的近似计算方法摘要本文探讨了用割圆术近似计算圆周率的方法，并且借助数学软件matlab完成了相应的程序编写和结果分析，对圆周率的近似计算做了简单的探讨。割圆术就是等分圆周，依次连接等分点组成圆的内接正多边形。显然，圆的内接正多边形的边数越多，其面积与圆面积之差的绝对值越小。当增加的边数趋于无穷时，则该正多边形的面积就与圆的面积没有差别了。通过迭代逐次逼近的办法可以近似求得的值。关键字：割圆术 迭代逼近法 Matlab问题的重述在科学工作者的心目中，准确的数字是他们的终身追求。为提高数字的计算精度，古往今来的许许多多人们为此付出了艰苦的努力。3.14，对这样一个古老的数字，人们已经是再熟悉不过了。随着科学技术的发展，尤其是计算机的广泛应用，对获得高精度的已非难事，利用专业的数学软件，很轻松就可以获得小数点后几百位的数值。尤其是在近几年，利用计算机可以将精确到小数点后万亿次，计算的精确值已经成为测试或者检验超级计算机各项性能一种方法，引发新的概念、方法和思想，产生新的问题提供了广阔的前景。下文就针对的求解进行一系列的探讨和分析。一、 模型的假设1.近似逼近得到的在保留有限位小数后可以认为是精确值。2.投点时落在扇形每一个位置的机会是均等的。二、 符号的说明圆的面积S内接正n边形的面积内接正2n边形的面积圆半径R弦长AB弦心距0FCF的长度落在扇形内的点数m总投点数n三、 问题的分析的求解方法，自古以来就有前人开始研究，到现在方法已经很多很多，对于本问题的求解，选用了刘辉经典的割圆术和蒙特卡罗方法中的随机投点方法，借助计算机，快速便捷的对进行近似计算。割圆术就是等分圆周，依次连接等分点组成圆的内接正多边形。显然，圆的内接正多边形的边数越多，其面积与圆面积之差的绝对值越小。当增加的边数趋于无穷时，则该正多边形的面积就与圆的面积没有差别了。根据这个原理，画出它的几何关系图形，列出对应的几何关系，通过计算，可以算的的上、下界。随着边数的增加，通过迭代的思想，逐步的逼近的精确值。五、模型的建立与求解 割圆术4.1.1 模型的建立割圆术就是等分圆周，依次连接等分点组成圆的内接正多边形。显然，圆的内接正多边形的边数越多，其面积与圆面积之差的绝对值越小。当增加的边数趋于无穷时，则该正多边形的面积就与圆的面积没有差别了。图一记圆的面积为S，其内接正n边形的面积为，图1中AB为正n边形的一边，当分点加倍后，面积为。将图中两个四边形AOBC和ABED的面积分别记为和，有 从而： （1）上式就是刘徽用于计算的圆面积不等式。下面我们用刘徽割圆术讨论计算的具体过程。为简单计，取圆半径等于1,这时圆面积S =，这样（1）式中S的上、下界就是的上、下界。 记 （2）从图1可见，多边形由n边变为2n之后，其面积在原来的基础上增加了n/2个矩形ABED的面积，有 （3）新的正2n边形的边长为： （4）上述的式（1）（4）就是计算的数学模型。4.1.2 模型的求解从某个圆内接正多边形开始计算，逐次迭代，就可以逐渐逼近的值。这里从正6边形开始计算，可以得到，依次使用计算公式就可以得到正12边形的边长和面积，正24边形的边长和面积，等等。得到的这些面积不断的逼近的值，所求的的上、下界均满足不等式（1）。根据题意，用matlab编写程序，如下：format long gn=6;a=1;s=1.5*sqrt(3);sc=;for k=1:25 d=1-sqrt(1-a*a/4); s2=s+n*a*d*0.5; n=n+n;s3=2*s2-s; sc=k,n,s2,s3; a=sqrt(2*d);s=s2; scend对得到的结果进行整理，见下表：割圆术估算值的迭代过程迭代次数边数下界上界11233.401923788646682243.105828541230253.211657082460503483.132628613281243.159428685332234963.139350203046873.1460717928125051923.141031950890513.1427136987341563843.141452472285463.1418729936804177683.141557607911863.14166274353825815363.141583892148323.14161017638478930723.141590463228053.141597034307781061443.141592105999273.1415937487704911122883.141592516692163.1415929273850412245763.141592619365383.1415927220386113491523.141592645033693.1415926707020014983043.141592651450773.14159265786784151966083.141592653055043.14159265465931163932163.141592653456103.14159265385717177864323.141592653556373.141592653656641815728643.141592653581443.141592653606501931457283.141592653587703.141592653593972062914563.141592653589273.1415926535908421125829123.141592653589663.1415926535900522251658243.141592653589763.1415926535898623503316483.141592653589793.14159265358981241006632963.141592653589793.14159265358980252013265923.141592653589793.141592653589804.1.3 结果的分析由上表可以看出，随着迭代次数的增加，的有效位数也在增加，但是可以看到值增加的速度很慢。将最终结果精确到小数点后14位，计算得到的在3.14159265358979到3.14159265358980之间，保留14位有效数字的话，得到=3.1415926535898。图二四、 模型评价 用割圆术建立求解的数学模型，在逼近的过程中，收敛速度虽然比较缓慢，但是用递推逼近的方法在进行无穷次迭代后，