数学建模飞机加油演示.doc

空中加油问题的研究张翔，汤泓，杨镒箫摘 要本文研究的是不同条件下的飞机空中加油的最佳方案。问题1：时，要求主机的作战半径，通过基本的计算，总结出了三个规律：辅机接、送主机的效果实质是等价的送出主机时辅机逐架返回且接回主机时辅机逐架出发可使得作战半径最大当为主机前进服务和为主机返回服务的辅机数尽量均衡时，主机的作战半径最大。求得：。问题2：首先，讨论了在问题1的加油规则下关于的表达式。然后，给出了方案2：将辅机和主机两两配对，将配对对象推送航程后使其满油后返回，使得作战半径上限突破方案1的限制。最后，给出了当时，与的渐近表达式：方案1 n为偶数时，；n为奇数时，方案2 通过递归算法求出 ,并总结出了最优作战方案的必要条件。问题3：证明辅机重复飞行时相当于增加了一倍的辅机，计算出时主机的作战半径，。分析了大于4时方案2可节约的辅机数，得出了趋于无穷时与的渐近关系。问题4：先确定基地在一条直线上，建立以作战半径最大为目标函数，飞机数目为约束的数学模型并求解分情况讨论。问题5：在前面研究的基础上，结合图形分析，得出最快达到并返回的作战方案所需要的飞机数为6560架辅机；对于最小辅机数量的方案，讨论了四种路径，解出最小辅机数的方案所需的辅机数为120架。关键词：辅机接送方案；递归分析；最优化方法；图形分析。一 问题的重述对飞行中的飞机进行空中加油， 可以增大受油机的航程，增加有效载重，提高远程作战能力。设为空军基地，基地有一架作战飞机和架加油机。主机与辅机的速度和单位时间的耗油量均相同且为常数，油箱装满油后的最大航程均为（公里）。辅机可以对主机加油，辅机之间也可以相互加油。今主机要执行某作战任务（如侦察或空投），所有飞机在完成自身的任务后均要求返回基地。 主机的最大作战半径（简称作战半径）是指主机在架辅机的协助下所能飞到的（并安全返回）离基地的最远距离。显然当时，作战半径。为了求解出最优作战方案，需要知道辅机的数目和所有飞机的作战方案，即主机与辅机、辅机与辅机之间如何配合：在什么地点加油，加多少油，使所有的飞机均能安全返回基地且付出的代价最小。我们需要解决以下问题:问题1 设飞机垂直起飞、垂直降落、空中转向、在地面或空中加油的耗时均忽略不计，每架飞机只能上天一次，在上述假设下的作战半径记为。当时，求作战半径。问题2 在问题1的假设下，当时，尽你的可能求出（提示：先假设辅机可以分为两类，第一类专为主机前进服务，第二类专为主机返回服务，再考虑一般情形），或给出的上、下界； 讨论当的过程中与n的渐近关系； 试给出判断最优作战方案（主机能够飞到处）的必要条件或充分条件。问题3 若每架辅机可以多次上天，辅机从机场上空降落及在地面检修、加油、再起飞到机场上空的时间相当于飞行的时间，飞机第一次起飞、转向、在空中加油的耗时仍忽略不计，此时的作战半径记为，讨论与问题1、问题2类似的问题。问题4 若另有2个待建的空军基地（或航空母舰），有架辅机，主机从基地起飞，向一给定的方向飞行，必须在基地降落，辅机可在任一基地待命，可多次起飞，且可在任一基地降落。其他同问题3的假设，讨论的选址和主机的作战半径。问题5 设为矩形，为三个空军基地，主机从起飞，到执行任务（执行任务时间仍忽略不计）再返回。假设辅机起飞、降落的基地可任意选择，其他同问题3的假设，试按最快到达并返回和最少辅机数目两种情况给出你的作战方案。二 问题分析本文要求出辅机数目一定条件下主机所能达到的最远距离，这就要求找出最佳的辅机加油方案，并对不同方案进行对比选择。问题1 给定辅机的具体数目，只需要通过手工计算就可以得出最大作战半径，手动计算的同时总结出一些规律。问题2 利用在解决问题1时总结的规律，推导出抽象的辅机数目所对应的最大作战半径。对模型进行评价找出其不足之处，进行改进。时，将关于n的表达式中的所有小项忽略，即得到与的渐近关系。问题3 飞机可多次上天意味着为达到相同的作战半径可以节省辅机的数量。通过对具体数字的计算发现可以将所有辅机用于送出主机，同时这批主机可以及时接到返回的主机，接下来通过一般化的证明证实了这个结论。问题4 先确定三个基地的位置关系，再假设各个基地的辅机数，推导出主机最大作战半径和各个基地辅机数的函数关系，利用最优化方法求出在辅机总数一定的限定条件下主机的最大作战半径。问题5 在效益比最高的作战思想指导下，显然需要使参加辅机架数最少来达到同样的作战目的。主机飞行路线不一定是直线。根据以上的分析，第五问可以转换成对主机从A点出航，按唯一确定的L路线到达C点按原路线返回的讨论，关键是求解L路线和辅机架数。三 模型的假设1. 所有飞机在空中均能正常作业，不会发生故障；2. 加油过程中油量没有损耗；3. 当多架飞机在空中同时飞行时，空间足够大，即不会发生碰撞；4. 基地的容量足够大，能容纳无穷多的飞机。四 符号说明 表示为主机前进服务的辅机数 表示为主机返回服务的辅机数 表示基地的辅机数 表示基地的辅机数 表示基地的辅机数 辅机数目为时，原始1，2方案的作战半径 辅机数目为时，改进后1，2方案的作战半径五 模型的建立与求解5.1 求解时，作战半径5.1.1n=1时，一架辅机与主机同时出发，到达一定距离c时辅机给主机加油，并返回基地，且刚好把油用光。即一架辅机一架主机共飞了3c的路程，将辅机的油全部用光，用方程表示为，得，于是 。考虑另一种情况，主机单独从基地出发，返回时辅机从基地出发正好遇到没有油的主机，与主机一同返回，返回基地时油刚好用光，得到。我们可以总结出一个结论：n架辅机以相同的方式送主机与n架辅机以相同的方式接主机两种情况下，主机所能达到的最大作战半径是相同的。因为辅机接送的本质是将自身的油提供给主机使用，即将自身可以飞行的航程分出一部分给主机，而相同的接送方式下，辅机能够分出的最多的油量是相同的，因此主机的最大作战半径也是相同的。5.1.2 n=2时，应当分三种情况，由讨论n=1得出的结论，只用讨论两种情况即可：两送零接，一送一接。两送零接是指两架辅机送主机出发，主机自己返回，其中要考虑两架辅机之间的配合问题，两架辅机应当一同返回，还是依次返回。这个问题等效于三架飞机总的航程固定，要使得主机飞得最长，两架辅机就要飞得最短，而两架辅机一同返回与依次返回相比，浪费了航程，因此辅机依次返回使得主机飞得更远。因此我们可以总结出另一结论：多架辅机送出主机的情况下，其它条件不变，采用辅机依次返回的方式使得主机达到最大作战半径。在两送零接的情况下，设第一架辅机在飞出距离c时给另一架辅机和主机加满油后返回，返回时恰好无油，得到方程,得。设另一架再飞距离d时给主机加满油后恰好能够返回，得到方程，得。于是。注意到,可以得到这样的结论：n架辅机一同送出辅机并逐架返回时，每架辅机所能负责推送的距离是相等 （1）证明如下：定义推送过程为一群飞机共用一架辅机的油，因此可以看做一架辅机负责一段距离，在这段距离中所有飞机用油都从该辅机扣除。利用数学归纳法，n=1时可以计算出第一架返回的辅机推送距离为，n=2时，第二架返回的辅机推送距离为，n=3时，第三个返回的辅机推送距离也为。n=m时考虑第m架返回的辅机的推送距离，在这段距离中它负责给n-m+1架飞机加油，然后自己恰好返回基地，设其推送距离为c,可以得出方程,解得,得证。在一送一接的情况下，我们可以算出一架辅机送出的距离,同理另一架辅机接回的距离为，从而。故n=2时，。由此我们又可以得出一个结论：当接送的辅机数目尽量均衡时，主机能够达到的最大作战半径最大。如果从n架辅机中派出m架送出主机，（n-m）架接回主机，n架辅机做出的总贡献为，利用数学知识可以证明，当m最接近时，取得最大值。5.1.3 n=3时，由之前得出的三个结论，应当安排2送1接或者2接一送，计算出。5.1.4 n=4时, 由之前得出的三个结论，应当安排2送2接,计算出。5.2求解5.2.1方案一 在n一定的情况下使得最大，我们的方案是将n架飞机尽量均衡分为两组，一组负责送出主机，另一组负责接回主机，并且送出主机和接回主机时各组辅机是依次返回的，返回前给其它飞机加满油，留下恰好可供该辅机返回基地的油。通过求解问题一，我们得出并证明了三个结论：n架辅机以相同的方式送主机与n架辅机以相同的方式接主机两种情况下，主机所能达到的最大作战半径是相同的多架辅机送出主机的情况下，其它条件不变，采用辅机依次返回的方式使得主机达到最大作战半径。n架辅机一同送出辅机并逐架返回时，每架辅机所能负责推送的距离是相等的。因此很容易得出与n的函数关系式。（1） n为偶数时， （2） （2） n为奇数时，不妨令 （3） 由式（2）（3）可得，当，。5.2.2方案二方案一的优点在于节省辅机的数目，但是无法使得主机飞向无穷远，因此设计了另一个使得主机能够飞向无穷远的方法，描述如下：所有飞机两两配对，飞的路程后，其中一个就将另一个加满油，加油的一方返回，被加油的一方重新配对前进。将整个航程分为k+1段，在前面k段，每飞一段整个机群的数目就减少一半，到达k时主机独自飞出，独自返回至点k时派辅机接应，整个过程与送出过程类似。现在讨论为了使得主机独自以满油的状态到达点k点所需要的辅机数目。i)对任意一架飞机来说，它要以满油的状态到达点m,共需要架飞机从0点出发，其中也包括一架主机。ii )对任意一架飞机来说，它要以满油的状态到达m，不考虑送它的辅机的返回问题，出发时需要架辅机，而这些辅机的返回问题，则又归结于i)中讨论的问题。iii）架飞机从0点出发，到点m时（），还有架飞机。通过手动计算，我们得出：。运用递归的方法，我们得出关系式： （4）式子（4）的含义是，为使得主机以满油到达点，出发时需要架辅机陪同，加上主机自身一共架飞机，即第k项。辅机数目随着到达的点的递增而以指数形式递减，返回的辅机需要其它辅机的接应，因此（4）的前k-1项是接回送出主机的辅机所需要的辅机总数。 （5） （6） （6）-（5）得 （7） 故即为使得主机飞至处保持满油，需要从基地共派出架飞机。从而得到 （8） 5.2.3最优作战方案的必要条件由方案一和方案二总结出最优作战方案的必要条件为飞机返回基地时将油全部耗尽。5.2.4方案1与方案2的意义方案1 中,方案2中，方案2的优点在于它突破了方案1中的限制，但是它并不是一个节省辅机的方案。当n=21时，方案2中,已经超过了方案1的上限。因此在21架辅机的限制以内，方案1是最优的方案，超过21架，方案2是最优的方案。但是方案2仍有局限，方案2的飞机总数不是连续的整数。5.3 飞机可多次上天的求解5.3.1 当时，求。时，一架辅机负责将主机送出，再接回。辅机将主机送出再返回基地加油再出发在上次与主机分离的点与主机相遇这个过程所消耗的时间为。因此这是可以实现的，。时，两架辅机将主机送出，再接回。将主机送出第一架返回基地的辅机在基地加油再出发到达上次与主机分离的点与主机相遇这个过程所消耗的时间为。同时另一架辅机可以保证当第一架辅机与主机返回恰好没有油时在距离基地处与它们相遇。因此这是可以实现的，。n=3时和n=4时，通过验证，辅机可以送完主机后返回基地加油并及时接到主机，。5.3.2在方案1的情况下求设m架辅机，相邻返回的两架辅机之间的通向距离差为，因此只要最先返回的辅机能够在距离基地处接到主机，接下来返回的辅机必然能够在距离基地处接到辅机和主机。第一架离开主机的辅机返回基地加油飞行至主机与最后一架辅机分离处所需要的时间为 （9）因此第一架离开主机的辅机必然可以及时在主机油耗尽时接到主机并与之一同返回遇见接下来返回并且来接应的辅机们。故方案1下。 （10） 5.3.3在方案2的情况下求这题其实有一个模糊的估计，就是第二问的，按照上一题的思路，很容易的得出第三问的结果，只需稍作改变： （11） 利用方案2的递归数列的方法得到改进后的飞机数目为： （12） 5.4讨论A1A2的选址和主机的作战半径Rn*已知飞机向给定的方向飞行,要使得飞机飞行半径最大,则2个空军基地应建在飞机的飞行方向上。如若不然,由三角形两边之和大于第三边可知,辅机家有时需要走更多的路程,故给主机加油将会变少。下设A基地有x架辅机，A1基地有y架辅机，A2基地有z架辅机。于是想x、y、z满足x+y+z。主机从A基地起飞，同时A基地的x架辅机也同时起飞，由问题2讨论的接送距离函数可知，第一架辅机在距A基地1x+2L处给其他x架飞机加油后返回A基地，第二架辅机在在距A基地2x+2L处给所有的飞机加满油后也返回A基地，以此类推，则第x架辅机在给主机加满油后返回A基地，所以辅机总送出的距离为xx+2L。主机飞行L后到达A1上空，此时A1基地上的一架辅机给主机加满油后返回A1基地，与此同时y-1架辅机与主机同时向前飞行，加满油后返回A1基地，送出的距离为y-1y-1+2L，A2基地的分析过程与A1基地一样，送主机行走的距离为z-1z-1+2L。在此之后，主机飞到L2处返航，其返航的分析与前进时相似。于是主机的作战半径为Rn*=xx+2L+L+y-1y+1L+L+2-1z+1L+L2，建立模型：Rn*=xx+2+y-1y+1+z-1z+1+52其中要求:x+y+z=nx，y，z为整数讨论不同n的情况下，怎样分配x、y、z和空中基地A1A2使得作战半径Rn*最大：1）当n为3的倍数时，平均分配到A、A1、A2基地，x=n3，y=n3，z=n3，所取得的作战半径最大。此时，sAA1=n3n3+2+1L, sA1A2=n3n3+2+1L，sAA2=2n3n3+2+1L，主机的作战半径Rn*最大。2）当n不能被3整除时，当n除以3余1时，x=n-13，y=n-13，z=n-13+1。此时，sAA1=n-13n-13+2+1L, sA1A2=n-13n-13+2+1L，sAA2=2n-13n-13+2+1L，主机的作战半径Rn*最大。3）当n除以3余数为2时，x=n-23，y=n-23+1，z=n-23+1，此时，sAA1=n-23n-23+2+1L, sA1A2=n-23+1n-23+1+2+1L，sAA2=n-23n-23+2+n-23+1n-23+1+2+2L，主机的作战半径Rn*最大。而主机的作战半径为Rn*=xx+2+y-1y+1+z-