全国大学生周培源力学竞赛第八届理力材力试题及详尽解答.pdf

第八届全国周培源大学生力学竞赛试题 出题学校：清华大学 满分 120 分 时间 3 小时 30 分钟 一、看似简单的小试验（30 分） 某学生设计了三个力学试验，其条件和器材很简单：已知光滑半圆盘质量为m， 半径为r，可在水平面上左右移动。坐标系Oxy与半圆盘固结，其中O为圆心，x轴 水平，y轴竖直。小球(1,2,3) i P i =的质量均为m。重力加速度g平行于y轴向下， 不考虑空气阻力和小球尺寸。每次试验初始时刻半圆盘都处于静止姿态。 （1）如果她扔出小球 1 P，出手的水平位置 0 xr，但高度、速度大小和方向均 可调整，问小球 1 P能否直接击中半圆盘边缘最左侧的A点？证明你的结论（6 分） 。 （2）如果她把小球 2 P从半圆盘边缘最高处B点静止释放，由于微扰动小球向右 边运动。求小球 2 P与半圆盘开始分离时的角度（12 分） 。 （3）如果她让小球 3 P竖直下落，以 0 v的速度与半圆盘发生完全弹性碰撞（碰撞 点在45=处） ，求碰撞结束后瞬时小球 3 P与半圆盘的动能之比（12 分） 。 二、组合变形的圆柱体（20 分） 圆柱AB的自重不计，长为L，直径为D，材料弹性模量为E，泊松比为， 剪切屈服应力为s。其中圆柱A端固定，B端承受引起 50%剪切屈服应力的扭矩 T M 作用。 （1）求作用于圆柱上的扭矩 T M（6 分） 。 （2）应用第三强度理论（最大剪应力理论） ，求在圆柱B端同时施加多大的轴向 拉伸应力而不产生屈服（6 分） 。 （3）求问题（2）情况下圆柱体的体积改变量（8 分） 。 三、顶部增强的悬臂梁（30 分） 有一模量为 1 E的矩形截面悬臂梁AB，A端固定，B端自由。梁长为L，截面 高度为 1 h，宽度为b。梁上表面粘着模量为 21 2EE=的增强材料层，该层高度 21 0.1hh=，长度和宽度与梁AB相同。工作台面D距离B端下表面高度为。在B 端作用垂直向下的载荷 P F。不考虑各部分的自重。 （1）求组合截面中性轴的位置（6 分） 。 （2）求使梁B端下表面刚好接触D台面所需的力 P F（8 分） 。 （3）求此时粘接面无相对滑动情况下的剪力（6 分） 。 （4）计算梁的剪应力值并画出其沿梁截面高度的分布图（10 分） 。 四、令人惊讶的魔术师（20 分） 一根均质细长木条AB放在水平桌面上，已知沿着AB方向推力为 1 F时刚好能 推动木条。但木条的长度、重量和木条与桌面间的摩擦因数均未知。 魔术师蒙着眼睛，让观众把N个轻质光滑小球等间距地靠在木条前并顺序编号 （设N充分大） ，然后如图在任意位置慢慢用力推木条，要求推力平行于桌面且垂直 于AB。 当小球开始滚动时， 观众只要说出运动小球的最小号码 min n和最大号码 max n， 魔术师就能准确地说出推力的作用线落在某两个相邻的小球之间。 魔术师让观众撤去小球后继续表演，观众类似前面方式在任意位置推动木条，只 要说出刚好能推动木条时的推力 2 F，魔术师就能准确地指出推力位置。 （1）简单说明该魔术可能涉及的力学原理（4 分） 。 （2）如何根据滚动小球的号码知道推力作用在哪两个相邻小球之间（12 分）？ （3）如果观众故意把 2 F错报为 1 22F ，魔术师是否有可能发现（4 分）？ 五、对称破缺的太极图（20 分） 某宇航员在太空飞行的空闲时间， 仔细地从一块均质薄圆板上裁出了半个太极图 形，并建立了与图形固结的坐标系Oxz。 他惊奇地发现：虽然该图形不具有对称性，但仍具有很漂亮的几何性质：惯性矩 xz II=。他怀疑上述性质是否具有普遍性，于是随意地将Oxz坐标系绕O点转动 角，得到新的坐标系 Ox z，仍然发现 xz II=。 接着他发现该图形在太空失重情况下不可能绕z轴平稳地旋转。 看到手边正好有 一些钢珠，质量分别为 1 16 , (1,2,.,16) i mm ii=，其中m是半太极图形的质量， 他想尝试把钢珠粘在图形上 （1）试证明该图形 xzxz IIII=是否成立（10 分） 。 （2）不考虑钢珠的尺寸和粘接剂的质量，是否可能在某处粘上一颗钢珠后，图 形就能平稳地绕z轴旋转？简要说明理由（10 分） 。 1 第八届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案 一、看似简单的小试验（30 分） （1）小球 1 P不可能直接击中 A 点，证明见详细解答。 （2）小球 2 P与圆盘开始分离时的角度arcsin( 31)47=。 （3）碰撞结束后瞬时小球 3 P与半圆盘的动能之比为 5：4。 二、组合变形的圆柱体（20 分） （1） 3 1 32Ts MD=。 （2）在柱B端同时施加3= s的轴向拉伸应力不产生屈服。 （3）圆柱体的体积改变量() 2 1 4 12/VD LE=。 三、顶部增强的悬臂梁（30 分） （1）组合截面中性轴的位置： 1 0.592 C yh=； （形心为0 C z=， 1 0.592 C yh=） 。 （2）使梁B端下表面刚好接触C台面所需的竖向力为 33 11 0.4/ P FEbhL=。 （3）不使增强材料层下表面与梁上表面相对滑动的剪力为 top22 Q11 0.28/FE bhL=。 （4）梁的剪应力为 () 223 3 12 / C EyyL=，沿梁截面高度的分布图见详细解答。 四、令人惊讶的魔术师（20 分） （1）力学原理：沿不同方向推动木条时，需要的推力大小不同，木条运动的方式也不同：沿 AB 推，推力 1 F最大，木条平动；垂直 AB 在不同位置推动木条，木条绕不同的点转动， 且推力 2 F的大小、转动位置均与推力位置有关。 （ 2 ） 根 据 滚 动 小 球 的 号 码 信 息 ， 推 力 位 置 位 于, 1num num+号 小 球 之 间 ， 且 22 max max 2 42 nQ num nQ = 取整。 （注意, 1, 1QN or Nor N=+均算正确） 。 （3）设 21 /FF=，0, 0.414)不可能出现。当0.414, 0.828)时，观众如果故意把 2 F错报为 1 22F ，一定会被魔术师发现。若0.828, 1时，观众故意报错不会被发现。 五、对称破缺的太极图（20 分） （1） xzxz IIII=成立，见详细解答。 （2）在, 0 xr z= =处粘上质量为 1 4m的配重，图形就可以在空中绕 Z 轴稳定地转动。 2 详细解答及评分标准 总体原则： （1） 计算题的某一小问，只要最后结果正确且有适当的步骤，就给全分。 （2） 如结果不正确，则参考具体的评分标准。 （3） 如结果不正确且方法与参考答案不一样，各地自行统一酌情给分。 （4） 证明题需要看过程。 一、看似简单的小试验（30 分） 【解】 ： （1）小球出手后开始作抛物线运动，可以证明，在题目所给条件下，小球击中 A 点之 前，一定会和圆盘边缘上其它点碰撞，即小球不可能直接击中 A 点。 证明：如果想求出抛物线与圆的交点表达式，会很复杂。下面采用很简单的方法。 圆盘的边界轨迹为 222 xyr+=，在 A 点右边的xrx= +处（设x为一阶小量） ，圆 盘的高度为 222 1 ()rxyr +=， 22 1 2yr xx= ，略去高阶小量，即 0.5 1 yx； 小球的抛物线轨迹方程一定可以写为 2 ()ya xbc= +的形式（a、b、c 与初始条件有 关且均为正值） 。在xrx= +处，抛物线的高为 2 2 ()yarxbc= + +。假设抛物线过 A 点， 则有 2 0()arbc= +。 因此有 2 2 2 ()ya rbxa x=+ ， 略去高阶小量， 即 2 yx。 即在 A 点之前（xrx= +处） ，抛物线的高度是 1 阶小量，而圆盘的高是 0.5 阶小量， 所以圆盘比抛物线高。因此小球在击中 A 点前一定会先与圆盘上某点发生碰撞，不可能直接 击中 A 点。 （2）建立惯性坐标系与初始时刻的Oxy重合。 可以用不同的方法求解。系统水平方向动量守恒 (sin)0mxm xr+=? （11） 结论 3 分 证 明 方 法 不 限。 结论错误，0 分； 结论正确且能 够证明，3 分； 结论正确但证 明不完善，1 分。 1 分 3 系统机械能守恒 2222 11 22 (2sin)sinmxm xxrrmgrmgr+=? （12） 拆开系统，对小球由水平方向质心运动定理 cosmxN= ? （13） 由（11）和（12）得到 1 2 sinxr= ?， 2 2 4(1 sin ) (2sin) g r = ? （14） 对（14）中的速度和角速度求导有 2 11 22 sincosxrr= ?， 2 22 2cos (2sin2sin ) (2sin) g r + = ? （15） 把（15）代入（13）有 () () 3 2 2 4sin6sin 2sin mg N + = （16） 下面求小球正好脱离圆盘的位置，即求 3 4sin6sin0+=的解。设sinx=， 3 64yxx=+。一般情况下三次方程的解不好求，但是本题比较好求。把 x3，2， 1，0，1，2，3 代入，可以看出 x 在（3，2）之间、 （0，1）之间以及 x=2 处有三个解（见 下图） 。 根据三角函数的特点， （0，1）之间的解有意义。注意到 x=2 是一个解，所以设 32 64(2)(2)xxxxx+=+，容易求出2=，问题变为求 2 220 xx+=在（0，1） 之间的解， 为31x =， 因此arcsin( 31)47=时， 小球与圆盘压力为零， 正好分离。 （3）为了求出碰撞后的速度，可以用不同的方法。以碰撞点处的法向 n 和切向为坐标 轴构成 x y。 得到速度或角 速度，1 分 得到加速度或 角加速度，2 分 得到压力与角 度的正确表达 式，3 分 得到角度的正 确表达式，3 分 1 分 1 分 4 碰撞前小球的绝对速度在 x y坐标系中为 T 00 (sin , cos ) x y vvv = 。 设碰撞后小球 的绝对速度为 T (, ) n x yx yx y vvv + =。 碰撞时以小球为研究对象，由于圆盘光滑，小球切向速度不变有 0cosx y vv + = （17） 法向速度满足恢复系数关系，设圆盘以速度u后退运动，在 x y坐标系中为 () T cos , sin x y uuu + = 。根据碰撞定义，有 0 cos sin n x y vu e v + + = （18） 同时根据系统水平动量守恒，有 cossin n x yx y uvv + = （19） 联立（17） ， （18） ， （19） ，解出 2 0 2 sin (cos) 1 cos n x y ve v + = + ， 0 2 (1)sincos 1 cos ve u + = + （110） 小球的动能： ()() 22 11 1 22 n x yx y Tm vm v + =+，半圆盘的动能： 2 1 22 Tmu= 代入1e=和45=，所以碰撞后瞬时小球的动能与半圆盘的动能之比为 12 :5:4T T = （111） 二、组合变形的圆柱体（20 分） 【解】 ： （1）在扭矩作用下，圆柱外表面产生最大剪应力，其值为 50%是剪切屈服应力。由扭 转内力和应力公式计算得到 3 2 16 sTT P MM DW = 3 32 Ts D M = (2-1) （2）在圆柱外表面有最大应力，在剪切和轴向拉伸作用下，平面应力状态的主应力表达式为 2 分， 可以带入 角度。如果坐 标 系 选 取 不 同，或符号不 同，只要正确 即可。下面类 似处理 2 分 1 分 2 分2 分 3 分 4 分 2 分 5 2222 123 11 4,0,4 2222 =+=+ 应用第三强度理论（最大剪应力强度理论） ，有 22 13 max 1 4 22 =+ (2-2) 以剪应力 2 = s 和拉伸应力代入(2-2)式，屈服将发生在当拉伸应力达到 22 max 22 =+ s s (2-3) 故， 3= s (2-4) （3）根据圆柱扭转变形后截面保持平面的假定，扭转作用不引起体积改变。仅考虑轴向 拉伸作用下的体积改变量，利用功的互等定理，建立另一均匀压强p作用下的圆柱体（考虑小 变形） 。圆柱轴向拉伸力为 2 / 4FD=，与另一圆柱的伸长变形( )L p功共轭，由功的互 等关系， ( )( )= FL pp V F (2-5) 式中，( ) 1 =L pL。均匀压强p作用下的圆柱体，三个主应力均为： 123 = p 轴向伸长应变为 ()() 1123 1 1 2 =+= p EE (2-6) 代入(2-5)式，有：()( )1 2= FpL p V F E ， 从而得到体积改变量： ( )()() 2 1 21 2 4 = FLD L V F EE (2-7) 三、紧密结合的复合梁（30 分） 【解】 注意：计算结果保留小数点后 2 位即可以。答案中保留了小数点后 3 位。 答案如包含中间过程的参数，只要正确，也同样给分。 （1）建立如下坐标系（如果坐标系不同，只要结论正确，不扣分） 3 分 1 分 2 分 1 分 1 分 2 分 4 分 方法不限制， 6 先计算折算面积和截面几何性质，换算为同样模量 1 E材料的 T 形截面，求截面形心的位置， 由于截面对称，故0 C z =，仅求 C y。 2 12 21 1 1 12 2 0.7122 0.592 21.2 C h bh bhh h yh h bbh + = + (3-1) （2）叠合梁粘接共同工作，先计算折算面积和截面几何性质，换算为同样模量 1 E材料的 T 形截面， ()()()() ()()() () 33 22 12 11212 32 333 111 33 11 2 0.5920.521 0.5920.5 1212 0.0830.0080.1670.10.20.458 0.091 0.00.0420.133 z bhbh Ibhhbhhh bhbhbh bhbh =+ =+ =+= (3-2) 由梁端位移计算： 3 1 3 p z F L E I =，得到所需的竖向力为： 3 111 33 30.4 z p E IEbh F LL = (3-3) （3）求此时不使增强材料层下表面与梁上表面相对滑动的剪力。 由沿梁长度方向的剪力为常数，有 Qp FF=，得到梁上表面的剪应力为 () () 1 3 top 1 212 3 2 11 1 111 33 3 31 2 2 3 0.20.4080.050.28 z Q c zz E I S F S E L bhhyh bIbIbL EE h hhh LL =+ =+= (3-4) 乘以梁上表面的面积，即为剪力值： 4 分 4 分 1 分 4 分 5 分 1 分 7 2 toptop 11 Q 2 0.28Ebh FbL L = (3-5) （4）计算剪应力的分布公式： ()() ()()() ()() 22 2222 11 1 33 1 2 22 33 (0.592) 22 QQ CC zz QQ CCC zz C F SF b yyyyy bIbI FF b yyyyyy bII EE yyhy LL =+ =+= = (3-6) 获得剪应力为二次曲线分布，讨论： 在梁的下表面，即 C yy= ，有0= 在梁的中性轴处有最大剪应力，即0y =，有 () 2 1 max 3 11 0.592 1.32 2 0.133 QQ FhF bhbh = 或 2 1 1 max 3 0.53 E h L = (3-7) 在梁的上表面，即 1C yhy=，有 () ()() () 2 22 111 2 1 3 11 2 22 2 0.592 1 0.69 2 0.133 QQ CCC zz QQ FF yhyh yh II FhF bhbh = = 或 2 1 1 3 0.28 E h L = (3-8) 四、令人惊讶的魔术师（20 分） 【解】 ： （1）魔术的力学原理：沿不同方向推动木条时，需要的推力大小不同，木条运动的方 式也不同：沿 AB 推，推力 1 F最大，木条平动；垂直 AB 在不同位置推动木条，木条绕不同 1 分 4 分， 最后三个 等号中的任意 一个均可以 图 2 分，定性 对即可。两个 结果都可以。 1 分 1 分 2 分 木条平动2分； 木条转动时推 力 与 位 置 有 关，2 分。 8 的点转动，且推力 2 F的大小、转动位置均与推力位置有关。 （2）设木条质量为M，长度为L，与桌子摩擦因数为。若沿 AB 推，木条平动，临界推 力为 1 FMg= （41） （侧视图） 建立坐标系 Axy， 设垂直推 AB 的力 F2 与 A 端距离为 a （由对称性， 设推力在左半部分） ， 杆绕 C 点转动，AC 距离为。 （俯视图） 对均质杆，对桌面压力分布为( ) Mg q x L =，垂直杆推时，由 y 方向力的平衡和对 D 点的力矩 平衡关系，有 2 0 ( )d( )d0 L Fq xxq xx += （42） 0 ( )()d( )()d0 L q x xaxq x xax += （43） 解出 22 2()2 2 Laa a + =+，或 22 (2) 2(2) L a L = （44） 以已知 N 个小球平均分配在长度为 L 的区间（不一定相互紧挨着） ，分为 Q 段（注） 。木 条绕 C 点运动时，AC 部分小球运动，CB 部分小球不动。如果 min 1n=， max nN， max nN=，则表示作用力在右边；如果 min 1n=， max nN=， 木条垂直推时 受力图，2 分 1 分 3 分， 任意一个 均可以 1 分 1 分，对 A 点 取矩也可以。 注：按不同的 摆法，N 个小 球可能把木条 平 均 分 为 Q 段，QN、N 1、 N1， 均 可以。 9 则表示作用力在中间。 设作用力在左边，则 min 1n=，杆转动后 AC 部分 n 个小球运动，有 maxminmax (1)nnnn=+= （45） 则 AC 长度/nL Q=，把和 n 代入（44） ，得 22 max max 2 42 nQ num nQ = （, 1, 1QN or Nor N=+） （46） 由于小球运动的号码是整数，所以上式还需要取整数。最后得到作用力的位置在 , 1num num+号码的小球之间。 （3）沿 AB 方向的推力 1 FMg=；垂直 AB 推时，从（42）和（43）中还可以解出 22 2 ( (2 )(2 )MgLaLaL F L + = （47） 把 F1 与 F2 的比值算出来，设 22 2 1 (2 )(2 )LaLLaF FL + =，可以得到 21, 10.414, 1= （48） 即0, 21)0, 0.414)=是不可能出现的。因此魔术师根据值的范围就可以肯定观众 的数据有否有问题。若 21, 2 22)0.414, 0.828)=时，观众故意报错一半就会被 发现。若2 22, 10.828, 1=时，观众故意报错一半不会被发现， 五、对称破缺的太极图（20 分） 【解】 ： （1）由于惯性矩和惯性积的定义： 2 z A Ix dA=， 2 x A Iz dA=， xz A Ix zdA= （51） 直接积分不方便，下面采用简便的方法处理。为便于后面的分析，可以认为半太极图是这 样得到的：把半圆裁成 I、II 两部分，再把 I 旋转后当作 III 与 II 拼接。 4 分 2 分， 不必考虑 区间的开闭。 2 分 2 分 10 对半圆，因 z 轴为半圆的对称轴，故有 ( )() 0 III xzxzxz III=+=， ( )()III xxx III=+， ( )()III zzz III= （52） 且易知 xz II=（半圆） （53） 其中 ( )( )( ) , , (,) iii xzxz IIIiI II=类似（51）中的定义，只是积分的区域分别为 I A和 II A。 从半圆到半太极图的变换，是将 I 中的点() ( ) , I x z变为 III 中的() () , III xz ，由于变换前 后x z， 2 x， 2 z的符号均保持不变。于是有 ()( )IIII xx II=， ()( )IIII zz II=， ()( )IIII xzxz II= （54） 因此有 ()()( )() 0 IIIIIIII xzxzxzxzxz IIIII=+=+ （半太极图） （55） ()( )( )( )IIIIIIII xxxxx IIIII=+=+ ()( )( )( )IIIIIIII zzzzz IIIII=+=+ 且有 xz II=（半太极图） 在太极图中，由坐标旋转变换下的转轴公式： cos2sin2 22 cos2sin2 22 xzxz xxz xzxz zxz IIII II IIII II + =+ + =+ 知： xzxz IIII= （2）图形能够绕z轴稳定旋转的前提：z 轴过质心，且为主轴。 第一种解法（简单的解法） ：假设图形粘上钢珠后可以绕 z 轴转动，考虑惯性力的平衡，把对 称部分去掉后，只留下钢珠和右边的小圆，且小圆的直径为 r，质量为 0.5m。钢珠与小圆之间 2 分 2 分 2 分 2 分 位置 2 分 11 的连接为不计质量的杆。 z S1 S2 M m/2 r/2(x,z) z S1 S2 M m/2 r/2(x,z) 很明显，惯性力与 z 轴垂直，由惯性力矩平衡，钢珠必在 x 轴上，即 0z =。 由惯性力平衡： 12 0SS+= 2 11 221 ()Smr=， 2 2 SMx=