数值分析教学大纲与基本要求.doc

数值分析教学大纲与基本要求第一章 绪论1.1 误差的来源与误差的基本概念1. 误差的来源2. 绝对误差与绝对误差限3. 相对误差与相对误差限4. 有效数字1.2数值计算中需要注意的问题1. 避免两个相近的数相减2. 防止大数“吃掉”小数3. 注意简化计算步骤, 减少运算次数4. 避免误差的传播与积累本章作为绪论，应先讲一些有关数值分析的基本知识，如数值分析是处理哪些问题，在工程有什么用途，以及如何学习数值分析课程。本章的内容只要作简单介绍，考试内容不会涉及到本章的知识点，让学生记住1.2节的三点避免两个相近的数相减、防止大数“吃掉”小数和避免误差的传播与积累，其中避免误差的传播与积累书上没有，作为补充。在第一节课，告诉学生，本学期数值分析的教学作部分改革并注意以下事项：（1） 更换教材。以薛毅，耿美英编写的数值分析（北京工业大学出版社）为教材，不再使用过去的教材（徐萃薇，孙绳武，计算方法引论（第二版），高等教育出版社，2002.1），当然，数值分析教材大同小异，学生也可以自选教材，我们不强求。（2） 取消过去的上机实习，学习成绩以期末考试成绩为准（以前的课程实习报告占30分，期末考试占70分），从某种程度上讲，难度加大，不及格的人数会增多。望同学们认真学习本门课，不要以师兄师姐的经验为准。（3） 考试是半开卷考试只能带一本书（随便哪本书）进入考场，不能带其他纸张（特别是A4复印纸）进入考场。（4） 由于孟大志老师已退休，换其他老师出题，不要在平时不学习，到考试时复印以往的考试题（这也是不能带A4复印纸进入考场的原因）。这次试卷风格可能有大的变化。以上事项一定要告诉学生，不要在考完试再找老师。第二章 解非线性方程的数值方法2.1二分法1. 二分法基本概念和定理2. 算法的基本思想3. 误差估计与收敛性分析4. 算法5. 算法的优缺点本节的重点是二分法的基本思想、误差估计，以及算法的优缺点。重点是让学生掌握如何判定非线性方程组在区间内有根；如何计算迭代次数；二分法是局部收敛还是大范围收敛的。2.2 迭代法1. 迭代法的基本思想2. 迭代法的几何解释3. 收敛定理4. 误差估计5. 算法6. 局部收敛定理7. 迭代收敛的阶8. 迭代加速本节的重点是迭代法的基本思想和几何解释。由误差估计导出算法的终止条件。考试题可能会涉及到如何选择迭代格式使迭代收敛，给出某种迭代格式，如何判断它的收敛阶。迭代加速只简单介绍即可，不会出考试题的。2.3 Newton1. 算法介绍2. Newton法的几何意义3. 算法4. Newton法的收敛速率5. 重根情况6. Newton下山法本节的重点是Newton法的基本思想和几何意义，如何用Newton求非线性方程的根。Newton在什么情况下收敛是二阶的，什么情况下是一阶的。考试题要求学生用Newton法导出某种计算公式（如在没有开方运算的情况下，如何计算一个数的开方）。给出某种迭代格式是二阶的，还是一阶的（填空题）。Newton下山法可以不讲。第三章 线性方程组的数值解法3.1 消去法1. 顺序Gauss消去法2. 列主元Gauss消去法3. GaussJordan消去法本节只要求学生会用列主元消去法求解方程组即可，没有太多知识点。3.2 矩阵分解1. LU分解2. 解三对角方程组的追赶法本解的要求是，学生会作矩阵的LU分解并用LU分解求解线性方程组（可能会有考试题）。追赶法不要求，可以不讲。3.3 对称矩阵的Cholesky分解1. 正定矩阵及其性质2. 平方根法3. 改进平方根法本节重点是平方根法，即Cholesky分解。正定矩阵的性质只作为复习，不会作为考试内容。平方根法的考试题可能是作Cholesky分解，或者一个矩阵能作平方根法的条件等。改进平方根法讲，但不作为考试内容（可以根据自己的学时掌握）。3.4 向量与矩阵的范数1. 向量范数2. 矩阵范数本节只要求到会计算向量与矩阵的范数，判断什么情况下是范数。这里可能会出些填空题。3.5 方程组的性态1. 关于方程组解的精度2. 矩阵的条件数3. 方程组的性态4. 病态方程组的求解本节主要介绍条件数和病态方程组的概念。基本要求会计算条件数（考试填空题），其他内容只介绍，不作为考试内容。第四章 解线性方程组的迭代法4.1 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法1. Jacobi迭代法2. Gauss-Seidel迭代法本节只需掌握会用两种迭代格式求解方程组即可。4.2 迭代法的收敛性1. 迭代收敛定理2. 迭代收敛速度3. 对角占优阵本节重点掌握如何判断迭代格式收敛。考试题可能是给出某种迭代格式，如何判断是否收敛；给出矩阵（带有参数）两种迭代格式的收敛区域是什么。这种题可以是计算题也可以是填空题。对角占优矩阵判断收敛性很容易，要求学生记住。4.3 超松驰(SOR)迭代法1. 超松驰迭代法2. SOR迭代法的收敛性本节只要知道什么是超松驰(SOR)迭代法即可。第五章 插值方法5.1 Lagrange 插值1. Lagrange插值多项式2. Lagrange 插值公式的计算3. 插值余项本节的重点会推导或写出Lagrange插值多项式，知道插值多项式是存在且唯一的（这里可能会出考试题）。会估计插值余项。5.2 Newton 插值1. 均差（差商）2. Newton基本插值公式3. 差分4. 等距节点的Newton插值公式本节重点掌握Newton基本插值公式，会计算均差，知道均差与导数之间的关系（会出考试题）。学会用差分计算恒等式。等距节点的Newton插值公式只作简单介绍，不作为考试题要求。5.3 Hermite 插值1. 二点二次插值公式2. 二点三次Hermite插值公式3. Hermite插值公式4. Newton形式的Hermite插值公式本节只需要简单推导二次和三次的Hermite插值公式，一般情况只需要给出，不需要推导。本节的重点是掌握Hermite插值的思想，并不用具体计算。考试题可能会是这样，给二、三个的函数值，一、二个点的导数值，用学过的方法构造出一个多项式。5.4分段低次插值1. 高次插值多项式的问题2. 分段线性插值3. 分段三次Hermite插值本节以Runge (龙格) 就给出了一个等距插值多项式不收敛的例子引出，高次插值并不是好的，因此需要低次插值。分段线性插值收敛，但插值函数不可微（不光滑）；分段三次Hermite插值可微，但某些点不存在二阶导数，所以要引进三次样条插值。本节内容只有概念，没有计算题可出。5.5 三次样条插值1. 三次样条插值函数2. 三次样条插值函数的求法3. 三次样条插值的收敛性掌握三次样条插值的概念，满足什么条件的插值函数是三次样条插值。计算题不要求，教师根据自己的学时情况，作简单的介绍。第六章 函数逼近与数据拟合6.1正交多项式1. 正交函数系的概念2. 常用的正交多项式3. 正交多项式的构造 本节的重点是正交多项式，介绍两个重要的正交多项式Chebyshev (切比雪夫)多项式和Legendre (勒让德)多项式。会构造简单的正交多项式（如利用定义构造一个二阶的正交多项式）。6.2函数的最佳平方逼近1. 最佳平方逼近的概念及计算2. 用正交函数作最佳平方逼近 本节介绍只作简单介绍，不作为考试要求。6.3最小二乘法1. 基本概念2. 用代数多项式作拟合函数3. 用正交函数作最小二乘本节的重点是会用最小二乘方法作数据拟合，如线性拟合，或化为线性拟合（这部分内容会出考试题）。用正交函数作最小二乘不作要求，如果讲不清，这部分内容不讲。第七章 数值积分7.1 Newton-Cotes求积公式1. 数值求积公式的构造和它的代数精确度2. 梯形求积公式3. Simpson求积公式4. Cotes求积公式5. Newton-Cotes求积公式6. 计算稳定性问题本节的重点是这些问题的基本概念。会计算代数精确度（出考试题，如何计算某求积公式的代数精确度）。课上详细推导梯形求积公式和Simpson求积公式，其他公式不用推导。从计算稳定性问题出发，引出高阶公式不好的概念（只要讲清理念就行，这里不会有习题），所以需要复化公式。7.2复化求积公式1. 复化梯形公式2. 复化Simpson公式3. 复化Cotes公式这节内容是本章的重点。会用复化梯形公式和复化Simpson公式计算积分（出考题），会用复化梯形公式和复化Simpson公式余项来估计复化的次数（出考题）。7.3 Romberg 求积法1. 变步长的梯形公式2. Romberg（龙贝格）求积公式3. Romberg 求积法4. Richardson (理查森)外推加速法Romberg（龙贝格）求积公式是求积公式中最有效的公式，所以一定要介绍。但其计算复杂，计算比较费时（以前几乎每年到有这类题作为考试，今年就不出了）。Richardson (理查森)外推加速法不作为要求，只要让学生知道，Romberg（龙贝格）求积公式的合理性即可。7.4 Gauss求积公式1. Gauss点2. Gauss-Legendre 公式3. Gauss-Legendre 公式的使用4. Gauss型求积公式的余项及稳定性5. 带权的Gauss公式这部分内容只作简单介绍，不作为考试要求。教师可根据学时情况选讲，也可以不讲（如果学时不够）。第八章 常微分方程的数值解8.1 Euler方法1. Euler 方法2. 梯形公式和改进Euler方法 重点是介绍这三种方法，会作简单的计算。注意，这里有显式格式和隐式格式，这一点后面会用到。考试题可能会是一些简单的计算，或递推公式。8.2 Runge-Kutta 方法1. Runge-Kutta（龙格-库塔）方法的基本思想2. 二阶Runge-Kutta法3. 四阶Runge-Kutta法4. 变步长的Runge-Kutta法 本节的重点是Runge-Kutta（龙格-库塔）方法的基本思想，会用四阶Runge-Kutta法计算微分方程。变步长的Runge-Kutta法可能不讲。8.3 单步法的收敛性和稳定性1. 单步法的收敛性2. 单步法的稳定性3. 稳定性的意义 收敛性和稳定性是本节的重要概念。会计算某些计算公式的稳定区间，或判断是否为无条件稳定的。会讨论上述算法（显式、隐式）的优缺点（主要从收敛性和稳定性方面考虑），这里会出填空题或计算题。8.4 线性多步法1. 线性多步法的一般公式2. Adams外推公式3. Adams内插公式4. 预报-校正公式 多步方法只作简单介绍即可。会用公式计算即可，不必作过多的介绍。8.5 常微分方程组和高阶微分方程的数值方法1. Euler方法2. 梯形公式和改进Euler 方法3. Runge-Kutta 方法4. Adams方法5. 刚性方程组这部分内容书上没有，但对于工程计算还