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清华大学数学科学系学生科学技术协会2012年10月20日第七届数学基础大赛（专业组）代数部分一、 (10分)设A, B是n阶方阵, 秩(A+B) = 秩A + 秩B。证明：存在可逆矩阵P, Q使得PAQ = diag (Ir ; 0), PBQ = diag (0 ; Is)。这里r =秩A，s =秩B, 且r + s n。二、 (18分)设Mn(C)是复数域上所有n阶方阵集合，它关于矩阵加法，实数与矩阵的纯量乘法构成实数域R上线性空间.设V是其子空间，且满足：(1)如A, BV, 则ABV; (2)若AV, 且A0, 则A可逆，且A-1V。证明：任给AV ,则A =aIn (aR)，或A = aIn+ B (aR)且B2= bIn(bR，b 0)。三、 (12分) 计算行列式：（1）（2）四、 (10分)若是整系数多项式，且与都是奇数，证明无整数解.五、 (16分)（1）试证明Hadamard不等式：设是阶复矩阵，那么.（2）设是阶复数矩阵，其每个元素模不超过.证明：的模不大于.且说明这个估计是最佳的.六、 (16分)计算行列式：，其中，是、公因子的个数.分析部分：一、 (10分)试求一个自然数不能被一个平方数整除的概率，也即求极限二、 (18分)设是连续可微函数，定义的临界点集.试证明在映射下的像集是一个Lebesgue零测集.三、 (10分)设函数在上可积，且在处连续.试求如下极限并且说明理由：.四、 (18分)设定义在上的函数在处解析，即存在使得可以将在开区间上展开成的幂级数.1、试证明在的任意点处解析；2、若在上不恒等于零，试证明在中的零点是孤立的，即对任意如果则存在的邻域，使得在上只有一个零点。五、 (14分)设为一给定的阶实方阵，是的特征多项式的一个单根，是的相应于的单位特征向量，即满足：，.其中是上的欧氏内积。试证明存在正数和，使得对任意满足的阶实矩阵，存在唯一的及满足条件，以及方程，.这里对是阶实数矩阵以及我们记，证明上述以及作为以的矩阵元为自变量的函数是光滑函数。六、 (10分)考虑无穷矩阵.假设所有的为非负数，每行的和都收敛且等于1.
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