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椭圆讲义1、平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围且且顶点、轴长短轴的长 长轴的长焦点、焦距对称性关于轴、轴、原点对称离心率准线方程3、设是椭圆上任一点，点到对应准线的距离为，点到对应准线的距离为，则四、常考类型类型一：椭圆的基本量1指出椭圆的焦点坐标、准线方程和离心率. 举一反三：【变式1】椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离=_【变式2】椭圆的两个焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长=_. 【变式3】已知椭圆的方程为，焦点在x轴上，则m的取值范围是（ ）。A4m4且m0 B4m4且m0 Cm4或m4 D0m4【变式4】已知椭圆mx2+3y26m=0的一个焦点为（0，2），求m的值。类型二：椭圆的标准方程2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；（2）两个焦点的坐标是（0，2）、（0，2），并且椭圆经过点。举一反三：【变式1】两焦点的坐标分别为，且椭圆经过点。【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆有相同的焦点，并且经过点（3，2），求此椭圆的方程。3求经过点P（3，0）、Q（0，2）的椭圆的标准方程。举一反三：【变式】已知椭圆经过点P（2，0）和点，求椭圆的标准方程。4求与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程。【变式1】在椭圆的标准方程中，则椭圆的标准方程是（ ）A B C D以上都不对【变式2】椭圆过（3，0）点，离心率，求椭圆的标准方程。【变式3】长轴长等于20，离心率等于，求椭圆的标准方程。【变式4】已知椭圆的中心在原点，经过点P（3，0）且a=3b，求椭圆的标准方程。类型三：求椭圆的离心率或离心率的取值范围5已知椭圆一条准线为，相应焦点为，长轴的一个顶点为原点，求其离心率的取值。举一反三：【变式1】椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率为( )A. B. C. D. 不确定【变式2】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）【变式3】椭圆上一点到两焦点的距离分别为，焦距为，若成等差数列，则椭圆的离心率为_。【变式4】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于_。6已知椭圆（），F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围。举一反三：【变式1】 已知椭圆（）与x轴的正半轴交于A，0是原点，若椭圆上存在一点M，使MAMO，求椭圆离心率的取值范围。【变式2】已知椭圆（），以，为系数的关于的方程无实根，求其离心率的取值范围。类型四：椭圆定义的应用7若一个动点P（x，y）到两个定点A（1，0）、A（1，0）的距离的和为定值m（m0），试求P点的轨迹方程。举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（ ）A平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆B平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段C平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线D平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹存在，则轨迹是一个椭圆或者是一条线段【变式2】已知A（0，1）、B（0，1）两点，ABC的周长为6，则ABC的顶点C的轨迹方程是（ ）ABC D 【变式3】已知圆，圆A内一定点B（2，0），圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程。类型五：坐标法的应用9ABC的两个顶点坐标分别是B（0，6）和C（0，6），另两边AB、AC的斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程。举一反三：【变式1】已知A、B两点的坐标分别为（0，5）和（0，5），直线MA与MB的斜率之积为，则M的轨迹方程是（ ）ABC D（）【变式2】ABC两顶点的坐标分别是B（6，0）和C（6，0），另两边AB、AC的斜率的积是，则顶点的轨迹方程是（ ）A BC D【变式3】已知A、B两点的坐标分别是（1，0）、（1，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为m（m0），求点M的轨迹方程并判断轨迹形状。五、典型例题例1 已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点，求椭圆的标准方程例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹例4 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程例5 已知椭圆方程，长轴端点为，焦点为，是椭圆上一点，求：的面积（用、表示）例6 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程例7 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程例8 已知方程表示椭圆，求的取值范围例9 已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围例10求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程例11 知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，求线段中点的轨迹例12椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为A4B2 C8 D例13 在面积为1的中，建立适当的坐标系，求出以、为焦点且过点的椭圆方程六、课后练习1椭圆的焦点坐标为 （A）(0, 3) （B）(3, 0) （C）(0, 5) （D）(4, 0)2在方程中，下列a, b, c全部正确的一项是 （A）a=100, b=64, c=36 （B）a=10, b=6, c=8 （C）a=10, b=8, c=6 （D）a=100, c=64, b=363已知a=4, b=1，焦点在x轴上的椭圆方程是 （A） （B） （C） （D）4已知焦点坐标为(0, 4), (0, 4)，且a=6的椭圆方程是 （A） （B） （C） （D）5若椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是 （A）4 （B）194 （C）94 （D）146已知F1, F2是定点，| F1 F2|=8, 动点M满足|M F1|+|M F2|=8，则点M的轨迹是 （A）椭圆 （B）直线 （C）圆 （D）线段7若y2lgax2=a表示焦点在x轴上的椭圆，则a的取值范围是 .8当a+b=10, c=2时的椭圆的标准方程是 .9已知一个圆的圆心为