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利率、外汇价格服从扩散-跳跃过程的零息债券评价模型徐保鹏11元培科技大学 财务金融系摘要近年来不论是利率市场或者是外汇市场的商品价格皆发生价格跳跃现象，有鉴于此，不少文献提出扩散-跳跃过程修正评价模型。由于过去的文献假设价格过程为连续，换言之，无法精确捕捉当价格大幅向上或是向下跳跃时的情况，而扩散-跳跃过程，假设价格过程包括连续及不连续点，除了更加符合实证数据之外，理论上也更具一般化。本文建构在一个跨国经济体系之下，本国、外国的利率及两国之间的汇率皆为levy过程的模型，假设利率期限结构分别为HJM模型，应用平赌测度转换，推导出国外零息债券(ZCB)的价格。本文的贡献如下：推导出排除外汇风险的债券价格，适用于跨国发行者及投资者（如台湾）；得到风险中立下的债券过程，可应用于其它债券型衍生性商品，如可赎回型债券、路径相依型债券。关键词： 扩散-跳跃过程、HJM模型、levy过程元培科技大学 财金系 专任讲师徐保鹏电话 03-5381183-8624壹、前言自从Das (2002)证实利率过程有跳跃现象以来，大量的文献开始设定利率随机过程符合扩散-跳跃过程，扩散-跳跃过程最初是由Metorn (1976)所提出，利用假设资产价格符合Compound Possion来修正价格过程中可能会出现的不连续点，由于价格过程同时包括连续及不连续点，扩散-跳跃过程较布朗运动(BM)更加一般化。Hardouvelis (1988)， Dwyer 和 Hafer (1989) ，Naik 和 Lee (1990)，Heston (1995) 及 Das (1995)等验证加入跳跃考虑的过程的确相较传统的BM连续过程对于描述短期利率更为精确，Bjrk, et al. (1997)，Glasserman 和 kou (2003) 及Shirakawa (1991)等论文假设利率服从扩散-跳跃过程，重新评价及分析。而这种随机过程中包含不连续点性质可用marked point process来刻画（见Cont 和 Tankov(2004)），levy process是Paul Levy在1934所提出的一种marked point process，因为levy process只要找到相对应的特征triplet，即可被决定，运算上相当便利，并且涵盖lognormal jump 扩散、variance gamma等许多跳跃过程，相当般化，因此目前大量研究皆采用levy process，利用levy过程重新评价商品的文献有Eberlein 和 Kluge (2006)，Eberlein 和 Raible (1999)。利率期限结构计有单因子模型、双因子模型、HJM模型等，每一个模型都有其优缺点(见Strickland (1996)，在Brace, et al. (1997)中提出由LIBOR所构成的随机过程，称为BGM模型，不但评价标的物是LIBOR等相关衍生性商品准确度高，且封闭解可以对应Black和Scholes公式，不过如果在加上利率为扩散-跳跃的假设之后，运算上更为复杂，且评价不易找到封闭解，计算效率又比较差(见(Takahashi (2006)，另外Eberlein 和 Ozkan (2005)假设远期利率为levy过程，找出如何从HJM模型出发，转换成BGM模型条件，建构出BGM模型，因此本文选定HJM做比较基础点。Jiang (1998)，Johnson 和 SchneeWeis (1994)，Jorion (1989)等利用实证数据发现除了利率之外，汇率也具有跳跃的现象，由于目前的衍生性商品相当全球化，汇率风险相对重要，尤其是台湾等非债券发行之大国，许多债券型基金，皆以美金或者欧元计价，加上汇率波动性又高，排除汇率风险的商品激增，也就是投资人不论投资何种商品收益皆以本国货币计价。Reiner (1992)在假设汇率过程为BM的情况之下，算初期出隐含汇率风险的商品价格，换言之，商品在定价时已经排除汇率风险，如同上述levy优于BM的原因，Koval (2005)、Huang 和 Hung (2005)等评价时都改采用levy过程。这一类的商品由于台湾在95年开放承做连结台湾股票市场外币衍生性金融商品的关系，评价的相关文献也逐渐增加(见黄玉娟和吴锦文(2007)，不过汇率过程多延续BM，国内有关利率的近期文献也开始采用跳跃模型，如黄博怡、邱哲修和林卓民(2005)，不过在债券或者是利率商品仍旧相当缺乏。本文的贡献如下：推导出排除汇率风险的债券价格封闭解，便于跨国发行者如台湾等发行债券型商品及风险控管，再推导的过程中得到风险中立测度下参数的转换及设定，提供利率过程的蒙地卡罗模拟，由于利率衍生性商品可能为美式或者是可赎回等，蒙地卡罗方法对于这一类型的商品评价，操作较为简易且运用层面广，藉此后续相关研究的参考。贰、模型设定假设存在一个于时段可连续交易的经济体，且经济体系中不确定性可以用机率空间来描述，其中为样本空间，为-algebra，为原始机率测度，令为所产生的filtration。相对应维度的 Levy过程，描述如下：.(1)其中为空间下的测度函数，使得当时且当时为可积分，、为中向量，为一个对称且凖正定矩阵，使得且，代表Euclidean vector norm而可为任一矩阵的norm。公式(1)是Levy过程所对应的特征函数，我们利用特征函数来表述Levy过程是因为特征函数与Levy过程是一对一关系，换言之定义的特征函数，相当于定义。而满足公式(1)的也可以用积分表之:(2)其中是维度的布朗运动，测度跳跃幅度，是受补偿函数，是的长度开根号。定义特征函数，而可表为特征函数的指数函数形式，如下：. (3)也就是透过公式(2)可得(4)根据Huang和 Hung的论文得知，如果可以用适当的 函数表示为, 则the Levy-Khintchine formula可以改写为 . (5)接着利用(2)所定义的Levy过程建构一个跨国经济体，右上标为d表示国内，右上标为f表示国外，符号定义如下：表现在时间为，时间瞬间借/贷的国内远期利率，到期日为时支付1元的国内零息债券(ZCB)时间时国内瞬间无风险利率，同理，国外的瞬间远期利率、瞬间短期利率、国外ZCB，分别为、，假设在机率测度之下，国内外瞬间远期利率的动态行为遵循下列随机过程：, (6).(7)其中 与 皆为有界且在为一给定的数值；同时、 及 、 前者为空间中被给定之函数，后者为空间中被给定之函数，而定义域为。根据国内外债券与瞬间远期利率满足的关系，在机率测度之下ZCB过程可表为,其中 and ，至于汇率过程假设为以下形式：以下我们先将所有随机过程由原始机率测度转换至国内风险中立测度，换言之我们必须推导出满足转换至测度的漂移项。定理一：当、分别满足下列公式(8)、(9)、(10)，可使得经济体系内在原始机率测度之下的所有资产过程转换至国内风险中立测度之下资产过程.(8).(9).(10)证明：定义，不论国内外债券与瞬间远期利率满足的关系且短期利率与瞬间远期利率具有关系。设，则当的漂移项为零时，即为转换至国内风险中立测度的条件，而此时(8)要被满足，同理可得汇率及国外债券价格必须满足的条件分别为(9)、(10)。更详细的证明见附录。故此在国内风险中立测度之下的国内ZCB可以表成在测度之下的汇率过程可表为在测度之下的国外ZCB表为(11)引理一：假设则相对应的短期利率过程为，其中表示对函数的第二个变量偏微分，也就是。证明：因为远期利率与债券价格具有关系，将(11)先取ln然后再取，又因为短期利率与远期利率满足，将T设为t代入即可得之证明。定理二:假设国内外远期利率过程皆符合HJM模型，并且假设，其中是严格递增函数，则时国外ZCB价格可以表为，其中(12)(13)证明：根据(11)可推论并且可将(11)写为(14)又令，并且计算，可得带回(14)，可得设故可得证。伍、结论由于目前金融市场价格变化过大，传统的BGM无法解决这种峰态偏误，为此近年来文献研究转向levy过程，在本文中利率及汇率皆采用levy过程，并且考虑不同利率模型的选取，先推导出HJM模型的国内风险中立测度转换，进一步得到零息债券价格的过程及封闭解，由于债券或者利率结构型商品相当全球化，可以预见未来台湾券商发行跨国债券结构型商品可能性大增，排除汇率风险的需求也会相对应增加，或许在未来的研究上，可以将本文的结论近一步应用在可以提前赎回债券或者利率商品上。参考文献1. 黄玉娟和吴锦文，2007，外币计价之台湾连动保本型票券订价，台湾金融财务季刊，第8卷3期，1-21。2. 黄博怡、邱哲修和林卓民，2005，短期利率之动态条件变异与预测绩效之探讨，金融风险管理季刊，第二期，17-32页。3. Bjrk, T., Kabanov, Y., and Runggaldier, W. 1997. “Bond Market Structure in the Presence of Marked Point Processes,” Mathematical Finance, 7,211-223.4. Brace, A., Gatarek, D. and Musiela, M., 1997, “The Market Model of Interest Rate Dynamics,” Mathematical Finance 7, 127-147.5. Cont, R., and Tankov, P. 2004. “Financial Modelling with Jump Processes,”CRC Press.6. Das, S. R. 1995. “Jump-Diffusion Processes and the Bond Markets,” Working paper, Santa Clara University.7. Das, S. R. 2002. “The Surprise Element: Jumps in Interest Rates,” Journal of Econometrics, 106, 27-65.8. Dwyer,G. P., and Hafer, R. W. 1989. “Interest Rates and Economic Announcements,” Technical report, Federal Reserve Bank of St. Louis.9. Eberlein, E., and Kluge, W. 2006. “Valuation of Floating Range Notes in Levy Term-Structure Models,” Mathematical Finance, 16, 237-54.10. Eberlein, E. and Raible, S., 1999, “Term Structure Models Driven by General Levy Processes,” Mathematical Finance 9, 31-53.11. 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