概率论与数理统计习题 二解析【哈工大版】.pdf

习 题 二 1假设一批产品中一、二、三等品各占 60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不 是三等品，求它是一等品的概率. 解 设 i A 任取一件是i等品 1, 2, 3i ， 所求概率为 13 13 3 () (|) () P A A P AA P A ， 因为 312 AAA 所以 312 ()()()0.60.30.9P AP AP A 131 ()()0.6P A AP A 故 13 62 (|) 93 P AA. 2 设 10 件产品中有 4 件不合格品， 从中任取两件， 已知所取两件中有一件是不合格品， 求另一件也是不合格品的概率. 解 设A 所取两件中有一件是不合格品 i B 所取两件中恰有i件不合格 1, 2.i 则 12 ABB 112 464 12 22 1010 ( )()() C CC P AP BP B CC ， 所求概率为 2 24 2 112 464 ()1 (|) ( )5 P BC P BA P AC CC . 3袋中有 5 只白球 6 只黑球，从袋中一次取出 3 个球，发现都是同一颜色，求这颜色 是黑色的概率. 解 设A 发现是同一颜色 ，B 全是白色 ，C 全是黑色 ，则 ABC， 所求概率为 33 611 3333 611511 /()( )2 (|) ( )()/3 CCP ACP C P C A P AP BCCCCC 4从 52 张朴克牌中任意抽取 5 张，求在至少有 3 张黑桃的条件下，5 张都是黑桃的概 率. 解 设A 至少有 3 张黑桃 ， i B 5 张中恰有i张黑桃 ，3,4,5i ， 则 345 ABBB， 所求概率为 55 5 345 ()() (|) ( )() P ABP B P BA P AP BBB 5 13 32415 1339133913 9 1686 C C CC CC . 5设( )0.5,( )0.6,(|)0.8P AP BP B A求()P AB与()P BA. 解 ()( )( )()1.1( ) ( |)1.1 0.40.7P ABP AP BP ABP A P B A ()( )()0.60.40.2P BAP BP AB. 6甲袋中有 3 个白球 2 个黑球，乙袋中有 4 个白球 4 个黑球，今从甲袋中任取 2 球放 入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。 解 设A 从乙袋中取出的是白球 ， i B 从甲袋中取出的两球恰有i个白球 0,1,2i . 由全概公式 001122 ( )() (|)() (|)() (|)P AP BP A BP BP A BP BP A B 1122 3232 222 555 41613 1021025 C CCC CCC . 7一个盒子中装有 15 个乒乓球，其中 9 个新球，在第一次比赛时任意抽取 3 只，比赛 后仍放回原盒中； 在第二次比赛时同样地任取 3 只球， 求第二次取出的 3 个球均为新球的概 率。 解 设A 第二次取出的均为新球 ， i B 第一次取出的 3 个球恰有i个新球0, 1, 2, 3.i 由全概公式 00112233 ( )() ( |)() ( |)() ( |)() ( |)P AP B P A BP B P A BP B P A BP B P A B 3312321333 6996896796 33333333 1515151515151515 CCC CCC CCCC CCCCCCCC 528 0.089 5915 . 8电报发射台发出 和的比例为 5:3，由于干扰，传送（ ）时失真的概率为 2/5，传送时失真的概率为 1/3，求接受台收到 时发出信号恰是 的概率。 解 设A 收到 ，B 发出 ， 由贝叶斯公式 5 3 ( ) (|)3 8 5 (|) 5 33 1 ( ) (|)( ) (|)4 8 58 3 P B P A B P B A P B P A BP B P A B . 9在第 6 题中，已知从乙袋中取得的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑的概 率. 解 事件如第 6 题所设，所求概率为 112 325 11 1 1 / () (|)15 2 (|) 13 ( )26 25 C CC P BP A B P BA P A 10已知一批产品中 96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率 是 0.02， 一个次品被误认为是合格品的概率是 0.05， 求在检查后认为是合格品的产品确是合 格品的概率。 解 设A 任取一产品，经检查是合格品 ， B 任取一产品确是合格品 ， 则 ABABA ( )( ) (|)( ) (|)P AP B P A BP B P A B 0.96 0.980.04 0.050.9428， 所求概率为 ( ) (|)0.96 0.98 (|)0.998 ( )0.9428 P B P A B P B A P A . 11假设有两箱同种零件：第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品；第二箱内装 30 件其 中 18 件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的 零件均不放回） ，试求： （1）先取出的零件是一等品的概率； （2）在先取的零件是一等品的 条件下，第二次取出的零件仍然是一等的概率. 解 设 i A 第i次取出的零件是一等品 ，1,2i . i B 取到第i箱 ，1,2i . 则 （1） 1111212 ()() (|)() (|)P AP BP ABP BP AB 1 132 () 2 555 . （2） 12121122 21 11 ()() (|) ()() P A AP A A BA A B P AA P AP A 11212122 1 () (|)() (|) () P BP A ABP BP A AB P A 22 1018 22 5030 1 2 951 40.4856 2 4929 5 CC CC . 12 玻璃杯成箱出售， 每箱 20 只， 假设各箱含 0，1， 2 只残次品的概率分别为 0.8，0.1， 0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品， 则买下该箱，否则退回。试求： （1）顾客买下该箱的概率； （2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率. 解 设A 顾客买下该箱 ， B 箱中恰有i件残次品 ，0,1,2i ， （1） 001122 ( )() (|)() (|)() (|)P AP BP A BP BP A BP BP A B 44 1918 44 2020 0.80.10.10.94 CC CC ； （2） 0 0 ()0.8 (|)0.85 ( )0.94 P AB P BA P A . 13设有来自三个地区的各 10 名，15 名和 25 名考生的报名表，其中女生报名表分别 为 3 份、7 份和 5 份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份 （1）求先取到的一份为女生表的概率p； （2）已知后取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. 解 设A 先取到的是女生表 ， B 后取到的是男生表 ， i C 取到第i个地区的表 ，1,2,3.i （1） 112233 () (|)() (|)() (|)pP CP A CP CP A CP CP A C 137529 3 10152590 ； （2）因为先取出的是女生表的概率为 29 90 ，所以先取出的是男生表的概率为 61 90 ，按抓 阄问题的道理，后取的是男生表的概率 61 ( ) 90 P B . 于是 （2） 123 ()() (|) ( )( ) P ABCABCABCP AB qP A B P BP B 123 1 ( |)(|)(|) 3 ( ) P AB CP AB CP AB C P B 13778520 203 10 915 1425 24 61 61 90 . 14一袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中 任取一枚，已知将它投掷r次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？ 解 设A 任取一枚硬币掷r次得r个国徽 ， B 任取一枚硬币是正品 ， 则 ABABA， 所求概率为 ( ) (|) (|) ( ) (|)( ) (|) P B P A B P B A P B P A BP B P A B 1 2 2 1 2 r rr m mmn mn mn mnmn . 15甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为 0.6 和 0.5，现已知目标 被击中，求甲击中的概率. 解 设A 目标被击中 ， i B 第i个人击中 1,2,i 所求概率为 111 1 1212 ()()() (|) ( )()1() P B AP BP B P BA P AP BBP B B 0.6 0.75 10.4 0.5 . 16三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是 1 1 1 , 5 3 4 ，求他们将此密码译 出的概率. 解1 设A 将密码译出 ， i B 第i个人译出 1,2,3.i 则 1231231213 ( )()()()()()()P AP BBBP BP BP BP B BP B B 23123 111111111 ()() 534535434 P B BP B B B 1113 0.6 5345 . 解2 事件如上所设，则 123 4233 ( )1( )1()10.6 5345 P AP AP B B B . 17甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为 0.4，0.5，0.7。设飞机 中一弹而被击落的概率为 0.2，中两弹而被击落的概率为 0.6，中三弹必然被击落，今三人各 射击一次，求飞机被击落的概率. 解 设A 飞机被击落 ， i B 飞机中i弹 1,2,3i . 则 112233 ( )() (|)() (|)() (|)P AP BP A BP BP A BP BP A B 123 0.2 ()0.6 ()()P BP BP B 设 i C 第i个人命中 ，1,2,3i ，则 1123123123 ()()()()P BP C C CP C C CP C C C 0.4 0.5 0.30.6 0.5 0.70.6 0.5 0.30.36， 212323123 ()()()()P BP C C CP CC CP C C C 0.4 0.5 0.30.4 0.5 0.70.6 0.5 0.70.41， 3123 ()()0.4 0.5 0.70.14P BP C C C， 所以 ( )0.2 0.360.6 0.410.140.458P A . 18某考生想借一本书，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的 概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求 该生能借到此书的概率. 解1 设A 该生能借到此书 ， i B 从第i馆借到1,2,3.i 则 123 ()()()P BP BP BP(第i馆有此书且能借到) 1 11 2 24 ， 121323 111 ()()(), 4416 P B BP B BP B B 123 1 1 11 () 4 4 464 P B B B. 于是 1231231213 ( )()()()()()()P AP BBBP BP BP BP B BP B B 23123 33137 ()() 4166464 P B BP B B B. 解2 3 123 337 ( )1( )1()1 464 P AP AP B B B . 解3 事件如解 1 所设，则 112123 ABB BB B B， 故 112123 ( )()()()P AP BP B BP B B B 13133137 44444464 . 19设( )0,( )0P AP B，证明A、B互不相容与A、B相互独立不能同时成立. 证 若A、B互不相容，则AB，于是()0( ) ( )0P ABP A P B所以A、B不 相互独立. 若A、B相互独立，则()( ) ( )0P ABP A P B，于是AB，即A、B不是互不 相容的. 注：从上面的证明可得到如下结论： 1）若A、B互不相容，则A、B又是相互独立的( )0P A或( )0P B . 2）因ABABA，所以( )()()P AP BAP BA 如果 ( )1P B ，则()0P BA ，从而 ()( )( ) ( )P ABP AP A P B 可见概率是 1 的事件与任意事件独立，自然，必然事件与任意事件独立. 如果( )0P B ，则()0( ) ( )P ABP A P B，即概率是零的事件与任意事件独立，自 然，不可能事件与任何事件独立。 20证明若三事件, ,A B C相互独立，则AB及AB都与C独立。 证 () ()()()()PAB CP ACBCP ACP BCp ABC ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )P B P CP B P CP A P B P C ( )( )() ( )P AP BP AB P C () ( )P AB P C 即AB与C独立. () ()( ) ( ) ( )() ( )PAB CP ABCP A P B P CP AB P C () ( )P AB P C 即 AB与C相互独立. 21一个教室里有 4 名一年级男生，6 名一年级女生，6 名二年级男生，若干名二年级 女生，为要我们在随机地选择一名学生时，性别和年级是相互独立的，教室里的二年级女生 应为多少名？ 解 设还应有N名二年级女生，A 任选一名学生为男生 ，B 任选一名学生为 一年级 ，则 10 ( ) 16 P A N ， 10 ( ) 16 P B N ， 1044 () 16 1016 P AB NN ， 欲性别和年级相互独立，即 ()( ) ( )P ABP A P B， 41010 161616NNN 所以9N ，即教室里的二年级女生应为 9 名。 22图中 1，2，3，4，5 表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率均为p， 且设各继电器闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率. 解 设A LR是通路 ， i B 第i个接点闭合 1,2,3,4,5i ，则 1245135432 AB BB BB B BB B B 124513543223451234 ( )()()()()()()P AP B BP B BP B B BP B B BP B B B BP B B B B 12451235134512345 ()()()()P B B B BP B B B BP B B B BP B B B B B 123451234512345 ()()()P B B B B BP B B B B BP B B B B B 2345 1234512345 ()()2252.P B B B B BP B B B B Bpppp 23一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 80/81，求该射 手的命中率。 解 设该射手的命中率为p，由题意 4 80 1 (1) 81 p ， 4 1 (1) 81 p， 1 1 3 p 所以 2 3 p . L 1 4 5 3 2 R 24设一批晶体管的次品率为 0.01，今从这批晶体管中抽取 4 个，求其中恰有一个次品 和恰有两个次品的概率。 解 13 44 (1)(0.01)(0.99)0.0388PC. 222 44 (2)(0.01) (0.99)0.000588PC. 25考试时有四道选择题，每题附有 4 个答案，其中只有一个是正确的。一个考生随意 地选择每题的答案，求他至少答对三道题的概率。 解 答对每道题的概率为 1 4 ，所求概率为 34 3 444 13113 (3)(4) 444256 PPC . 26设在伯努里试验中，成功的概率为p，求第n次试验时得到第r次成功的概率. 解 设A 第n次试验时得到第r次成功 ，则 A 前1n次试验，成功1r 次，第n次试验出现成功 ， 所以 ( )P AP（前1n次试验，成功1r 次）P（第n次试验成功） 111 11 (1)(1) rrn rrrn r nn CpppCpp . 27设一厂家生产的每台仪器，以概率 0.7 可以直接出厂，以概率 0.3 需进一步调试， 经调试后以概率 0.8 可以出厂， 以概率 0.2 定为不合格品， 不能出厂。 现该厂生产了(2)n n 台仪器（假定各台仪器的生产过程相互独立） 。求（1）全部能出厂的概率； （2）其中恰 有两台不能出厂的概率； （3）其中至少有两台不能出厂的概率。 解 设A 任取一台可以出厂 ，B 可直接出厂 ，C 需进一步调试 。 则 ABACA， ( )( ) (|)( ) (|)0.70.3 0.80.94P AP B P A BP C P A Cp 将n台仪器看作n重伯