数列与不等式30大题(有答案).pdf_第1页
数列与不等式30大题(有答案).pdf_第2页
数列与不等式30大题(有答案).pdf_第3页
数列与不等式30大题(有答案).pdf_第4页
数列与不等式30大题(有答案).pdf_第5页
已阅读5页,还剩18页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

第 1页(共 23页) 数列与数列与不等式不等式综合问题综合问题 30 道道 1. 已知数列 an是等差数列,bn= a1+a2+an n (n = 1,2,3,)证明:数列 bn是等差数列 2. 已知曲线 C:xy = 1,过 C 上的点 Anxn,yn作斜率为 kn= 1 xn+2 的直线交曲线 C 于另一点 An+1xn+1,yn+1,点列 An的横坐标构成数列 xn,其中 x1= 11 7 (1) 求 xn与 xn+1的关系式; (2) 令 bn= 1 xn2 + 1 3,求证:数列 bn 是等比数列; (3) 若 cn= 3n tbn(t 为非零整数,n ?+),试确定 t 的值,使得对任意 n ?+,都有 cn+1 cn 成立 3. 设 n ?,xn是曲线 y = x2n+2+ 1 在点 1,2 处的切线与 x 轴交点的横坐标, (1) 求数列 xn的通项公式; (2) 记 Tn= x1 2x 3 2x 2n1 2 ,证明:Tn 1 4n 4. 已知数列 an满足 a1= 1 2,2an+1 an= 1 (1) 求数列 an的通项公式; (2) 证明:a1+a2+an n k 57 对一切 n ?+都成立 的最大正整数 k 的值 6. 已知数列 an是等比数列,首项 a1= 1,公比 q 0,其前 n 项和为 Sn,且 S1+ a1,S3+ a3, S2+ a2成等差数列 (1) 求数列 an的通项公式; (2) 若数列 bn满足 an+1= 1 2 anbn,T n为数列 bn 的前 n 项和,若 Tn m 恒成立,求 m 的最 大值 7. 已知 an是正整数组成的数列,a1= 1 ,且点( an,an+1)( n ?)在函数 y = x2+ 1 的图象上; (1) 求数列 an的通项公式; (2) 若数列 bn满足 b1= 1,bn+1= bn+ 2an,求证:bn bn+2 0,a1 a3,试比较 a5和 b5的大 小 11. 设数列 an的前 n 项和为 Sn,且 a1= 1,an+1= 1 + Snn ? (1) 求数列 an的通项公式; (2) 若数列 bn为等差数列,且 b1= a1,公差为 a2 a1当 n 3 时,比较 bn+1 与 1 + b1+ b2+ + bn的大小 12. 已知数列 an中,a1= 1,an+1= an an+3 n ? (1) 求证: 1 an + 1 2 是等比数列,并求 an的通项公式; (2) 设 bn= 3n 1 n 2n an,记其前 n 项和为 Tn,若不等式 2n1 2n1Tn+ n 对一切 n ? 恒成立,求 的取值范围 13. 已知数列 an的前 n 项和为 Sn,a1= 1,Sn= an+1 3,数列 bn的前 n 项和为 Tn,点 an,bn 在函数 y = nx1图象上 (1) 求数列 an的通项公式; (2) 求 Tn; (3) 试比较 Tn和 Bn= 5 2 n2 2n 的大小,并证明 14. 已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn,非常数等比数列 bn的公比是 q,且满足:a1= 2,b1= 1,S2= 3b2,a2= b3 (1) 求 an与 bn; (2) 设 cn= 2bn 3 an 2,若数列 cn 是递减数列,求实数 的取值范围 15. 某种汽车的购车费用是 10 万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为 0.9 万元,年维修费 用第一年是 0.2 万元,以后逐年递增 0.2 万元,问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最 小?最小值是多少? 16. 是否存在一个等差数列 an,使 Sn S2n 是一个与 n 无关的常数?若存在,求此常数;若不存在,请 说明理由 17. 函数 f x = 3x 2x+3,数列 an 满足 a1= 1,an+1= f an,n ?, (1) 求证:数列 1 an 是等差数列; (2) 令 bn= an1 ann 2 ,b1= 3,Sn= b1+ b2+ + bn,若 Sn m2003 2 对一切 n ?成立, 求最小正整数 m 18. 已知常数 p 满足 0 0 ,数列an满足 a1= b , an= nban1 an1+n1 n 2 (1) 求数列an的通项公式; 第 3页(共 23页) (2) 证明:对于一切正整数 n , 2an bn+1+ 1 20. 已知常数 p 满足 0 0,an 1 1+x 1 1+x 2 2 3n x ,n = 1,2,3 (3) 证明:n 2 5 a1+ a2+ + an n2 n+1 23. 在数列 an中,a1= 1,3anan1+ an an1= 0 n 2 (1) 证明数列 1 an 是等差数列; (2) 求数列 an的通项; (3) 若 an+ 1 an+1 对任意 n 2 的整数恒成立,求实数 的取值范围 24. 在数列 an中,a1= 1,3anan1+ an an1= 0(n 2) (1) 证明:数列 1 an 是等差数列; (2) 求数列 an的通项; (3) 若 an+ 1 an+1 对任意的整数恒成立,求实数 的取值范围 25. 已知数列 an中,a1= 1,a2= 1 4,且 an+1 = n1 an nan n = 2,3,4, (1) 求数列 an的通项公式; (2) 求证:对一切 n ?,有 a1 2 + a2 2 + + an 2 1,求证:Sn n 2 a1+ an,并给出等号成立的充要条件 29. 设数列 an定义为 a1= a,an+1= 1 + 1 a1+a2+an1,n 1 (1) 证明:存在正实数 a,使得 a1,a2,a3成等差数列; (2) 求实数 a 的取值范围,使得当 n 2 时,0 an cn恒成立,即 cn+1 cn= 3n+1 t 2 n+1 3n t 2 n = 2 3n+ 3t 2 n 0. 恒成立, 所以 1 nt 3 2 n1 恒成立, 当 n 为奇数时,t 3 2 所以 3 2 1 2 2 1 2 2 3 n 1 n = 1 4n . 综上可得,对任意的 n ?,均有 Tn 1 4n 4. (1) 由已知可得 2an+1 an= 1 = 2 1,所以 2an+1 2 = an 1,即 2 an+1 1 = an 1,所以 an+11 an1 = 1 2,又 a1 = 1 2,所以 a1 1 = 1 2 1 = 1 2, 所以数列 an 1 是以 1 2 为首项,1 2 为公比的等比数列, 所以 an 1 = 1 2 1 2 n1,所以 a n= 1 1 2 n (2) 证明:因为 a1+ a2+ + an= n 1 2 + 1 2 2 + + 1 2 n = n 1 2 1 2 1 2 n 1 1 2 = n 1 + 1 2 n . 所以 a1+a2+an n = 1 1 1 2 n n , 因为 n 是正整数, 所以 0 1 2 n 1,所以 0 k 57 即可,解得 k 0,所以 q = 1 2; 因为 a1= 1,所以 an= 1 2 n1 (2) 因为 an+1= 1 2 anbn, 所以 1 2 n = 1 2 anbn,所以 b n= n 2n1, 所以 Tn= 1 1 + 2 2 + 3 22+ + n 2n1, 所以 2Tn= 1 2 + 2 22+ 3 23+ + n 2n, 所以 得: Tn= 1 + 2 + 22+ + 2n1 n 2n= 12n 12 n 2n= 1 n 2n 1, 所以 Tn= 1 + n 1 2n, 因为 Tn m 恒成立,只需 Tn min m, 因为 Tn+1 Tn= n 2n+1 n 1 2n= n + 1 2n 0, 所以 Tn为递增数列,所以当 n = 1 时, Tn min= 1, 所以 m 1,所以 m 的最大值为 1 7. (1) 由已知得 an+1 an= 1 ,又 a1= 1 ,所以数列 an是以 1 为首项,公差为 1 的等差数列 故 an= 1 + n 1 1 = n (2) 证法一:由(1)知 an= n,从而 bn+1 bn= 2n bn= bn bn1+ bn1 bn2+ + b2 b1+ b1 = 2n1+ 2n2+ 2 + 1 = 1 2n 1 2 = 2n 1. 因为 bn bn+2 bn+1 2 = 2n 12n+2 1 2n+1 1 2 = 22n+2 2n+2 2n+ 1 22n+2 2 2n+1+ 1 = 5 2n+ 4 2n= 2n 0, 所以 bn bn+2 bn+1 2 . 证法二:因为 b2= 1,bn+1 2n+1= bn 2n, 第 8页(共 23页) bn bn+2 bn+1 2 = bn+1 2nbn+1+ 2n+1 bn+1 2 = 2n+1 bn+1 2n bn+1 2n 2n+1 = 2nbn+1 2n+1 = 2nbn 2n= = 2nb1 2 = 2n 0, x y 2 0所以 x+yxy 2 xy 0,所以 a + b 0, an an1= 2 n 2 an是公差 d = 2 的等差数列而 4a1= a1+ 1 2 a1= 1, an= 2n 1 (2) 由(1)知 Sn= 1+ 2n1 n 2 = n2, 1 S1 + 1 S2 + + 1 Sn = 1 12 + 1 22 + + 1 n2 1 n2 1 n n1 = 1 n1 1 n n 2 , ? 1 S1 + 1 S2 + + 1 Sn 0 所以 a5 b5 11. (1) 因为 an+1= 1 + Sn,? 第 9页(共 23页) 所以当 n 2 时,an= 1 + Sn1,? 由 两式相减,得 an+1 an= an,即 an+1= 2ann 2 , 因为当 n = 1 时,a2= 1 + a1= 2, 所以 a2 a1 = 2, 所以 an+1 an = 2 n ? 所以数列 an是首项为 1,公比为 2 的等比数列, 所以 an= 2n1 (2) 因为 bn= 1 + n 1 2 = 2n 1, 所以 bn+1= 2n + 1,1 + b1+ b2+ + bn= 1 + n 1+2n1 2 = n2+ 1, 因为 n2+ 1 2n + 1 = n n 2 , 由 n 3,得 n n 2 0, 所以当 n 3 时,bn+1 1 + b1+ b2+ + bn 12. (1) 证明:因为数列 an中,a1= 1,an+1= an an+3 n ?, 所以 1 an+1 + 1 2 = 3 1 an + 1 2 , 又 1 a1 + 1 2 = 3 2,所以 1 an + 1 2 是以 3 2 为首项,3 为公比的等比数列, 所以 1 an + 1 2 = 3 2 3n1= 3n 2 , 所以 an= 2 3n1 (2) 因为 bn= 3n 1 n 2n an= n 2n1, 所以 Tn= 1 1 20 + 2 1 2 + 3 1 22 + n 1 2n1 ,? 1 2 Tn= 1 1 2 + 2 1 22 + 3 1 23 + n 1 2n ,? -,得 1 2 Tn= 1 20 + 1 2 + 1 22 + 1 2n1 n 2n = 1 1 2n 1 1 2 n 2n = 2 n + 2 2n , 所以 Tn= 4 n+2 2n1, 因为不等式 2n1 2n1Tn+ n 对一切 n ?恒成立, 所以 Tn+ n 2n1 对一切 n ?恒成立, 所以 4 1 2n2 对一切 n ?恒成立, 设 g n = 4 1 2n2,则 g n 是递增函数, 所以 g 1 = 2所以 2 13. (1) 当 n = 1 时,S1= a2 3,所以 a2= 4; 第 10页(共 23页) 当 n 2 时,由 Sn= an+1 3,得 Sn1= an 3,两式作差,得 an= an+1 an, 即 an+1= 2an, 所以数列 an从第二项起是等比数列,所以 an= 1,n = 1, 4 2n2,n 2, an= 1,n = 1 2n,n 2. (2) 因为点 an,bn在直线 y = nx1上,所以 bn= n an = 1,n = 1, n 2n ,n 2. n = 1 时,T1= 1; n 2 时,因为 Tn= 1 + 2 22 + 3 23 + 4 24 + + n 2n ,? 所以 1 2 Tn= 1 2 + 2 23 + 3 24 + + n 2n+1 .? 由 得 1 2 Tn= 1 2 + 2 22 + 1 23 + + 1 2n n 2n+1 = 1 22 + 1 2 + 1 22 + + 1 2n n 2n+1 = 1 22 + 1 1 2 n n 2n+1 = 5 4 n + 2 2n+1 . 所以 n 2 时,Tn= 5 2 n+2 2n ,经检验,n = 1 时也成立 综上,Tn= 5 2 n+2 2n (3) Tn Bn= n+2 2n + n2 2n = n2n2 2n = n2n+1 2n , 所以 n = 1 时,T1 B1 Bn 14. (1) 设等差数列 an的公差为 d, 则 2 + a2= 3q,且 a2= q2, 即有 q2 3q + 2 = 0, 解得 q = 2 或 1(舍去), 即有 a2= 4,d = 2, 则 an= 2n;bn= 2n1 (2) cn= 2bn 3 an 2= 2n 3n, 由题意可得 cn+1 2 3 n 对 n ?恒成立, 由 f n = 2 3 n 为递减数列, 即有 f n 的最大值为 f 1 = 2 3, 则有 2 2 3,解得 1 3, 故实数 的取值范围为 1 3 , + 15. 设这种汽车使用 x 年时,它的年平均费用为 y 万元,则 y= 10 + 0.9x + 0.2 + 0.4 + 0.6 + + 0.2x x = 10 + 0.9x + 0.2+0.2x x 2 x = 0.1x2+ x + 10 x = 0.1x + 10 x + 1 3. 当且仅当 0.1x = 10 x ,即 x = 10 时 ymin= 3 因此,使用 10 年时,年平均费用最小,最小值是 3 万元 16. 假设存在一个等差数列 an,使 Sn S2n = k,且 a1为首项,d 为公差 由 Sn S2n = k,得 a1n + n n1 2 d 2a1n + 2n 2n1 2 d = k, 整理,得 d 1 4k n 2a1 d2k 1 = 0,? 式是关于 n 的一元一次方程,且对 n ?都成立 只需 d 1 4k = 0, 2a1 d2k 1 = 0, 即 d = 0, k = 1 2 或 d = 2a1, k = 1 4 . (i)当 d = 0 时, Sn S2n = 1 2; (ii)当 d = 2a1时, Sn S2n = 1 4 17. (1) 证明:由已知得 an+1= 3an 2an+3,两边取倒数得 1 an+1 = 1 an + 2 3,又 1 a1 = 1,所以 1 an 是首项为 1,公 差为 2 3 的 等差数列; (2) 由(1)得 1 an = 1 + 2 3 n 1 ,所以 an= 3 2n+1, 所以 bn= anan1= 9 2n12n+1 = 9 2 1 2n1 1 2n+1 n 2 所以 第 12页(共 23页) Sn= b1+ b2+ + bn = 3 + 9 2 1 3 1 5 + 1 5 1 7 + + 1 2n 1 1 2n + 1 = 3 + 9 2 2n 2 3 2n + 1 = 3 + 3 n 1 2n + 1 = 9 2 9 2 2n + 1 n 2 . 显然当 n 2 时,Sn单调递增且 Sn 9 2,又 S1 = 3,S2= 18 5 ,所以 3 Sn 0 因为 x2 x1= p2+ 1 p2 p + 1 p = p 1p 1 p2 , 而 0 p 1,所以 p 1 1 p2,所以 p 1 0,即 xn+1 xn 19. (1) 因为an= nban1 an1+n1 ,所以 an n = ban1 an1+ n 1 , 所以 n an = 1 b n 1 an1 + 1 b . 当b = 1 时, n an n 1 an1 = 1, 则 n an 是以 1 为首项, 1 为公差的等差数列,所以 n an = 1 + n 1 1 = n, 第 13页(共 23页) 即 an= 1; 当b 0 且 b 1 时, n an + 1 1 b = 1 b n 1 an1 + 1 1 b , 当 n = 1 时, 1 a1 + 1 1 b = 1 b 1 b , 所以 n an + 1 1b 是以 1 b 1b 为首项, 1 b 为公比的等比数列,所以 n an + 1 1 b = 1 1 b 1 b n , 所以 n an = 1 1 b bn 1 1 b = 1 bn 1 b bn , 所以 an= n 1 b bn 1 bn . 综上所述, an= n 1 b bn 1 bn ,b 0 且 b 1, 1,b = 1. (2) 当b = 1 时, 2an= bn+1+ 1 = 2; 当b 0 且 b 1 时, 1 bn= 1 b1 + b + + bn2+ bn1. 要证 2an bn+1+ 1 , 只需证 2n 1b bn 1bn bn+1+ 1 , 即证 2n 1 b 1 bn b + 1 bn , 即证 2n 1 + b + + bn2+ bn1 b + 1 bn , 即证 b + 1 bn 1 + b + + bn2+ bn1 2n, 即证 b + b2+ + bn1+ bn+ 1 bn + 1 bn1 + + 1 b2 + 1 b 2n. 因为 第 14页(共 23页) b + b2+ + bn1+ bn+ 1 bn + 1 bn1 + + 1 b2 + 1 b = b + 1 b + b2+ 1 b2 + + bn1+ 1 bn1 + bn+ 1 bn 2 b 1 b + 2 b2 1 b2 + + 2 bn1 1 bn1 + 2 bn 1 bn = 2n, 所以 原不等式成立,所以对于一切正整数 n , 2an bn+1+ 1. 20. (1) x2= x1 2 2 =p + 1 p 2 2 = p2+ 1 p2, x3= x2 2 2 = p2+ 1 p2 2 2 = p4+ 1 p4, x4= x2 2 2 = p4+ 1 p4 2 2 = p8+ 1 p8 (2) 猜想:xn= p2 n1 + 1 p2n1 下面用数学归纳法证明: 当 n = 1 时,x1= p + 1 p,结论成立, 假设当 n = k 时,结论成立,即 xk= p2 k1 + 1 p2k1; 当 n = k + 1 时,因为 xk+1= xk 2 2,所以 xk+1= p2 k1 + 1 p2k1 2 2 = p2 k + 1 p2k, 即 n = k + 1 时,结论成立, 所以 xn= p2 n1 + 1 p2n1 对 n ?成立 (3) 因为 xn+1= xn 2 2,xn= xn1 2 2, 所以 xn+1 xn= xn 2 xn1 2 = xn+ xn1xn xn1, 而由(2)知道,xn= p2 n1 + 1 p2n1 0, 所以 xn+1 xn的符号与 xn xn1的符号相同, 依次类推,我们只需要证明 x2 x1 0 因为 x2 x1= p2+ 1 p2 p + 1 p = p 1p 1 p2 , 而 0 p 1,所以 p 1 1 p2,所以 p 1 0,即 xn+1 xn 21. (1) 依题意有 2 0, 所以 M 最大 又 P Q = 24 + 3a 第 15页(共 23页) 当 2 a 8 时,P Q,lgP + 1 = lgQ,解得 a = 1 2,满足 lgM = 1 + lgQ 当 8 0,所以 bn= 2 an . 所以 bn1bn= 2 an1 2 an = 4 1 an1 1 an n 2 . 所以 Tn= 1 4 b1b2+ b2b3+ + bn1bn = 1 4 4 1 a1 1 a2 + 1 a2 1 a3 + + 1 an1 1 an = 1 a1 1 an = 1 1 2lg2 1 n 2lg2 = n 1 1 2lg2n 2lg2 n 2 . 22. (1) an+1= 3an 2an+1, 1 an+1 = 2 3 + 1 3an,即 1 an+1 1 = 1 3 1 an 1 , 又 1 a1 1 = 2 3 0, 1 an 1 是以 2 3 为首项,1 3 为公比的等比数列 1 an 1 = 2 3 1 3n1 = 2 3n, an= 3n 3n+2 (2) an 1 1+x 1 1+x 2 2 3n x = 3n 3n+2 1 1+x 1 1+x 2 2 3n x = 3n 2x243nx+4 3n+2 3n 1+x 2 = 3nx2 2 3n+2 3n 1+x 2 0. 第 16页(共 23页) (3) 由 an= 3n 3n+2 = 1 2 3n+2,知 a1 + a2+ + an= n 2 1 5 + 1 11 + + 1 3n+2 n 2 5, 当 n = 1 时等号成立 n 2 5 a1+ a2+ + an 由(2)知,对于任意 x 0,有 a1+ a2+ + an n 1+x 1 1+x 2 2 3 + 2 32 + + 2 3n nx , 取 x = 2 3+ 2 32+ 2 3n n = 2 3 1 1 3n n 11 3 = 1 n 1 1 3n , 则 a1+ a2+ + an n 1+1 n 1 1 3n = n2 n+1 1 3n n2 n+1 故 n 2 5 a1+ a2+ + an n2 n+1 23. (1) 由 3anan1+ an an1= 0 n 2 得, 1 an 1 an1 = 3 n 2 , 所以数列 1 an 是以 1 为首项,3 为公差的等差数列 (2) 由(1)可得, 1 an = 1 + 3 n 1 = 3n 2 . 所以 an= 1 3n2 (3) 由 an+ 1 an+1 对 n 2 的整数恒成立, 即 3n2 + 3n + 1 对 n 2 ( n ?)恒成立 整理得 3n+13n2 3 n1 ( n 2,n ?), 令 Cn= 3n+13n2 3 n1 , Cn+1 Cn= 3n + 43n + 1 3n 3n + 13n 2 3 n 1 = 3n + 13n 4 3n n 1 因为 n 2,所以 Cn+1 Cn 0, 所以 Cn为单调递增数列,C2最小,且 C2= 28 3 , 故 的取值范围为 , 28 3 . 24. (1) 将 3anan1+ an an1= 0(n 2)整理得 1 an 1 an1 = 3(n 2) 所以数列 1 an 是以 1 为首项、 3 为公差的等差数列 (2) 由(1)可得, 1 an = 1 + 3 n 1 = 3n 2,所以 an= 1 3n2 (3) an+ 1 an+1 对任意 n 2 的整数恒成立, 即 3n2 + 3n + 1 对任意 n 2 的整数恒成立, 整理得 3n+13n2 3 n1 ,令 cn= 3n+13n2 3 n1 , 则 cn+1 cn= 3n+43n+1 3n 3n+13n2 3 n1 = 3n+13n4 3n n1 因为 n 2,所以 cn+1 cn 0, 所以数列 cn为单调递增数列,所以 c2最小,c2= 28 3 第 17页(共 23页) 所以 的取值范围为 , 28 3 25. (1) 由已知,对 n 2 有 1 an+1 = nan n1 an = n n1 an 1 n1, 两边同除以 n,得 1 nan+1 = 1 n1 an 1 n n1 ,即 1 nan+1 1 n 1 an = 1 n 1 1 n , 于是 k=2 n1 1 kak+1 1 k 1 ak ?= k=2 n1 1 k 1 1 k ? = 1 1 n 1 , 即 1 n 1 an 1 a2 = 1 1 n 1 ,n 2, 所以 1 n 1 an = 1 a2 1 1 n 1 = 3n 2 n 1 , 所以 an= 1 3n 2 ,n 2. 又 n = 1 时也成立,故 an= 1 3n2 ,n ? (2) 当 k 2,有 ak 2 = 1 3k 2 2 1 3k 43k 1 = 1 3 1 3k 4 1 3k 1 , 所以 n 2 时,有 k=1 n ak 2 ?= 1 + k=2 n ak 2 ? 1 + 1 3 1 2 1 5 + 1 5 1 8 + + 1 3n 4 1 3n 1 = 1 + 1 3 1 2 1 3n 1 1 + 1 6 = 7 6 . 又 n = 1 时,a1 2 = 1 7 6,故对一切 n ? ,有 k=1 n ak 2 ? 0,故 an+11 2 an1 2 = 1 2an+1 1, 所以数列an 1 2 为单调递减数列 (2) 证明:因为 a1= 1,a2= 1 3,所以,当 n 3 时, an 1 2 1 6, 得 1 3 an 2 3, 故 an 1 3 n ? 因为 第 18页(共 23页) an+2an+1 an+1an = 2 2an+3 6 11, 故 an+1 an a2 a1 6 11 n1 所以 Sn a2 a1 1 6 11 n 1 6 11 22 15 5 3 n ? 27. (1) f x = aexcosx aexsinx =2aexcos x + 4 令 f x = 0,由 x 0,得 x + 4 = m 2,即 x = m 3 4 ,m ? 而对于 cos x + 4 ,当 k ? 时, 若 2k 2 x + 4 2k + 2,即 2k 3 4 x 0; 若 2k + 2 x + 4 2k + 3 2 ,即 2k + 4 x 0 ,则 g t = ett1 t2 ,由 g t = 0 得 t = 1 当 0 t 0,所以 g t 在 1, + 上单调递增 因为 x1 0,1 ,且当 n 2 时,xn 1, + ,xn 1 且 a2 0由(1)知 a1= 1,an= a2 n1,所以要证的不等式化为 1 + a2+ a2 2 + + a2 n1 n 2 1 + a2 n1 n 3 , 即证 1 + a2+ a2 2 + + a2 n n + 1 2 1 + a2 n n 2 , 当 a2= 1 时,上面不等式的等号成立 当 1 1 且 a2 1 时,总有 a2 r 1a2 nr 1 0,即 a2 r + a2 nr 1 + a2 n r = 1,2,n 1 , 上面不等式对 r 从 1 到 n 1 求和得 2 a2+ a2 2 + + a2 n1 n 11 + a2 n , 由此得 第 20页(共 23页) 1 + a2+ a2 2 + + a2 n 1 且 a2 0 时,有 Sn n 2 a1+ an,当且仅当 n = 1,2 或 a2= 1 时等号成立 证法二:当 n = 1 或 2 时,显然 Sn= n 2 a1+ an,等号成立 当 a2= 1 时,Sn= n = n 2 a1+ an,等号也成立 当 a2 1 时,由(1)知 Sn= 1a2 n 1a2,an = a2 n1下证: 1 a2 n 1 a2 1 且a2 1 , 当 1 a2 1 时,上面不等式化为 n 2 a2 n + na2 na2 n1 n 2 n 3 , 令 f a2= n 2 a2 n + na2 na2 n1, 当 1 a2 0,故 f a2= n 2 a2 n + na21 a2 n2 n 2 a2 n n 2, 即所要证的不等式成立 当 0 a2 0, 进而 f a2是 0,1 上的增函数,因此 f a2 1 时,令 b = 1 a2,则 0 b 0 时,有 2 a1 = a2+1 a2a+1,则 a 3 3a2+ 3a 3 = 0 第 21页(共 23页) 设 f a = a3 3a2+ 3a 3,则 f 2 = 1 0,f a = a3 3a2+ 3a 3 在 2,3 上有 零点 所以存在正实数 a 2,3 ,使得 a1,a2,a3成等差数列 (2) 由题意,有 an= 1 + 1 a1+a2+an11,则 1 an1 = a1+ a2+ + an1 1,显然 an 1 所以 a1+ a2+ an1= 1 + 1 an1 = an an1,n 2 当 n 2 时,an+1= 1 + 1 a1+a2+an1+an1 = 1 + 1 an an1+an1 = an 2 an 2an+1 0, 因为当 n 2 时,0 an 1,所以 a2= a a1 0,1 ,解得 a 0 下面证明当 a 0 时,对任意整数 n 2,有 0 an 1 an+1 an= an 2 an 2 an+ 1 an = anan 1 2 an 2 an+ 1 0, 所以 an+1 an,故当 n 2 时,数列 an递减 因此 an an1 a2 1,即当 a 0 时,对任意整数 n 2,有 0 an 1 30. (1) 因为 an+1= 3n+3 an+4n+6 n (n ?), 所以 nan+1= 3 n

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论