【1981年】综合主导极点配置及其在水轮机调速系统中的应用

综合主导极点配置及其 在水 轮机调 速系统 中的应用 S, nthetic a lD o min a nt P o lo Pla c e nmonta” d Its A PPli c ation to G ov e,n or s夕s才 。mso 厂H夕d :a : 11 T :, 乙in 。 s 魏守平 万 。 2 5无 。探夕2 ”g (华中 一 学 院) 提 要 本文针对最优状 态调节器理论在应用于工程 设 计时遇到的两个困 难问题权 矩阵Q的选择和Ri: : a ti方程的求解 , 在最优控制理论的基拙上 , 得出了一类最 优问 题的基于综 合主导极点配置的综合法 。 以水轮机调速系统 为对象说明了此综合法 的 应 用 , 并给出了数字实例 。 AB S T RACT B a s edon the o Pti水 a l c on才,o l t人e o了, , th艺5 PaPe l Pr oPo s e ss夕nthetic a l d o mi: ant Pol 。 Pla 。e m 。 :t to 50 1少e t留0 dif fi cu ltPr obl ems , i , e . th。 se l。 110儿。厂 留eigh玄ingm a t , i: Q and t人e s o lu tio九 o f Rf“ atiegoatio n . A:d 才h。: , i t d。 s。: ib。 s t人。 a P Pli e ationo f this s梦nthetic a l m et入o d tot入e 9 0,e:o ,s夕ste次5o fh夕d :au li e tu 了bi” e s _ 一 、 引言 最优控制理论的一个基本间题 , 是非平凡 、 无限时间区 间 、 线性平稳动态系统的最小方 差间题 , 或称为线性时不变系统在二次型性能泛函下 、 无限时间区间的最优状态调节器问题 1 、 2 、 3 。 上述问题及其解可描述如下 : 设在线性时不变系统 X二 AX+ BU X(0 )= X 。 ( 1一1 ) 中 , A , B是完全可控的 , X和U分别为n x l 和 , x l 向量 , A和B分别为 , x n 和 nx, 实数常矩 . 本 文承华中工学 院刘育棋教授指导 , 邓聚龙副教授 、 张勇传副教授 、 沈宗树副教授 、 张昌期副教授 审阅 , 特此致谢 。 二. 本文 19 81年3月收到 40 阵 。 使性能泛函 : 一丁 : 、 (X二QX+ U U,“ 取极小值(不失一般性 , 取口为非负定对称常数矩阵) U= 一B 产刃X 一一K 夕 X 式中 , P矩阵是R艺 :。 到i 微分方程 ( 1 一 2 ) 的无约束的最优控制规律为 : ( 1 一 3 ) 乡 一A ,p+尸A一 B P B I 尸+ Q 到0 ) = 0 l ( 一 4 ) 的平衡点 。 矩阵尹也是代数 Ri: a t艺方程 ( AR刀) : A P+ PA一尸B B , P+ Q= 0 ( 1一5 ) 的正定解 。 许多文献对上 述 问题进行了研究与分析 , 最优状态调节器间题在理论上已得到较为完善 的发展 。 但是 , 在应用这个理论迸行最优控制系统的设计时 , 我们却往往在下面两个问题上 遇到困难 : 1 . 权矩阵Q的 选取 。 性能泛函( 1 一 2 )取极小值 , 综合地反映了经典控制理论中超 调量小 、 调节时间短 、 振荡次数少等惯用性能指标 。 但是 , 上述惯用性能指标如何用二次型 性能泛函来表示 , 至今还是一个不十分清楚的 问题 。 换言之 , 如何在惯性性能指标与二次型 性能泛 函之间 , 建立明确的对应关系 , 尚无一定的 准则可遵循 。 因此 , 如何选择Q矩阵 , 使 得它所 对应构成的闭环 系统满足某一惯用性能指标的要求 , 就成为工程设计 中一个重要的问 题了 。 2 . ARE的求解 , ARE是一个非线性方程 , 通常 求不出解析解 , 只能用数字计算机求 出p矩阵的近似数值解 。 如果A 、 B矩阵 中嵌入某些参变量 , 由于只能逐点求数值解 , 这对 于全面地研究分析系统和实时控制是不利的 。 二 、 基于综合主导极点配置的一类最优问题综合法 1 . 极点配置与主导极点配置 闭环系统 的极点决定了瞬态响应的类型 , 而瞬态响应的形状则主要取决于 闭环系统的零 点 。 可以采用各种各样的校正手段来改善系统的动态品质 , 但从本质上来看 , 无非都是改变 其极点和零点的分布情况 。 文献 4一11从不 同的方面研究了在最优状态调节器理论基础上 的闭环系统的极点配置间题 。 对于 ( 1一1 ) 、 ( 1一2 ) 式所定义 的最优控制系统来说 , 闭环系统极点可以通过线性状态反馈来任意配置的必要与充分条件 , 就是A , B完全可控 . 然而 , 值得指 出 的是 , 当且 , 刀完全可控时 , 虽然闭环 系统极点可以被任意配置 , 但我们 更为关心的闭环系统的瞬态响应特性 , 却不一定能在任何情况下按我们的要求得以实现 。 这 是因为 : 1 ) 闭环系统的零点对瞬态响应 的形状有着重大的影响 , 因而对于存在零点的系统 , 仅 仅配置了极点是不能完全决定系统的瞬态 响应特性的 。 2 )工程中的系统受到许多实际因素(例如饱和)的限制 , 这常常使被配置了的极点只 具有理论上的意 义 。 主导极点是极点中的一部分 , 与其它极点相比 , 它对瞬态响应特性起主导作用 。 同样 , 王导极点配置是极点配置的一种特殊情况 , 文献1 1曾进行过研究 。 与一般极点配置相比 主 一 导极点配置会得到更强 的反馈规律 , 系统更容易工作在饱和区 间 。 2 . 综合主导极点定义 满足 下列条件的闭环系统极点称为综合主导极点 : l ) 用适当的最 优化方法(例如正交设计)综合考虑闭环系统极点和零点对瞬态 响应 的 作用 , 在此基础上确定的满足对 系统的惯 用性能指标要求的若千个极点 ; 2 ) 闭环系统 的其它极点与上述极点相比均远离虚轴 。 以致前者对闭环系统瞬态响应 的 影响可以忽略不计 ; 3 )在上述极点附近 没有零点 。 当采用上述定义并进行综合主导极点配置时 , 就不用担心前面提到的极点配置 、 主导极 点配置不能考虑零点作用的问题了 。 至于极点配置容易受到系统饱和限制的问题 , 能否就 已有的或首先确定的反馈规律K , 用 调整 系统内调节参数的方法使其成 为最优控制系统呢?这就是所要研究的一类最优间题 。 3 . 最优问题的提法 设在线性时不变系统 XAX+ BU X(o )= X O ( 2 一 1 ) 中 A , 刀 是完全可控的 , X和U 分别为 : x l 向量和标量 。 由已知的状态反馈K构成控制规律 。 一一 I守 X = 一B , PX ( 2一2 ) 试寻求系统的调节参数七, , i 一1 , 2 , : 的最优函数关系 : 七 : (A , B , K , Q) = o ( 2 一 3 ) 使性能泛函 ,一、 丁: (X , pQX+ U Z , “ CZ一 4 ) 取极小值 。 ( 2一4 )式 中 p0 , Q矩阵由满足对系统要求的惯用性能指标的综合主导极 点确定 。 ( 2 一 2 )式中的P矩阵满足爪“ a ti方程 : A , p+pA 一pBB p+pQ一。 ( 2 一 5 ) 下面 , 通过四个命题来分析一下上述最优问题理论上的一些间题 。 4 . 命题1 对于( 2 一 1 ) 、 ( 2 一 2 ) 、 ( 2一4 )式所定义的系统 , 记 (S)=d et 51一(A一BK ) 闭环特征多项式 ( 2一6 ) 甲(S)=de t 51一 A) 一一开环特征多项式 ( 2 一 7 ) Q=dd ( 2 一 8 ) 二(S)=d ,a dj(5 1一 A)B ( 2 一 9 ) 则在开环特征多项式吟(s )与闭环特征多项式八(匀之间 , 存在下列关系 : (一 s )A( s )二冲 (一 s )中 ( s )+ pm (一 s ) m ( s )( 2一1 0) 证明 : 设 a。是 A 一 BK )的特征值 , X 。 是与 a。 对应的特征向量 , 则 a。X。 = (A一 BK , )X 。= A X 。一 B K I X 。= AX 。一 BB里PX 。 ( 卜 11) 记入 。 =pX 。 ( 2 一 1 2) 则 aoX。 二 AX 。一 BB 入 。 ( 2一13) 考虑到( 2 一1 2) 式 , a 声 。“a。 PX 。一 p a。X。 二(尸且一尸BB 尸)X 。 由( 2 一 5 )式得 PA 一P 刀B P=一p口一夕P , 代入上式得 : a。入。二 一p Q尤 。 一A 入 。 综合( 2 一 13) 、 ( 2 一2 4)式得 : ( 2 一 14) 。 。 淤 一 “ 刹 ( 2 一 15) 式中 : H二 注意到上式 , 姓 一B刀 , 1 L一pQ 一A 户 J ( 2一16) 不难验证恒等式 : 5 1一(A 一B K , ) B B O一 51一(A 一B K 尹 ) , ( 2一17) O zI尸 S一H 对( 2 一 1 7) 式两边取行列式得 : (一 1 ) ” d e才 51一H二d 。t5 1一 (A 一 BK , ) d et一 51一(A一BK , ) =(一s) (S) ( 2 一 15) 由于 当D l l 午 。时 , de t D LD 11 D iZ D zt = d etD ll 二 d e tD : 一D : I D ,1一互 D l: 故对于S I一 H= BB , 51+A D Zz 有 d et51一 H= d e t(51一A) d et51 +A ,一 pQ(5 1一互) 一I B B “d et (51一 A) 一I一pQ(51一A) 一I BZ了 (一51一A ) 一 d e t(一5 1一A ) = (一 i ) ” d et( 51一 A) d et (一51一A) d etI + pQ(51一 A) 一卫B B (一51一A , ) 一 二(一1) . d e才 (5 1一 A) d er (一51一 A) d et 1+pB 夕 (一5 1一 A , ) 一dd ( 51一 A ) 一I B 二(一i) , 协(S)劝 , (一s)+ p执(S)m (一S)( 2一1 9) 由( 2 一 18) 、 ( 2 一 19) 式即得 : (一S)么(S)二中(一 S)冲(S)+pl n (一S)二(S)( 2一20) 5 , 命题2 设日 ( s ) 、 丫( S )是S的首一多项式 , d eg 日( s )= m , d eg丫(s )= 二 , 。二 , 对于 po 定义 a ( s , p)叠日 ( s )+ p 丫( s ) 则当p*c o时 , a ( : , p )的川个零点趋 近于丫( s )的全部m , 个零点 ; 剩下的a ( : , p )的( m一m )个 零点则趋近于 p /川 一” x t , 一 + 1=。的零点 。 证明 : 取丫( s )的某个零点S , , 选择乙 o , 使在全S : S一S , = 乙 内 , 丫(s )只有5 1一 个零点 。 定义 : 垒认引丫( : ) , 选择p 。 o , 使李结1 日( : ) p 。 有 : 日( s ) I | , .; 曰 、J. 曰 一 ,. 曰 曰 一遥 攀 卜日 卜的 。 O“ 司 歼 剔邻 川 + l 刘 引礼 林 引 . +一 卜6卜 。 O“ 刃 . 引 训 斗 酬 叭 引 引州引 引 班 引引| 一l 训 引 a . 1 E 引 ! l 州引酬 邪 引 J. |一 琐窦衅杆 t!. 认 的 蓉 囚 。 O:的sa OO 工 。 O 二 t. l. 认 的Z价囚 。 O 。 卜的N的的的 , O一00 0州0 . 0 的90 0代 . 0一二! .t 的 粥 j | | |日日日J | | |月| | | | l e e魂 旧 J w e J |一 !l j队 l!l ga o卜 。 O“ , 臼 赴 曰 的 团6a O 工 。 的洲 的00 00 . 的 : 曰 、! 曰 洲 到 别叫 划| 、十 川川引引别 引 引州 . 1 99N 。 O , 的对8 的的 。 O . 臼 N赴 曰囚 。 O N 报 | | | | |洲月| | | | J - a I | | | | | |叫- - - T | | | | | | | . 。卜 卜 。 O“ 曰 哪TZ 。 的的 赴 曰 工娜卜6 。 卜 . 卜 、 ! . 曰 一 川训州引 司 引卜 十 川引川别司 川!一的0 洲N 。 O , a O 的ON 。 O一 . 曰 合 白哪 . 0 卜O卜 。 O“ 曰 口 。毖 的0 8工卜的 。 O的 6州的的 。 卜 轰 L L 的N的囚 。 、 ! 曰一 、十 冈回洲 湘州 叫 创|一 , 曰 、L L8 9 0 0 。 O 卜 赴 曰 l l l l l l l 卜卜, , l l l O O O勃 勃l l l 亡亡、 、 O O O O O。 l l l! ! ! L。 认认J J J 川卜 卜 C C C门门 叫叫小小 ! ! ! “ “勺勺勺 小小口口口 ( ( ( : : : : : 二二、 、 、 、 , , +I I I I I 众 1 1 1 1 1 办办】 】 o o O O O勺勺勺 C C C门门门 亡亡心心心 C C C) ) ) ) ) ! ! ! ! ! O O O勺勺勺 O O O】 尸尸闷 闷闷 ) ) ) ) ) C C C , , , l l ll l l l l 认认印 印印 的的 以以勺 r. . . . . 叹叹洲洲洲 6 6 6 . y t Ig g g . . . ,、 、 、 卜 十十! ! ! ! ! 卜卜 卜卜 仁仁 ,仁 . . . . . L L L。 臼 臼臼 叹叹 - - - - - 0 0 0 l l l l l l l 才 工 琳 52 A(一s)(“ 卜“ 吕一愕“6 + 粤黔 旦 “ - 5214 。 7 T ,6 5 2+ 1 60 5 。 998 T ,8 解之 : (。)=: +卫愁旦 些 : 3+ 卫旦毕即22旦5 2 + 卫黔 翼 s+ 义 即 l 口 . 上即 . 40 。 075 T , 4 ( 3一25) 即 : a = = 3 8 . 89 7 5 , b =25 6 . 5 077 5 , e “ 1 6 0 . 5 3 7 :。 =1 、 几 。 , 1计算得人,=几2=1 0 , 几 3 =一2 。 , d =40 . 0 7 5 。 另外 , 以理想水轮机和g 。 =。 . 2 、 将以上数值代入( 3 一 1 7) 式得 、 l| 1 . ; 了 ” , 一, ”3” 一 会 T = 4 。 102 5T。 ” 一 ” 。3 会 几一 。 ” 6” 夸 ( 3一26) ( 3一2 6 )式就是在讨论 的情况下的调节参数的最优函数关系( 3一26 ) 式与一般文献推荐 的公式的区别在于 : 后者是用经典控制理论进行分析的 , 我们则是以最优控制理论作为研究 的手段 ; 按照( 3 一2 6 ) 式来迭 择参数 , 就能使 系统具有所确定的综合主导极点 . 换言之 , 能够明确的指出按( 3 一2 6)式迭择参数使系统具有什么样的动态品质 。 实际上 , 当按( 3 一2 6) 式迭择参数 , 闭环系统的全部极点为 : 一Q , 琴 32肠Z士j旦 孟口 。 252 3 T 7 。 51 5 9 T , 3 0 。 7 15 8 05 T , 3 )调节参数对综合主导极点的影响 进一步的计算(表 1 一 4 )表明 , b,和T , 的取值 , 对综合主导极点影响很小 ,影响综 合 主导极点的主要因素是右 , 和T 。 因此 , 我们只需据( 3 一2 6)式迭择b , 与T 的数值就可以 了 。 四 、 结论 本文提出了综合主导极点的新概念 , 研究了线性系统的综合主导极点配置问题 。 所研究的一类最优问题 , 是在反馈规律已知或给定的条件下 , 求取系统中调节参数的 最优函数关系的间题 . 得到的这类最优问题的综合法 , 是以最优状态调节器理论为基础的 , 基本结论是 由代 数Ri o c a“方程导 出的 , 求解过程不需要直接求解l R : o ti方程 。 引入次主导极点的概念以解决调节系统参数的相容性问题 。 在综合考虑闭环系统极点 和零点作用的基础上 , 扩展了一般主导极点的内容 , 定义 了综合主导极点的新概念 。 采用了正交设计方法来处理多因素多水平对多指标影响这样一个较为复杂的间题 , 根 据对闭环系统惯用性能指标的要求 , 确定闭环系统的综合主导极点 。 通过综合主导极点配置 , 在惯用性能指标与二次型性能泛函之间 , 建立了相互对应的 关系 。 得到的这类最优间题的综合法 , 方法简单 , 用于数值计算方便 , 并有可能得到解析解 , 适合于工程设计中采用 。 使用综合主导极点配置法对水轮机调速系统进行研究分析 , 得出了调节参数的最优函 数关系 , 并给出了空载扰动工况的数字实例 。 参考文献 1 2 3 4 5 6 7 R . E . K al坦a n , Wh e n 15 a lin ea r Co ntro lSy ste mopti口al?T ra ns . ASME . S er . D : JBa - 5ie Eng , V ol . s 6 , M ar eh i,6 4 . Pi . J . G . Wi llet n s , L ea st Sg ua r e s St ati o n ary OPtim al C o ntr o l a n dt五eAlgeb r aie Ri e- ea t1 Eg uat iom , IE E E . T r a n s . AUt o . Co nt . V ol . A e 一16 . i97 i . P621 . B . P . M olin ar i , The st a b l e R egulato r P rob lem a n dit s Inv e rse , I EEE . T r a n s . AUto . e o n t . V ol . A e 一18 . 1973 . P . 45 4 . F . M . B raseh , P ole Pla een re nt U sing Dy o a n t i e C帼pe n s ators , IEEE . T ra ns . A uto . eont . V ol . A e一1 5, 1 97 0 . P . 34 . E . J . D a v i so n , OnP ole A s s i学m e nt i n M o lti v a ri a bl e Lin ear Syst ems , I E EE . T rans . A uUto . e o n t . V o l . A e一13 . 1968 . P 。 7 47 . E . J . Da v i s o n , On P ole A ss ig nme nt inlin e a r Sy ste t n s Wi th In eo mpl ete St ate F e ed ba ek , IE E E . T r ans . A Ut o . C的t . V ol . A e一1 5 , 19 70 . P . 3连8