梁保松概率论(农业出版社)概率论习题一解答.pdf

习题一习题一 2.2. 互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系： 解 对立事件互不相容，而互不相容事件未必对立。 （1） ax与 ax，对立且互不相容； （2）20x与20x， 对立且互不相容； （3）20x与18x， 互不相容，非对立； （4）20x与22x，非互不相容，非对立； （5）20个产品全是合格产品与20个产品中只有一个废品，互不相容，非对立； （6）20个产品全是合格产品与20个产品中至少有一个废品对立且互不相容； 3.3. 写出下列随机试验的样本空间 （1）10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回） ，直到将3只次品都取 出，记录抽取的次数 解10, 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3； （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数 解,12,11,10； （3）测量一汽车通过给定点的速度 解0VVV表示给定点的速度， 4 4事件A表示在三件被检验的仪器中至少有一件为废品， 事件B表示所有的仪器为合格品， 问事件（1）BA； （2）BA各表示什么意义？ 解（1）BA ； （2）BA 5 5设CBA,为三个随机事件，试将下列事件用CBA,来表示： （1）仅仅A发生，CBA （2）三个事件都发生，ABC （3）至少有两个事件发生，BCACAB （4）恰有一个事件发生，CBACBACBA （5）没有一个事件发生，CBA （6）不多于两个事件发生 包括： “没有一个事件发生 + 恰有一个事件发生 + 恰有两个事件发生” ，这正好是三个事件 都发生的对立事件，故为ABC. 7 7袋内装有5个白球，3个黑球，从中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率 解 设A=“取出的两个球都是白球” ，则 2 5 2 5 5 ( ) 14 C P A C . 8 8一批产品共200个，其中有6个废品，求： （1）这批产品的废品率； （2）任取3个恰有 一个是废品的概率； （3）任取3个全是废品的概率 解 设 1 A=“任取 1 个恰是废品” ， 2 A=“任取3个恰有一个是废品” ， 3 A=“任取3个全是 废品” ，则 1213 619466 123 133 200200200 31 (),(),(). 10011 CCCC P AP AP A CCC 9 92封信随机的向4个邮筒投寄，求第二个邮筒恰好投入一封信的概率 解设A=“第二个邮筒恰好投入一封信” ，因为两封信可以投入同一个邮筒，即一个邮筒可 以重复用两次， 从而该实验可以看成4个邮筒任取两个的重复排列， 则样本空间含有 2 4个基本事 件，故 11 23 2 3 ( ) 48 C C P A，其中， 1 2 C表示两封信之一投入第二个邮筒， 1 3 C表示剩余的 1 封信投 入其余 3 个邮筒之一. 1010在房间里有10个人，分别佩带着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号 码 （1）求最小号码为5的概率； （2）求最大号码为5的概率 解 1 A=“最小号码为5” ， 2 A=“最大号码为5” ，则 1212 1514 12 33 1010 11 (),(). 1220 C CC C P AP A CC 1111把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率 解设A=“指定的三本书放在一起” ，则 8!3!1 ( ) 10!15 P A. 1212甲，乙二人约定1点到2点之间在某处会面，约定先到者等候10分钟即离去设想两个 人各自随意地在1点到2点之间选一个时刻到达该处，问“甲乙二人能碰上”这事件的概率是多 少？ 解 设A=“甲乙二人能碰上” ，设甲、乙到达的时刻分别为, x y，则事件A可表示为 10 xy，而,0,600,60x y，故由几何概率的定义，知 2 2 1 60250 50 11 2 ( ) 6036 P A. 1313在一间房里有4个人，问至少有2人的生日是在同一个月的概率是多少？ 解设A= “至少有2人的生日是在同一个月” ， 则A= “没有2人的生日在同一个月” ， 而4 个人的生日可以在同一个月，即 12 个月可以重复取4次，故样本空间含有 4 12个基本事件。因此 1111 1211109 4 55 ( ) 1296 C C C C P A，故 41 ( )1( ) 96 P AP A. 1414设有10件样品，编以号码90 ，随机地抽取1件样品，以B表示“取到号码为偶数的 样品” ； 1 A表示“取到号码为1的样品” ， 2 A表示“取到号码为2的样品” ， 3 A表示“取到号码大 于7的样品” ，分别求 321 ,AAA的概率和 321 ,AAA对B的条件概率，并将条件概率与无条件概 率做一比较 解解 111 112 123 111 101010 111 (),()() 10105 ，； CCC P AP AP A CCC 11 11 123 111 555 011 ()0,()(). 55 ， CC P A BP A BP A B CCC 11 11 123 111 112 01 ()0,()1(). 2 CC P B AP B AP B A CCC ， 1515某人忘了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，不超过三次而接通所需要电话的概 率是多少？如果已知最后一个数是奇数，那么此概率是多少？ 解解 设 i A=“第i次接通” ，i=1,2,3,B=“拨到奇数号码”则 “不超过三次而接通所需要电话”= 112 123 AA AA A A,且 112 123 ,A A AA A A互不相容，故 111111 919811 112112 123123 111111 101091098 3 . 10 C CC C CC P AA AA A AP AP A AP A A A CC CC C C 111111 431141 112112 123123 111111 554543 3. 5 C C CCC C PAA AA A ABP A BP A A BP A A A B CC CC C C 1616考察甲，乙两地出现春旱的情况，以BA,分别表示甲，乙两地出现春旱这一事件根据 以往气象记录知2 . 0)(AP,15. 0)(BP,08. 0)(ABP,求)(BAP,)(ABP及)(BAP 解解 ()0.088()0.082 (),(), ( )0.1515( )0.25 P ABP AB P A BP B A P BP A ()( )( )()0.27.P ABP AP BP AB 1717掷三个均匀骰子，已知第一粒骰子掷出幺点（事件B） ，问“掷出点数之和不小于10” 这个事件A的条件概率是多少？ 解解 1 6 1 ( )P B C , 111 666 10 ()P AB C C C , 其中分子上的 10 是第一粒骰子掷出幺点（事件B）且“掷出点数之和不小于10”的可能的 基本事件数目，基本事件为“1，3，6” 、 “1，4，5” 、 “1，4，6” 、 “1，5，4” 、 “1，5， 5” 、 “1，5，6” 、 “1，3，6” 、 “1，6，4” 、 “1，6，5” 、 “1，6，6”共 10 个。则 ()5 () ( )18 P AB P A B P B . 1818甲，乙二人射击，甲击中的概率为8 . 0，乙击中的概率为7 . 0，二人同时射击，并假定 中靶与否是独立的，求： （1）中靶的概率， （2）甲中乙不中的概率， （3）甲不中乙中的概率 解解 设 1 A=“甲击中” ， 2 A=“乙击中” ，则 12 12 ()0.8,()0.7,()0.2,()0.3.P AP AP AP A 因 1 A、 2 A相互独立，则 1 A、 2 A及 1 A、 2 A也相互独立，故 121212 ()()= ()+ ()() ()=0.94,PP AAP AP AP A P A中靶 22 11 11 22 ()()= () ()=0.24, ()()= () ()=0.14. PP A AP A P A PP A AP A P A 甲中乙不中 甲不中乙中 1919从厂外打电话给这个工厂某一车间要由工厂的总机转进，若总机打通的概率为6 . 0，车 间的分机占线的概率为3 . 0，假定二者是独立的，求从厂外向该车间打电话能打通的概率 解解 设 1 A= “总机打通” ， 2 A= “分机打通” ， 则 12 ()0.6,()1 0.30.7.P AP A 因 1 A、 2 A相互独立，故 1212 ()()()= () ()=0.42.PPP A AP A P A电话打通总分机都打通 2020设事件BA,的概率均不为0，证明事件A与B独立与互不相容不会同时成立 证证( )0,( )0,P AP B若A与B独立，则()= ( ) ( )0P ABP A P B ；A与互不相容，则 ()= ()0,P ABP 即A与B独立与互不相容不会同时成立. 2121有4个大小质地一样的球，分别在其上写上数字3 , 2 , 1和“3 , 2 , 1” ， 即第4个球上3 , 2 , 1这 三个字都有，令 i A随机抽出一球，球上有数字i，3 , 2 , 1i试证明 321, AAA两两独立而不 全体独立 证证 111 222 123 111 444 111 (),(),(); 222 CCC P AP AP A CCC 121213132323 111 444 111111 ()() (),()() (),()() (); 444 P AAP A P AP AAP A P AP A AP A P A CCC 123123 1 4 111 ()() () (). 48 P A A AP A P A P A C 即 321, AAA两两独立而不全体独立 2222 加工某一零件共需四道工序， 设第一、 二、 三、 四道工序的次品率分别是%3%,5%,3%,2， 假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率 解解 i A第i道工序出现次品，1,2,3,4i ，若零件在某一道工序成为次品，则最终必为 次品，故 1234 AAAA “加工出来的零件为次品”, 即求 1234 P AAAA. 而各道 工序互不影响， 1234 , ,A A A A相互独立，从而 1234 ,A A A A也相互独立，由逆事件的概率公式，有 1234 12341234 1234123411 1 (1 0.02)(1 0.03)(1 0.05)(1 0.03)0.1240221 P AAAAPAAAAPA A A A P A A A AP AP AP AP A 2323掷三个均匀骰子，记B至少有一个骰子掷出 1，A三个骰子掷出的点数中至少 有两个一样，问BA,是否独立？ 解解一一B 没有一个骰子掷出 1，A 三个骰子掷出的点数都不一样，则 111 555 111 666 ( ) C C C P B C C C , 111 654 111 666 ( ) C C C P A C C C . 而 111111111 543654555 111111111 666666666 ()( )( ) C C CC C CC C C P ABP AP B C C CC C CC C C ，即,A B不独立. 由于,A B独立则,A B独立，故,A B不独立则,A B不独立. 解解二二 111111 543654 111111 555666 , C C CC C C P A BP A C C CC C C P A BP A, , 即,A B不独立, 则 ,A B不独立 2424一批玉米种子，其出芽率为9 . 0，现每穴种5粒，问“恰有3粒出芽”与“不大于4粒 出芽”的概率是多少？ 解解P( (恰有3粒出芽) = 5 3 33 35 5, 0.90.9 1 0.90.0729bC , , P( (不大于4粒出芽)1P ( (恰有 5粒出芽) 5 5 55 55 15, 0.910.91 0.90.40951bC . . 2525某一9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的百分比是%70，现在该机构对 某事件可行与否个别征求各位顾问意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率 解解P( (个人个人意见正确)=%70，“正确决策” = “至少有 5 人意见正确” ，故 P( (正确决策)=P( (至少有5人意见正确)=P( (恰有5人意见正确 恰有9人意见正确) = 9 9 5699 5 9, 0.79, 0.79, 0.70.7 1 0.7 i ii i bbbC 2626电灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为2 . 0，求3个灯泡在使用1000小时后，最多 只有一个坏了的概率 解解P( (灯泡寿命在1000小时以上)=2 . 0， P( (灯泡寿命在1000小时以下)=P( (灯泡寿命在1000小时后坏了)=0.8. P( (最多只有一个坏了)=P( (没有一个坏了恰有一个坏了) = = 3 03 1 0011 0133 3, 0.83, 0.80.81 0.80.8 1 0.80.104bbCC . . 2727用三个机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为2 . 0, 3 . 0, 5 . 0，各机床加 工的零件为合格品的概率分别等于95. 0, 9 . 0,94. 0，求全部产品中的合格率 解 i A零件由第i机床加工，1,2,3i ，则 i A（1,2,3i ）是样本空间的一个剖分； B “产品合格”，则 112233 ( )() ()() ()() () 0.94 0.50.9 0.30.95 0.20.93. P BP B A P AP B A P AP B A P A 282812个乒乓球中9个新的，3个旧的，第一次比赛时，同时取出了3个， 用完后放回去第 二次比赛时，又同时取出3个，求第二次取出三个球都是新球的概率 解 令 i A第一次比赛取出 0、1、2、3 个新球， i B 第二次比赛取出 0、1、2、3 个新 球，0,1,2,3i 则 i A（0,1,2,3i ）是样本空间的一个剖分，即求 3 ()P B. 3300311322333 ()() ()() ()() ()() ()P BP B A P AP B A P AP B A P AP B A P A. 其中， 312213 393939 0123 3333 12121212 ,. CC CC CC P AP AP AP A CCCC 3333 9876 303132333333 12121212 ,. CCCC P B AP B AP B AP B A CCCC 故 3300311322333 ()() ()() ()() ()() ()P BP B A P AP B A P AP B A P AP B A P A=0.146. 2929发报台分别以概率6 . 0和4 . 0发出信号“”和“ ” ，由于通信系统受到干扰，当发出 信号“ ”时，收报台未必收到信号“ ” ，而是以概率8 . 0和2 . 0收到信号“ ”和“” 同时， 当发出信号“”时，收报台以概率9 . 0和1 . 0收到信号“”和“ ” ，求 （1）收报台收到信号“ ”的概率； （2）当收报台收到信号“ ”时，发报台确系发出信号“ ”的概率 解 设 1 A=“发出信号” ， 2 A=“发出信号.” ，则 1 A， 2 A是样本空间的一个剖分.且 12 ()0.6,()0.4.P AP A 设 1 B=“收到信号” ， 2 B=“收到信号.” ， 则 11211222 ()0.9,()0.1,()0.2,()0.8.P B AP B AP B AP B A 从而， 2211222 () ()+ () ()0.1 0.6+0.8 0.4=0.38.P BP B A P AP B A P A） 222 22 2 () ()0.8 0.4 ()0.8421 ()0.38 P B A P A P A B P B . 3030 设某种病菌在人口中的带菌率为83. 0，当检查时，带菌者未必检出阳性反应而不带菌者 也可能呈阳性反应，假定 )(带菌阳性P99. 0，)(带菌阴性P01. 0，05. 0)(不带菌阳性P，95. 0)(不带菌阴性P 设某人检出阳性，问他“带菌”的概率是多少？ 解 () ()() () () ()() ()() () PPPP P PPPPP 阳性带菌带 菌阳性带菌带菌 带菌阳性 阳性阳性带菌带 菌阳性不带菌不带 菌 0.99 0