数理方程例题.doc

数学物理方程例题和习题（2009-10-31）一、常微分方程回顾1一阶常微分方程常数变易法用于解源函数不为零的常微分方程问题先求解对应的齐次方程（源函数为零）：用常微分方程分离变量方法： 得齐次方程通解为了求解非齐次方程（源函数不为零），应用常数变易法。将上式中C替换为待定函数，设对其求导数，得将其代入非齐次方程，得 代入表达式，得应用初始条件，得解函数从两部分解读解函数的意义。第一部分利用了初始条件的信息，第二部分利用了微分方程右端项的信息。它们分别是两个子问题的解，2二阶常微分方程常数变易法二阶常微分方程初值问题先考虑对应齐次方程：。利用辅助方程， 得齐次方程通解将常数替换为待定的函数，即有两个未知函数待定。代入微分方程得恒等式，由一个等式不能唯一确定两个函数。如果人为增加一个等式，就可以构造出二元线性方程组，朗斯基行列式方法是成功的确定两个待定函数的方法，方法如下，对假设的函数求一阶导数，得在上面表达式中，令第一个方栝号为零，得第一个等式同时，由继续求导数，得代入方程，得第二个等式将两个等式联立，得线性代数方程组或写成矩阵形式上式的系数矩阵行列式称为朗斯基行列式，由于利用克莱姆法则解方程组，有，积分，得两个待定函数表达式，代入常数变易法假设的函数中，得利用初始条件确定任意常数C1和C2，显然，代入并利用三角函数和差化积公式，得二、二阶偏微分方程分类与化简例2.1判别二阶微分方程 的类型并求通解。解：利用判别式所以方程是双曲型方程。构造辅助方程解得：，由，积分，得，由此构造变换，显然，变换矩阵为且将变换表达式代入方程，化简得，对其积分，得其中，是两个任意一元函数（二阶连续可微）。代回原来变量，得原方程的通解例2.2 判别二阶微分方程 的类型并求通解。解：利用判别式所以方程是双曲型方程。构造辅助方程解得：，由，积分，得，构造变换，显然，变换矩阵为且将变换表达式代入方程，化简得，即对其积分，得其中，是两个任意一元函数（二阶连续可微）。代回原来变量，得原方程的通解例2.3判别二阶微分方程的类型并求通解。解：利用判别式所以方程是双曲型方程。构造辅助方程分解因式，得所以，解常微分方程得得变换。由于所以得标准方程，即方程的通解为：是两个任意一元函数（二阶连续可微）。代回原来变量，得通解三、分离变量法第一类边界条件固有值问题固有值和固有函数，（n=1，2，）第二类边界条的固有值问题固有值和固有函数，例2.1求解欧拉方程固有值问题解：作变换：，即，未知函数的导数为代入微分方程，得方程化简为：，对应边界条件：所以固有值和固有函数为：，代回原自变量，固有函数为：1双曲型方程分离变量法满足边界条件和初值条件的解为其中系数，（n=1，2，）例2.2求解双曲型方程初边值问题解：对应的固有值和固有函数分别为：，（n=1，2，）。满足边界条件的解为利用初值条件，得，对比等式两端，得C1=1，Cn =0，（n=2，3，）；Dn = 0，（n=1，2，）所以初边值问题的解为例2.3分离变量法求解双曲型方程初边值问题解：对应的固有值和固有函数分别为：，（n=1，2，）。满足边界条件的解为利用初值条件，得，对比等式两端，得Cn =0，（n=1，2，3，）当n为奇数时，有所以，原问题的解例2.4 分离变量法求解双曲型方程初边值问题解：对应的固有值和固有函数分别为：，（n=1，2，）。满足边界条件的解为利用初值条件，得，所以，（n=0，1，），（n=0，1，）所以初边值问题的解为整理，得例2.5 分离变量法求解双曲型方程初边值问题解：对应的固有值和固有函数分别为：，（n=0，1，）。满足边界条件的解为利用初值条件，得，所以，（n=0，1，），（n=0，1，）所以初边值问题的解为整理，得2抛物型方程分离变量法例2.6求解抛物型方程初边值问题解：对应的固有值和固有函数分别为：，（n=1，2，）。满足边界条件的解为利用初值条件，得对比等式两端，得C1=1，Cn =0，（n=2，3，）所以初边值问题的解为例2.6分离变量法求解热传导问题解：对应的固有值和固有函数分别为，（n =0，1，2， ）满足边界条件的解为利用初始条件，得利用付里叶级数展开式，得，（n =0，1，2， ）当n为偶数时，有所以，原问题的解3椭圆型方程分离变量法例5用分离变量法求解拉普拉斯方程边值问题解：令u(x，y)=X(x)Y(y)，代入拉普拉斯方程，分离变量得得两个常微分方程：，由边界条件可得，Y(0)=0，Y(1)=0，与第二个方程联立，得固有值问题求解，得固有值和固有函数，( n = 1，2，)将固有值代入第一个方程中并求解，得 ( n = 1，2，)从而有基本解所以有级数形式解利用边界条件 u(0，y)=0，u(1，y)= sin p y 得由此得An = Bn =0 ( n1)A1 +B1 = 0，A1 ep +B1 e-p =1解得所以边值问题的解如下四、行波法1行波法求解无界区域的双曲型方程初值问题的达朗贝尔公式例4.1求解双曲型方程初值问题解：应用达朗贝尔公式整理，得例4.2求解初值问题：解：利用叠加原理，令 u(x，t) = v(x，t) + w(x)。代入原方程，得vtt = vxx + wxx + sin x故取 w(x) = sin x，得v(x，t )满足的初值问题由达朗贝尔公式，得所以初值问题的解为例4.3 求解初值问题解：记，则对应的特征方程为：，解得,，所以，积分得：y = x + C1，y = 3x + C2，构造变换将原方程化为：，得通解：，即由初始条件，得，将第二式积分，联立第一式，得，代换，得：，原方程通解为例4.4求解非齐次波动方程初值问题解：利用叠加原理，令 u(x，t) = v(x，t) + w(x，t)。取 得v(x，t )满足的初值问题由达朗贝尔公式，得所以原初值问题的解为例 求解波动方程初值问题解：应用达朗贝尔公式，得根据丢拉克函数的积分性质知，x a t 0时，解函数为1。故这里，h(x)是单位阶跃函数，即2行波法求解半无界区域的双曲型方程初边值问题例4.5求解半无界弦定解问题解：对初始条件函数做偶延拓，应用达朗贝尔公式，当x 0，且 x at 时，有 当x 0，且 x 0，且 x at 时，有当x 0，且 x 0 解：上半平面Green函数为由于所以Green函数在边界曲线外法向导数由Green函数性质，有所以例 求解圆域上的Dirichlet问题解：应用圆域上Green函数方法，得例6.4 推导出下面定解问题所连带的贝塞尔方程（不解贝塞尔方程）。解