概率论第三章习题解答(全).pdf

第三章习题解第三章习题解 1在一箱子中装有 12 只开关，其中 2只是次品，在其中任取两次，每次任取一只，考虑 两种试验： （1）放回抽样； （2）不放回抽样。定义随机变量X，Y如下： 0, 1 X 若第一次取出的是正品， ，若第一次取出的是次品。 0, Y 1 若第二次取出的是正品， ，若第二次取出的是次品。 试分别就（1） ， （2）两种情况写出X，Y的联合分布律。 解（1）放回抽样 由于每次抽取时都是 12 只开关，第一次取到正品有 10 种可能，即第一次取到正品 的概率为 105 0 126 P X ， 第一次取出的是次品的概率为 21 1 126 P X 同理，第二次取到正品的概率 105 0 126 P Y 第二次取到次品的概率为 21 1 126 P Y 由乘法公式得X，Y的联合分布率为 ,| P Xi YjP Yj Xi P XiP Xi P Yj，0,1i ，0,1j 。 具体地有 5525 0,0 6636 P XY， 515 0,1 6636 P XY， 155 1,0 6636 P XY， 111 1,1 6636 P XY 用表格的形式表示为 X Y 01 0 1 25 36 5 36 5 36 1 36 （2）不放回抽样 5 0 6 P X ， 1 1 6 P X 因为第二次抽取时，箱子里只有 11 只开关，当第一次抽取的是正品，则箱子中有 9 只 正品） 。所以 9 0|0 11 P YX， 2 1|0 11 P YX 10 0|1 11 P YX， 1 1|1 11 P YX 则 5945 0,0 61166 P XY 5210 0,1 61166 P XY， 11010 1,0 61166 P XY， 111 1,1 61166 P XY 用表格表示为 X Y 01 0 1 45 66 10 66 10 66 1 66 2（1）盒子里装有 3 只黑球，2 只红球，2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取 到黑球的只数，以 Y 表示取到红球的只数，求 X 和 Y 的联合分布律。 （2）在（1）中求P XY，2P YX，3P XY，3P XY。 解X 可能的取值为 0，1，2，3；Y 的可能取值为 0，1，2。 0,0 0P XYP （因为盒子里总共只有 7 只球，每次取 4 只球，而红 球 2 只，故不可能白球和黑球同时都取不到） 0,1 0P XYP ， 220 223 4 7 1 0,2 35 C C C P XY C 1,0 0P XYP 112 322 6 1,1 3535 C C C P XY。 121 322 6 1,2 3535 C C C P XY。 22 32 3 2,0 3535 C C P XY 211 322 12 2,1 3535 C C C P XY， 22 32 3 2,2 3535 C C P XY， 31 32 2 3,0 3535 C C P XY， 31 32 2 3,1 3535 C C P XY， 3,2 0P XYP 其联合分布律为 X Y 0123 0 1 2 00 3 35 2 35 0 6 35 12 35 2 35 1 35 6 35 3 35 0 （2）1,02,12,1P XYP XYP XYP XY 3,03,13,2P XYP XYP XY 3122219 00 3535353535 6 20,01,2 35 P YXP XYP XY； 33,02,11,2P XYP XYP XYP XY 2126204 353535357 。 33,02,11,2P XYP XYP XYP XY 361102 353535357 。 3设随机变量(, )X Y的概率密度为 (6),02,24 ( , ) 0, kxyxy f x y ， 其它. （1）确定常数k； （2）求1,3P XY； （3）求1.5P X ； （4）4P XY。 解由( , )1f x y dxdxy 得 24 02 ( , )(6)f x y dxdxydxkxy dy 2 2 4 2 0 (6) 2 y kyxydx 2 22 0 0 (62 )(6)8kx dxkxxk 令81k ，得 1 8 k 。 （2） 131 1,3(6) 8 P XYdxxy dy 2 131 3 2 020 11 (6)(6) 882 y dxxy dyyxydx 1 21 0 0 171173 ()() 828228 xdxxx 1.54 02 1 1.51.5,24(6) 8 P XP Xydxxy dy 1.5 21.5 0 0 1112727 (62 )(6) 888432 x dxxx 24 02 1 4(6) 8 x P XYdxxy dy （积分区域为02x，24yx） 2 2 0 11 (46) 82 xxdx 322 0 1 11162 (26 ) 8 6833 xxx。 4 设X，Y是非负的连续型随机变量，它们相互独立。 （1）证明 0 ( )( ) XY P XYFx fx dx ，其中( ) X Fx是X的分布函数，( ) Y fy是Y的 概率密度。 （2）设X，Y相互独立，其概率密度分别为 1 1 ,0, ( ) 0,. x X ex fx 其它 ， 2 2 ,0, ( ) 0,. x Y ey fy 其它 求P XY。 解（1）因为X，Y是非负的连续型随机变量，且相互独立，所以( , )( )( ) XY f x yfx fy， 在区域(,)xxy 内 ( , )( )( ) XY x x y P XYf x y dxdyfx dxfy dy ( )( )( )( )( ) XYxXYY fx Fydxfx FFx dx ( )1( )( )( )( ) XYXXY fxFx dxfx dxfx Fx dx 1( )( )1( ) ( ) XYYX fx Fx dxFx d Fx （分部积分） 1( )( )( )( ) YXXY Fx FxFx fx dx ( )( ) XY Fx fx dx （2） 1212 121 00 xxxx x x P XYeedxeedx 1212 ()() 11 10 0 1212 xx edxe 5设随机变量(, )X Y具有分布函数 1,0,0 ( , ) 0, xy eec xy F x y 其它 ， 求边缘分布函数。 解当0 x 时 ( )lim( , )lim(1)1 xyx yx X yy FxF x yeeee 其它情形( )0 X Fx ，即 1,0, ( ) 0, x X ex Fx 其它 。 同理当0y 时 ( )lim( , )lim(1)1 xyx yy Y xx FyF x yeeee 其它情形( )0 Y Fy ，即 1,0, ( ) 0, y Y ey Fy 其它 。 6将一枚硬币掷三次，以 X 表示前两次中出现 H 的次数，以 Y 表示 3 次中出现 H 的次数， 求 X，Y 的联合分布律以及(, )X Y的概率密度。 解将一枚硬币掷三次，其 H 和 T 出现的情况为 HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT X 的取值为 0,1，2，Y 的取值为 0，1,2，3 则 1 0,0 8 P XY（TTT） ， 1 0,1 8 P XY（TTH） 0,20P XY，0,30P XY 1,00P XY 2 1,1 8 P XY（HTT，THT） 2 1,2 8 P XY（HHT，THH）1,30P XY 1 2,0 8 P XY2,10P XY 1 2,2 8 P XY（HHT）2,30P XY（HHH） X Y 012 . j p 0 1 2 3 1 8 00 1 8 2 8 0 0 2 8 1 8 00 1 8 1 8 3 8 3 8 1 8 . i p 1 4 1 2 1 4 7设二维随机变量(, )X Y的概率密度为 4.8 (2),01,0 ( , ) 0,. yxxyx f x y 其它 求边缘概率密度。 解当01x时 22 0 0 ( )( , )4.8 (2)2.4(2)2.4(2) x x X fxf x y dyyx dyyxxx 2 2.4(2),1, ( ) 0,. X xxx fx 其它 当01y时 1 212 1 ( )( , )4.8 (2)4.8 (2)2.4 (34) 2 Yy y fyf x y dxyx dyyxxyyy 2 2.4 (34),01, ( ) 0,. Y yyyy fy 其它 8设二维随机变量(, )X Y的概率密度为 ,0, ( , ) 0, y exy f x y 其它 求边缘概率密度 解当0 x 时，( )( , ) yyx Xx x fxf x y dye dyee 于是 ,0, ( ) 0,0 x X ex fx x 当0 x 时 0 0 ( )( , ) y yyyy Y fyf x y dxe dxexye 于是 ,0, ( ) 0,0 y Y yey fy y 9 设二维随机变量(, )X Y的概率密度为 22 ,1 ( , ) 0,. cx y xy f x y 其它 （1）确定常数c； （2）求边缘概率密度 解（1）因为 2 2 111 222 1 11 ( , ) 2 x x c f x y dxdycx dxydyx ydx 11 2626 10 ()() 2 c xx dxcxxdx 1 37 0 114 () 3721 cxxdxc 令 4 1 21 c ，得 21 4 c 。即 22 21 ,1 ( , )4 0,. x y xy f x y 其它 （2）当11x 时 2 1 2 21 ( )( , ) 4 X x fxf x y dyx ydy 24 21 (1) 8 xx 于是 24 21 (1), 11 ( )8 0,. X xxx fx 其它 当01y时 5 2 2 217 ( )( , ) 42 y Y y fyf x y dxx ydxy 于是 5 2 7 ,01 ( ) 2 0,. X yy fx 其它 10某一医药公司 8 月份和 9 月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为 X 和 Y。据 以往积累的资料知 X，Y 的联合分布律为 X Y 5152535455 51 52 53 54 55 0.660.050.050.010.01 0.070.050.010.010.01 0.050.100.100.050.05 0.050.020.010.010.03 0.050.060.050.010.03 （1）求边缘分布律； （2）求 8 月份的订单数为 51 时，9 月份订单数的条件概率。 解（1）边缘概率 X Y 5152535455 . j p 51 52 53 54 55 0.060.050.050.010.01 0.070.050.010.010.01 0.050.100.100.050.05 0.050.020.010.010.03 0.050.060.050.010.03 0.18 0.15 0.35 0.12 0.20 . i p 0.280.280.220.090.13 （2）由条件概率计算公式，得 51, |51 51 P XY P Y X P X 51,510.066 51|51 510.2828 P XY P YX P X 51,520.077 52|51 510.2828 P XY P YX P X 51,530.055 53|51 510.2828 P XY P YX P X 51,540.055 54|51 510.2828 P XY P YX P X 51,550.055 55|51 510.2828 P XY P YX P X Y5152535455 51X p 6 28 7 28 5 28 5 28 5 28 11以 X 记某医院一天出生的婴儿的个数，Y 记其中男婴的个数。设 X 和 Y 的联合分 布律为 14(7.14) (6.86) , !()! mn m e P Xn Ym m nm ， （1）求边缘分布律； （2）求条件分布律； （3）写出20X 时Y的条件分布律。 解因为 Y 记录的是男婴的个数，他是当天出生全体婴儿的一个子集，故0mn 14 00 (7.14) (6.86) ., !()! mn m nn n mm e pP XnP Xn Ym m nm 14 0 ! (7.14) (6.86) !()! n mn m m en nm nm 14 0 C (7.14) (6.86) ! n mmn m n m e n 1414 (7.146.86)14 ! nn ee nn ，0,1,2,n 。 14 . (7.14) (6.86) , !()! mn m j n mn m e pP YmP Xn Ym m nm 14(7.14) (6.86) !()! mn m n m e mnm 14 0 (7.14)(6.86) ! mj j e mj （令jnm） 14 6.86 (7.14) ! m e e m （ 2 1 2! n x xx ex n ） 7.14(7.14) ! m e m ，0,1,2,m 。 （2）求条件概率 14 7.14 ,(7.14)(6.86)! | !()!(7.14) mn m m P Xn Ymem P Xn YM P Xmmnme 6.86(6.86) ()! n m e nm ,1,2,nm mm。 14 14 ,(7.14)(6.86)! | !()!14 mn m n P Xn Ymen P Ym Xn P Xnmnme !7.146.86 () () !()!1414 n m m n m nm 7.146.86 () ()(0.51) (0.49) 1414 n mn m mmmm nn CC 0,1,2,mn （3） 20 20 |20(0.51) (0.49) mmm P Ym XC ，0,1,2,20m 。 12求1 例 1 中的条件分布律|P Yk Xi。 解1 例 1 设随机变量X在 1,2，3,4 四个整数中等可能的取一值，另一个随机变量 Y在1X中等可能的取一个整数值，则(, )X Y的分布律为 X Y 1234 1 2 3 4 1 4 1 8 1 12 1 16 0 1 8 1 12 1 16 00 1 12 1 16 000 1 16 其对应的边缘分布 X Y1234 . j p 1 2 3 4 1 4 1 8 1 12 1 16 0 1 8 1 12 1 16 00 1 12 1 16 000 1 16 25 48 13 48 7 48 3 48 . i p 1 4 1 4 1 4 1 4 其对应的条件分布律为 由 , | P Xi Yk P Yk Xi P Xi 得： 1,1 1|11 1 P XY P YX P X ， 1,2 2|10 1 P XY P YX P X ， ， 1,3 3|10 1 P XY P YX P X ， 1,4 4|10 1 P XY P YX P X ，即 1k 1 |1P Yk X 1 同理，由 2, |2 2 P XYk P Yk X P X 得： 2,12,22,32,4 2222 P XYP XYP XYP XY P XP XP XP X 1 2,11 8 1|2 1 22 4 P XY P YX P X ， 1 2,21 8 2|2 1 22 4 P XY P YX P X ， 2,2 3|20 2 P XY P YX P X ， 2,2 4|20 2 P XY P YX P X ，即 k12 |2P Yk X 1 2 1 2 由 2, |3 3 P XYk P Yk X P X 得： 3,11121 1|3 31 43 P XY P YX P X 3,21121 2|3 31 43 P XY P YX P X ， 3,31121 3|3 31 43 P XY P YX P X ， 3,4 4|30 3 P XY P YX P X ，即 k123 |3P Yk X 1 3 1 3 1 3 由 2, |4 4 P XYk P Yk X P X 得 4,11161 1|4 41 44 P XY P YX P X ， 4,21161 2|4 41 44 P XY P YX P X ， 4,31161 3|4 41 44 P XY P YX P X ， 4,41161 4|4 41 44 P XY P YX P X ，即 k1234 |4P Yk X 1 4 1 4 1 4 1 4 13在第 9 题中 （1）求条件概率密度 | ( | ) X Y fx y，特别，写出当 1 2 Y 时X的条件概率密度； （2）求条件概率密度 | ( | ) Y X fy x，特别，写出当 1 3 X ， 1 2 X 时Y的条件概 率密度。 解因为 22 21 ,1 ( , )4 0,. x y xy f x y 其它 ， 24 21 (1), 11 ( )8 0,. X xxx fx 其它 5 2 7 ,01 ( ) 2 0,. Y yy fy 其它 （1） 2 5 |2 21 4 ,01 ( , ) 7( | ) ( ) 2 0, X Y Y x y yxyy f x y fx y y fy 其它 3 2 2 3 ,01 8 0, x yyxyy 其它 。 特别地， 1 2 Y 时X的条件概率密度 | 1 ( |) 2 X Y fx 2 11 3 2, 22 0, xx 其它 （2） 2 2 24 | 21 4 ,1, 11 ( , ) 21 ( | ) (1) ( ) 8 0, Y X X x y xyx f x y fy x xx fx 其它 2 4 2 ,1, 11 1 0, y xyx x 其它 特别地，当 1 3 X 时Y的条件概率密度 | 811 ,1, ( | )409 0, Y X y y fy x 其它 ， 当 1 2 X 时Y的条件概率密度 | 81 ,1,1 ( |)15 4 2 0, Y X y y fy 其它 14设随机变量(, )X Y的概率密度为 1,01, ( , ) 0, yxx f x y 其它. 求条件概率密度 | ( | ) Y X fy x。 解（）当01x时，( )( , )2 x X x fxf x y dydyx ， 2 ,01 ( ) 0, X xx fx 其它 当01x时，于是对应的边缘概率密度为 | 1 ,( , ) ( | )2 ( ) 0, Y X X yxf x y fy xx fx y取其它值 （）当1y 时， 11 Y( ) ( , )(1)(1)1 yy fyf x y dydydxyyy Y 1,01 ( ) 0, yx fy 其它 当1y 时，对应的边缘分布概率密度 | 1 ,01, ( , ) 1( | ) ( ) 0, Y X Y x f x y yfx y fy x 取其它值. 15 设随机变量(0,1)XU，当给定Xx时，随机变量Y的条件概率密度为 | 1 ,0 ( | ) 0, Y X xy fy xx 其它 求（1）X和Y的联合概率密度； （2）求边缘概率密度( ) Y fy； （3）求P XY 解由乘法公式知 | ( . )( | )( ) Y XX f x yfy x fx 又因为随机变量(0,1)XU，即 1,01 ( ) 0,. X x fx 其它 ，所以 | ,01,01, ( . )( | )( ) 0,. Y XX xxy f x yfy x fx 其它 （2） 1 0 1 0 ,01 ( )( . ) ,1, 0, Y y xdxy fyf x y dx xdxy 其它 2 1 ,0y1 2 1 ,1 2 0, y y 其它 。 （3） 2 111 1 00 ( , ) 2 y y G x P XYf x y dxdydyxdxdy 1 231 0 0 1111 (1)() 2233 ydyyy 16（1）问第 1 题中的两个随机变量X和Y是否相互独立。 （2）问第 14 题中的两个随机变量X和Y是否相互独立。 解（1）第 1 题的两个随机变量为（放回抽样和不放回抽样） 0, 1 X 若第一次取出的是正品， ，若第一次取出的是次品。 ， 0, Y 1 若第二次取出的是正品， ，若第二次取出的是次品。 对于放回抽样来说， 由于样本空间的样本没有变化， 所以第一次抽取的结果并不影响第 二次抽取的结果，所以两个随机变量X和Y是相互独立的。 对于不放回抽样来说， 由于样本空间的样本发生了变化， 所以第一次抽取的结果对第二 次抽取的结果有影响， ，所以两个随机变量X和Y不是相互独立的。 （2）因为两个边缘密度分别为 当1y 时， 1,1 ( ) 0,. Y yyx fy 其它 当01x时， 2 , ( ) 0,. X x yx fx 其它 而( )( )2 (1)1( , ) XY fxfyxyf x y ， 所以X和Y不是相互独立的。 17（1）设随机变量(, )X Y具有分布函数 (1) ,0,01 ( , )1,0,1 0 ax ax ey xy F x yexy ，其它 ，0a 。 证明X和Y相互独立。 （2）设随机变量(, )X Y具有分布律 22 ,(1)x yP Xx Yypp ，01p，x和y均为正整数。 问X和Y是否相互独立。 解因为 (1) ,0,01 ( )( ,)1,0,1 0 ax ax X ey xy FxF xexy ，其它 （只有1y 时才有y ， 此时( , )F x y的表达式不含） ； ,0,01 ( )( , )1,0,1 0 Y y xy FyFyxy ，其它 所以( )( )( , ) XY Fx FyF x y，即X和Y相互独立。 (2)因为 22(1) ,(1) k P Xk Ykpp ， 21 222111 11 (1) (1)(1)(1)(1) 1 (1) k y kkyk yy pp P Xkppppppp p ， 222111 11 (1)(1)(1)(1) x kkxk xx P Ykppppppp , 所以 22(1) , (1) k P Xk YkP Xk P Ykpp 即X和Y相互独立。 具体地，其联合分布律（列表）如下： X Y123n 1 2 3 n 2 p 2(1 )pp 22 (1)pp 21 (1)npp 2(1 )pp 22 (1)pp 23 (1)pp 2(1 )npp 22 (1)pp 23 (1)pp 24 (1)pp 21 (1)npp 21 (1)npp 2(1 )npp 21 (1)npp 22(1) (1) n pp 22222 1(1)(1)(1)nP Xppppppp 2 22 1 (1)(1)(1) 1 (1) n p ppppp p ； 22222 1(1)(1)(1)nP Yppppppp 2 22 1 (1)(1)(1) 1 (1) n p ppppp p 2222321 2(1)(1)(1)(1)nP Xpppppppp 223 (1)1 (1)(1)(1)(1) n ppppppp 2222321 2(1)(1)(1)(1)nP Ypppppppp 223 (1)1 (1)(1)(1)(1) n ppppppp 22232422 3(1)(1)(1)(1)nP Xpppppppp 22232 (1) 1 (1)(1)(1)(1) n ppppppp 22232422 3(1)(1)(1)(1)nP Ypppppppp 22232 (1) 1 (1)(1)(1)(1) n ppppppp 一般地 Xk123k P Xkp(1)pp 2 (1)pp 1 (1)kpp Yk123k P Ykp(1)pp 2 (1)pp 1 (1)kpp 22(1) ,(1) k P Xk Ykpp P Xk P Yk 由此可知X和Y是相互独立的。 18设X和Y是两个相互独立的，X在区间(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为 2 1 ,0 ( ) 2 0,0 y Y ey fy y ， （1）求X和Y的联合概率密度； （2）设有a有二次方程 2 20aXaY，试求a有实根的概率。 解（1）因为X在区间(0,1)上服从均匀分布，所以 1,01 ( ) 0,. X x fx 其它 又X和Y是两个相互独立的，故其联合分布概率密度为 2 1 ,01,0 ( , )( )( ) 2 0,. y XY exy f x yfx fy 其它 （2）方程 2 20aXaY有的充分必要条件是 2 440XY，即 2 YX 22 2 11 111 2 222 0 0000 1 (1) 2 y xyx x P YXdxedyedxedx 2 11 2 00 1 2 2 x dxedx 22 10 22 11 12 () 22 xx edxedx 12 (1)(0)12 (0.84130.5) 。 1 2.5066 0.34131 0.85550.1445 19进行打靶，设弹着点(, )A X Y的坐标X和Y相互独立，且都服从(0,1)N分布， 规定：点A落在区域 22 1 ( , )|1Dx yxy得 2 分； 点A落在区域 22 2 ( , )|14Dx yxy得 1 分 点A落在区域 22 3 ( , )|4Dx yxy得 0 分； 以Z记打靶的得分，写出X，Y的联合概率密度，并求Z的分布律。 解（1）因为X和Y相互独立，且都服从(0,1)N分布，所以X，Y的联合概率密 2222 222 111 ( , )( )( ) 222 xyxy XY f x yfx fyeee （2）以Z记打靶的得分，求Z的分布律 因为Z的取值为 0，1，2 22 22 11 22 2 00 1 1( , )4 2 xy xy G P AP XYf x y dxdydxedy 用极坐标计算：令cos ,sinxryr，则01r，0 2 ， 222 22 xyr ee ，dxdyrdrd，代入上式，得 22 1 221 2222 0 000 22 1 rr P XYdredred 2 11 1 222222 00 00 222 (1)(1) r edede 1 2 1 e ； 222 22 22 22 01 11 14 22 xyr G PXYedxdydredr 2 11 2 2222 222 10 0 11 ()() 22 r edeeee 22 2222 2 1 4141 2 xy G P XYP XYedxdy 2 2 2 222 000 22 11(1) r dredred 22 1 (1)ee 即 z012 k p2 e 1 2 2 ee 1 2 1 e 20设X和Y相互独立的随机变量，其概率密度分别为 ,0, ( ) 0,0 x X ex fx x ， ,0, ( ) 0,0 y Y ey fy y 其中0，0是常数，引入随机变量 1, 0, XY Z XY （1）求条件概率密度 | ( | ) X Y fx y； （2）求Z的分布律和分布函数。 解（1）X和Y相互独立的随机变量，所以 | ,0( )( )( , ) ( | )( ) ( )( )0,0 x XY X YX YY exfx fyf x y fx yfx fyfyx （2）X和Y相互独立的随机变量因为，所以其联合分布密度为 ,0,0 ( , )( )( ) 0.0,0 xy XY eexy f x yfx fy xy 00 1( , ) y xx G P ZP XYf x y dxdydyeedx 0 00 ()(1) yxyyy eedyeedy () 00 yyy edyedy () 00 yy ee 1 。 0111P ZP Z 即 Z01 p 21设随机变量的概率密度为 ,01,01, ( , ) 0,. xyxy f x y 其它 分别求（1）Zxy， （2）Zxy的概率密度。 解设所求的概率密度为( ) Z fz，因为 ,01,01, ( , ) 0,. xyxy f x y 其它 （1）ZXY ( )( ,) Z fzf x zx dx （） 显然只有当( ,)0f x zx时，( )0 Z fz 。而使( ,)0f x zx的x与z的变化范围：当 01 01 x zx ，即 01 1 x zxz 时，( )( ,) Z fzf x zx dx 中的被积函数不等于 0 0 1 1 (),01, ( )( ,)(),12 0,. z Z z xzx dxz fzf x zx dxxzx dxz 其它 即 2 2 ,01, ( )( ,)2,12, 0, Z zz fzf x zx dxzzz 其它. 也可以用分布函数求( ) Z fz 设ZXY的分布函数为( ) Z Fz，则 当0z 时，( )0 Z Fz ； 当01z时， ( ) Z FzP ZzP XYz 1 () D xy dxdy 其中 1 01,01Dxxyzz 1 00 () z y dyxy dx 3 1 3 z 当12z时，因为( , )f x y只在矩形区域01,01xy上不等于 0，故 2 ( )1( , ) Z D FzP Zzf x y dxdy 11 23 1 11 1() 33 zz y dyxy dxzz 其中 2 ,12Dxyzz（位于矩形区域的右上的三角形区域） 当2z 时，( )0 Z Fz 所以 2 23 0,0 1 ,01 3 ( ) 11 ,12, 33 0,2 Z z zz Fz zzz z 由此知ZXY的概率密度为 2 2 ,01 ( )2,12, 0, Z zz fzzzz 其它. 。 (2)ZXY 由教材 79 P之（5.8）知当ZXY时其概率密度为 1 ( )( , ) Z z fzf xdx xx 又仅当 01 01 x z x ，即 01 0 x zx 时，上述积分的被积函数不。由此可得 1 0 1 (),011 ( )( , ) 0,. z z xdxzz fzf xdxxx xx 其它 即 2(1),01 ( ) 0,. z zz fz 其它 。 22 设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 1,01 ( ) 0,. X x fx 其它 ， ,0 ( ) 0,. y Y ey fy 其它 求随机变量ZXY的概率密度。 解由卷积公式知ZXY的概率密度为 ( )( )() ZXY fzfx fzx dx 当01z时， 0 0 ( )1 z z xz xzz Z fzedxee ； 当1z 时， 1 111 0 0 ( )(1) z xz xzzz Z fzedxeeeee 当0z 时，由( )0 X fx 知( )0 Z fz 。 即 1 1,01 ( )(1),1 0,. z z Z ez fzeez 其它 23 某种商品一周的需求是一个随机变量，其概率密度为 ,0 ( ) 0,. t tet f t 其它 设各周的量是相互独立的，求（1）两周， （2）三周的需求量的概率密度。 解设第一周的需求量为 1 X，第二周的需求量为 2 X，则 1 1 11 1 1 ,0 () 0,0 x X x ex fx x ， 2 2 22 2 2 ,0 () 0,0 x X x ex fx x 。 两周的需求量 12 ZXX， 当0z 时， 12 111 0 ( )()() z zXX fzfx fzx dx 11 () 111 0 () z xz x x ezx edx 111 0 () z z x zx e dx 2 111 0 () z z ezxx dx 23 110 11 () 23 zz ezxx 3 33 11 () 236 zz z ezze 故 3 ,0 ( ) 6 0,0. z z z ez fz z （2）设三周的需求量为wxz，则由（1）知当0w 时 0 ( )( )() w WzX fwfz fwz dz 3 () 0 () 3! w zw z z ewz edz 3 0 () 3! w w zwz edz 45 0 111 () 3!45 ww ewzz 55 1 11 () 3! 45 ww 5 3! 4 5 w w e 5 5! w w e 故 5 ,0 ( ) 5! 0,0. w W w ew fw w 。 24设随机变量(, )X Y的概率密度为 () 1 (),0,0 ( , )2 0,. x y xy exy f x y 其它 （1）问X和Y是否相互独立？ （2）求ZXY的概率密度。 解因为 () 0 1 ( )( , )() 2 x y X fxf x y dyxy edy ()() 0 0 1 () 2 x yyx y y xy eedy () 0 1 2 xx yy y xee 1 2 x x e 故X的概率密度为 1 ,0 ( )2 0,. x X x ex fx 其它 同理Y的概率密度为 1 ,0 ( )2 0,. y Y y ey fy 其它 所以 ( (1)(1) ),0,0 ( )( )4 0,. x y XY xy exy fx fy 其它 不等于( , )f x y。 即