最新《教师资格证》数学基本公式整理.pdf

备注备注：整理得公式都是与讲义统一的，公式放在一起，方便大家 集中记忆。 ：整理得公式都是与讲义统一的，公式放在一起，方便大家 集中记忆。 常用的公式汇总常用的公式汇总 1. 平方差公式： （a+b） （a-b）=a2-b2。 2. 完全平方公式： （ab）2=a22ab+b2。 3. 立方和公式： （a+b） （a2-ab+b2）= a3+b3。 4. 立方差公式： （a-b） （a2+ab+b2）= a3-b3。 5. 完全立方公式： （ab）3=a33a2b+3ab2b3。 6. 如果一元二次方程ax2+bx+c=0 （x为未知数， a0） 的两个实数根是x1， x2， 那么x1+x2=- ， x1x2= 。若 x1+x2=m，x1x2=n，则以 x1，x2为根的一元二次方程是 x 2-mx+n=0。 7.指数公式 (1) a01(a0) (2) arasar s(r, sR, a0) (3) ( r, sR, a0) (4) (ab)rarbr( rR, a，b0) (5) (ar)sars(r, sR, a0) (6) a-r 1 (rR, a0) (7) ( rR, a0，sN*，s1) 8.对数公式 特殊：loga10, logaa1, loga1 1（a0 且 a1） 和式：loga(MN)logaMlogaN（a0 且 a1，M0，N0） 差式：loga logaMlogaN（a0 且 a1，M0，N0） 换底：logab （a0 且 a1，c0，且 c1；b0） 指系： logab（a0 且 a1，b0，m,nR，m0） 还原：log= log（a0 且 a1；x0） 教师资格证考试数学基本公式汇总教师资格证考试数学基本公式汇总 倒数：logab 1 （a0 且 a1， b0 且 b1） 9.三角函数的基础公式 sin2cos21 tan tancot1 10.和差公式 （1）sin()sincoscossin （2） cos()coscossinsin （3）tan() 1 11.倍角公式 （1）sin22sincos （2）cos2cos2sin22cos2112sin2 （3）tan2 2 12 12.正弦定理 在ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，R 为ABC 的外接圆的半径， 则有 2。 三角形的面积公式：SABC 1 2bcsinA 1 2acsinB 1 2absinC 13.余弦定理 在ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，有 a2b2c22bccosA，b2 a2c22accosB，c2a2b22abcosC 推论：cosA 222 2 ，cosB 222 2 ，cosC 222 2 14. 均值不等式 若 a，b ，22 2，当且仅当 a=b 时，等号成立 若 a0，b0，则 2 ，当且仅当 a=b 时，等号成立。 这里 a，b 均为正数，称 2 为正数 a，b 的算术平均数，称为正数 a，b 的几何平均 数，即两个整数的算术平均数不小于（大于等于）它们的几何平均数。 若 a，b，c ，则 + 3 3 ，当且仅当 a=b=c 时，等号成立。 15. 柯西不等式 若 a，b，c，d ，都是实数，则(2+ 2)(2+ 2) ( + )2，当且仅当 ad=bc 时，等号成立。 16.复数的运算 1.加减运算：(abi) (cdi)(ac)(bd)i 2.乘法运算：(abi) (cdi)(acbd)(adbc)i 3.除法运算：(abi)(cdi) 22 22 (cdi0) 4.i 的幂运算：i4n1，i4n 11，i4n21，i4n3i(nN) 17.复数方程 实系数方程 ax2+bx+c=0（a0）在复数范围内求根： 当判别式 0 时，有一对实根 x1,2= 24 2 ； 当判别式 =0 时，有一对相等的实根 x1,2= 2； 当判别式 0) ( 2 , 2) r 22 4 2 参数方程 cos sin (a，b) r 37.排列数公式： = ( 1)( 2)( + 1) 个相乘 = ! ()!(m, nN, mn) 如5 3 = 5 4 3 = 5! (53)! 38.组合数公式： n(n1)(nm1) (1)21 ! ()!(m, nN, mn)，如5 3=5 3 3 3= 543 321。 39.组合数性质 ，规定01。 40.二项式定理 (ab)n 0an1an-1ban-rbrbn(n，rN*)，其中组合数叫做第(r 1)项的二项式系数； 展开式共有(n1)项， 其中第(r1)项 Tr1 an-rbr(r0,1,2,n)称为二 项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项。 41.等可能事件的概率 （1）几何概率：每个事件发生的概率只与构成事件区域的几何度量（面积或体积）成 正比。 P（A） 构成事件 A 的区域的几何度量（长度、面积或体积） 试验所有可能结果构成的区域的几何度量（长度、面积或体积） 42.等可能事件的概率 特点：所有基本事件有限个；每个基本事件发生的可能性都相等 概率公式：P（A）包含的基本事件的个数 基本事件的总数 43.古典概型概率的求法 一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率为 P（A） 44.如果事件 A 和 B 互斥，则 P（A+B）P（A）P（B） （加法公式） 。 45.如果 A 和 B 对立 ，则：P（A）1P（B） 。 46. 条件概率 P（B|）=() () ，为在事件 A 发生条件下，事件 B 发生的概率。 47. 独立事件概率 P（AB）=P(A)P（B|）=P（A）P（B） 。 48. n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 在 n 次重复试验中，试验成功的次数是一个随机变量，用 来表示，事件发生的概率是 p，则在 n 次试验中恰好成功 k 次的概率为：P（k） pk(1-p)n-k。 49.两点分布 如果随机变量 X 的分布列为 X 0 1 P 1-p p 则称 X 服从两点分布，并称 p=P(X=1)为成功概率。 50.二项分布 n 次独立重复试验中， 事件 A 发生的次数 是一个随机变量， 其所有可能的取值为 0、 1、 2、n，并且 Pk=P（k） pkqn-k，其中 0kn，q=1-p，随机变量 的分布列如下： 0 1 k n P 0p0qn 1p1qn-1 pkqn-k pnq0 称这样的随机变量 服从二项分布，记作 B(n, p)，并称 p 为成功概率，其中 n、p 为 参数，并记 pk(1p)n-k=b(k，n，p)。 51. 超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中含有次品数记为 ，则事件k发生 的概率为 P（k） （k1,2,l,lmin(n, M)，且 nN，MN，n，M，NN*） ， 其分布如下表所示： 0 1 l P 0 11 称这样的随机变量 服从超几何分布， 记作 H(n， M， N )， 并将 P （k） 记为 H(k；n，M，N )。 52.期望=平均数 1 (x1x2xn) 53.方差： s21 (x1 ) 2(x 2 ) 2(x n ) 2 54.标准差系数（离散系数） ：= 55.离散型随机变量的期望 E()p1x1p2x2pnxn为 的数学期望或平均数、均值，简称为期望。 E(X) = =1 若 =a+b，其中 a，b 为常数，则 也是随机变量，且 E()=E(a+b)=aE+b。 随机变量期望的性质： E(c)=c(c 为常数) E(cX)=cE(X) E(X Y)=E(X) E(Y) ( =1 ) = () =1 若 X，Y 相互独立，则 E(XY)=E(X) E(Y)。 56.离散型随机变量的方差 D()p1(x1E()2 p2(x2E()2pi(xiE()2+ pn(xnE()2为随机变量 的方差。 若 =a+b，其中 a，b 为常数，则 也是随机变量，且 D()=D(a+b)=a2D。 随机变量方差的性质： D(X) = , ()-2 =1 = E*, ()-2 + D(c)=0(c 为常数) D(cX)=c2D(X) (c 为常数) D(X+c)=D(X) (c 为常数) 若 X，Y 相互独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y) D(X)=E(X2)-E(X)2 57.随机变量的分布函数 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数， 函数 F(x)=PXx， x ,称为 X 的分布函数。 对于任意实数 1， 2( 1 2)， 有P* 1 2= P* 2+ P* 1+=F( 2) ( 1)。 也就是，只要知道 X 的分布函数，我们就知道 X 落在任一区间( 1, 2-上的概率。 F(x)具有以下性质： 1. F(x)是一个不减函数。对于任意实数 1， 2( 1 2)， 有F( 2) ( 1)= P* 1 2+ 。 2.0F(x)1 且F() = lim( ) = , F() = lim( ) = 1 3. ( + ) = ( )即( )右连续。 58.如果对于随机变量 X 的分布函数( )，存在非负可积函数( )，对于任意实数 x 有 ( ) = () ，则称 X 为连续型随机变量， ( )称为 X 的概率密度函数，简称密度概率。 概率密度函数( )具有以下性质： 1. ( ) 2. ( ) =1 3. 对于任意实数 1， 2( 1 2)，有P* 1 2=F( 2) ( 1 )= ( ) 2 1 4.若( )在点 x 处连续，则有( ) = ( ) 59.设连续型随机变量的概率密度为，若积分绝对收敛，则称积分 的值为随机变量的数学期望。记为。即。 数学期望简称期望，又称均值。 对于连续型随机变量有，其中是的概率密度。 例：设随机变量 X 具有概率密度( ) = 3 2 2 3 4 其他 （1）确定常数 k;（2）求 X 的分布函数 F(x)；求P*1 7 2+ 解：由( ) =1，得 3 0 + .2 2/ = 1 4 3 ，解得 k=1 6，于是 X 具有概率密度( ) = 1 6 3 2 2 3 4 其他 （2）X 的分布函数( ) = 1 6 0 3 1 6 3 0 + .2 2/ 3 3 4 1 4 即( ) = 2 12 3 3 + 2 2 4 3 N 时，有| | 。 65.函数极限 （1）自变量趋于有限值时函数的极限 设函数( )在点 0的某一去心邻域内有定义， 如果存在常数 A， 对任意给定的正数 （不 论它多么小） ， 总存在正数 ， 当 | 0| ，对任意的，有|( ) | 时，对应的函数值( )都满足 不等式|( ) | ， ，当| | 时，有|( ) | 0 和 0，使得当 | 0| 0 （或A0， 使得当 | 0| （或( ) ,当 0， 使得对任一x ,-， 满足|( )| ；且至少有一点 ，使 f()是 f(x)在a，b上的最大值；又至少有一点 ，使 f()是 f(x)在a，b上的最小值。 有界性定理：闭区间上连续函数在该区间上必有界。 定理 2 （零点定理） ： 设函数 f(x)在闭区间a， b上连续， 且 f(a)与 f(b)异号 （即 f(a) f(b)0） ， 则在开区间（a，b）内至少有一点 ，使 f()=0。 定理 3（介值定理） ：设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且在这区间的端点取不同的函 数值 f(a)=A 及 f(b)=B 则对于 A 与 B 之间的任意一个数 C，在开区间（a，b）内至少有一点 ，使得 f()=C（a0 且 a1），特别地，(lnx)= 1 5. （sinx）cosx （cosx）sinx （tanx）sec2x （cotx）csc2x （secx）tanxsecx （cscx）cotxcscx 6（arcsinx） 1 12 （arccosx）- 1 12 （arctanx） 1 12 （arccotx） 1 12 83.求导法则 函数的和、差、积、商的求导法则 定理：设 uu(x)，vv(x)都可导，则 （1）u(x) v(x) u(x) v(x)； （2）u(x) v(x) u(x) v(x) u(x) v(x)，特别地，Cu(x) Cu(x)； （3）0() ()1 ()()()() 2() （v（x）0）。 84.反函数求导法则 反函数的导数等于原函数导数的倒数。 85.复合函数的求导法则 函数对自变量的导数等于函数对中间变量的导数乘中间变量对自变量的导数。 86.隐函数求导 （1）隐函数的概念 由二元方程 F（x,y）0 所确定的函数称为隐函数。 （2）隐函数的求导法 例：求由方程+xy-e=0 所确定的隐函数的导数 。 解：把方程两边分别对 x 求导数，注意 y=y(x)。方程左边对 x 求导得 ( + ) = +y+ ， 方程右边对 x 求导得(0)=0。 由于等式两边对 x 的导数相等，所以 +y+ =0， 从而 = +(x+ )。 在这个结果中，分式中的 y=y(x)是由方程+xy-e=0 所确定的隐函数。 87. 由参数方程所确定的函数的导数 一般地，若参数方程 = () = (t)，确定 y 与 x 间的函数关系，则称此函数关系所表达的 函数为由参数方程所确定的函数。 要计算这个参数方程所确定的 x 的函数的导数，假设函数 = ()、 = (t)都是可导的，而且 (t) 0。则 = =() ()。 88.切线方程与法线方程 函数( )在点 0处的导数 ( 0)在几何上表示曲线 ( )在点( 0，( 0)处的切线的 斜率，即 ( 0)切。 若 ( 0) = ，则在点( 0，( 0)处的切线垂直于 轴； 曲线 ( )在点( 0，( 0)处的切线方程为 ( 0) ( 0)( 0)； 曲线 ( )在点( 0，( 0)处的法线方程为 ( 0) 1 (0)( 0)。 89.函数单调性的判定 设函数 y=f(x)在a，b上连续，在（a，b）内可导。 （1）如果在（a，b）内 f(x)0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数 y=f(x)在a， b上单调增加； （2）如果在（a，b）内 f(x)0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数 y=f(x)在a， b上单调减少； 90. 求函数最值的方法 极值与区间端点处的函数值比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。 91.曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点 设 f(x)在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点 x1，x2恒有.1+2 2 / (1)+(2) 2 ，那么称 f(x)在 I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）. 如果函数 f(x)在 I 内具有二阶导数， 那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性， 设 f(x)在a，b上连续，在（a，b）内具有一阶和二阶导数，那么 （1）如果在（a，b）内 f(x)0，那么函数 f(x)在a，b上的图形是凹的； （2）如果在（a，b）内 f(x)0(i=1,2,3,n)， = 1， =1 有( ) ( ) =1 。 =1 一般地，设 y=f(x)在区间 I 上连续，x0是 I 内的点。如果曲线 y=f(x)在经过点（x0，f(x0)） 时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点（x0，f(x0)）为这曲线的拐点。 93.可以按照如下的步骤来判定区间 I 上的连续曲线 y=f(x)的拐点： （1）求 f(x)； （2）令 f(x)=0，解出这方程在区间 I 内的实根，并求出在区间 I 内 f(x)不存在的点； （3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点 x0，检查 f(x)在 x0左、右 两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点（x0，f(x0)）是拐点，当两侧的符号相同时， 点（x0，f(x0)）不是拐点。 94.微分和导数的关系 d ( ) = = ( )d 95.罗尔定理罗尔定理 如果函数( )满足： （1）在闭区间a，b上连续； （2）在开区间（a，b）内可导； （3） 在区间端点处的函数值相等， 即 f(a)=f(b)， 那么在 （a， b） 内至少有一点 (am。因为 f(a)=f(b)，所以 M 和 m 这两个数中至少有一个不等于( )在区间a，b 的端点处的函数值，为确定起见，不妨设 Mf(a)，那么必定在开区间（a，b）内有一点使 () = 。因此任取 x(a，b)，有( ) ()，从而由费马引理可知 () = 。 96.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数( )满足： （1）在闭区间a，b上连续； （2）在开区间（a，b）内可导； 那么在（a，b）内至少有一点 (ab)，使得 f(a)-f(b)= ()(a-b) 证明：引进辅助函数( ) = ( ) () ()() ( )，容易验证函数( )适 合罗尔定理的条件： () = () =0， 又因为( )在闭区间,-上连续， 在开区间(,) 内可导，且,( ) = ,( ) ()() 。 根据罗尔定理，可知在(,)内至少有一点( )，使得,() = ，即 ,() () () = 由此得()() = ,() 即()() = ,()( ) 定理证毕。 97.柯西中值定理柯西中值定理 如果函数( )及 F(x)满足： （1）在闭区间a，b上连续； （2）在开区间（a，b）内可导； （3） 对任一 x （a， b） ， F(x) 0， 那么在 （a， b） 内至少有一点 ， 使等式()() ()() = () ()。 定理证明： 证： 首先注意到() () 。 这是由于() () = ()( )， 其中 ， 根据假定 () ，又 b-a0，所以() () 。 设辅助函数( ) = ( ) ()() ()()( )， 显然，( )在闭区间a，b上连续，在开区间（a，b）内可导，且 () = () ()() ()()()= (),()()-,()()-() ()() = ()()()() ()() () = () ()() ()()()= (),()()-,()()-() ()() = ()()()() ()() 所以() = () = ()()()() ()() 故( )适合罗尔定理的条件，因此在（a，b）内至少有一点，使 () = () ()() ()() () = ，由此得 ()() ()() = () ()。 定理证毕。 98.泰勒公式 （3）经常用到的几种特殊的麦克劳林公式）经常用到的几种特殊的麦克劳林公式 = 1 + + 2 2! + + ! + (+1)! +1, 1, (,+) sin = 3 3! + 5 5! + (1)1 21 (21)! + (1) (2+1)! 2+1, 1 cosx= 1 2 2! + 4 4! + (1) 2 (2)! + (1) (2+2)! 2+2, 1 （4）泰勒公式的应用 泰勒公式可以应用于近似计算、估计误差、求函数极限等。 99.不定积分的性质 设函数( )及( )的原函数存在，则 性质 1：( )( ) ( ) ( ) 性质 2：( ) ( ) ， （k 为常数，k0） 100.不定积分的常用公式不定积分的常用公式 （1） (k 为常数)， 。 （2） dx= +1 +1+C(-1)， 1 | |。 （3） = + ， 。 （4） ， = + ， 1 2 = 2 = + ， 1 sin2 = 2 = + ， = + ， = + 。 （5） 1 12 = + ， 1 1+2 = + 101.第一类换元积分法第一类换元积分法（凑微分法）（凑微分法） 设F（u）为f(u)的原函数，u(x)可微，则 ,( )-( ) ,()-(),( )-，该式称为第一类换元积分公式。 102. 第二类换元积分法第二类换元积分法 设 x(t)是单调的可导函数，且在区间内部有 (t) 0，又设,()-() 具有原函 数，则 ( ) ,()-()-= ()（其中t = ( )为 x(t)的反函数） 。该式称 为第二类换元积分公式。 103. 分部积分法分部积分法 = 或 = (反、对、幂、三、指) 定理 1：设( )在区间a，b上连续，则( )在a，b上可积。 定理 2：设( )在区间a，b上有界，且只有有限个间断点，则( )在a，b上可积。 104. 几何意义 当( ) 时， ( ) 当( ) 时， ( ) 105 定积分的性质 性质 1：由定积分的定义，直接求定积分的值，往往比较复杂，但易推证定积分具有下 述性质，其中所涉及的函数在讨论的区间上都是可积的。 ( ) ( ) ； ,( ) ( )- ( ) ( ) ； (，)， ( ) ( ) ( ) ； ( ) (c 为常数)。 性质 2（积分的保序性） ：如果在区间a，b上恒有 f(x)g(x)，则 ( ) ( ) 。 性质 3（积分估值定理） ：如果函数( )在区间a，b上有最大值 M 和最小值 m，则 ( ) ( ) ( ) 。 性质 4 (积分中值定理)：如果函数( )在积分区间a，b上连续,则在a，b上至少有一 点 ，使得 ( ) = ()( )， (，). 性质 5 (对称区间上奇偶函数的积分性质)：设( )在对称区间-a，a上连续，则有： 如果( )为奇函数，则( ) = ； 如果( )为偶函数，则( ) = 2 ( ) . 0 106.牛顿莱布尼兹公式 如果函数( )在区间a，b上连续，且 F(x)是( )任意的一个原函数，那么 ( ) ( )| () () 上述公式称为牛顿莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式，又称为微积分基本公式。 107.积分上限函数及其导数积分上限函数及其导数 如果函数 f(x)在区间a，b上连续，那么积分上限的函数( ) = () 在a，b上可 导，并且它的导数( ) = () = ( ) (axb)。 如果函数 f(x)在区间a，b上连续，那么函数( ) = () 就是 f(x)在a，b上的一 个原函数。 108.换元积分法 设函数( )在区间a，b上连续，并且满足下列条件： x(t)，且 a()，b ()； (t)在区间, 上单调且有连续的导数 (t)； 当 t 从 变到 时， 从 a 单调地变到 b。则有 ( ) ,()-() 。 109.定积分的运用定积分的运用 由曲线 y=y2(x)与 y=y1(x)及 x=a，x=b(y2(x) y1(x) )围成的平面图形的面积 A= , 2( ) 1( )- 。 由曲线 x=x2(y)与 x=x1(y)及 y=c，y=d(x2(y) x1(y)围成的平面图形的面积 A= , 2( ) 1( )- 。 110. 求旋转体的体积 由连续曲线 y=f(x)、 直线 x=a、 x=b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体 的体积为 V= ,( )-2 。 由曲线 y=y2(x)，y=y1(x)，x=a，x=b(y2(x) y1(x) 0)围成的图形绕 x 轴旋转一周所成的旋 转体体积为 V= , 2 2( ) 12( )- ， （aa0，y2(x) y1(x) 0)围成的图形绕 y 轴旋转一周 所成的旋转体体积 V= 2 , 2( ) 1( )- 111. 求平面曲线的弧长 设曲线弧由参数方程 = () = ()， （t）给出，其中()，()在，上具有连续导 数，且 ()， ()，不同时为零。现在计算这曲线弧的长度。于是所求弧长为 s= 2() +