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实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题 1设为集合，则 （用描述集合间关系的符号填写）2设是的子集，则 （用描述集合间关系的符号填写）3如果中聚点都属于，则称是 4有限个开集的交是 5设、是可测集，则 （用描述集合间关系的符号填写）6设是可数集，则 7设是定义在可测集上的实函数，如果，是 ，则称在上可测8可测函数列的上极限也是 函数9设，则 10设在上可积，则在上 二、选择题1下列集合关系成立的是（ ） 2若是开集，则（ ） 3设是上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1设，则（ ） 是不可数集 是闭集 中没有内点 2设是无限集，则（ ） 可以和自身的某个真子集对等 （为自然数集的基数） 3设是上的可测函数，则（ ） 函数在上可测 在的可测子集上可测 是有界的 是简单函数的极限4设是上的有界函数，且黎曼可积，则（ ） 在上可测 在上可积 在上几乎处处连续 在上几乎处处等于某个连续函数四、判断题1. 可数个闭集的并是闭集. （ ）2. 可数个可测集的并是可测集. （ ）3. 相等的集合是对等的. （ ）4. 称在上几乎处处相等是指使的全体是可测集. （ ）五、定义题1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？4. 上单调函数与有界变差函数有什么关系？六、计算题1. 设，其中为中有理数集，求.2. 设为中全体有理数，求.七、证明题1证明集合等式：2设是中的无理数集，则是可测集，且3设是上的可测函数，则是可测集4设是上的可测函数，则对任何常数，有5设是上的可积函数，是的一列可测子集，且，则实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1.= 2. 3.闭集 4.开集 5. 6.= 7.可测集 8.可测 9. 10.可积二、单选题ABB三、多选题 ACD AB ABD ABC四、判断题 五、定义题1.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合，的幂集的基数大于的基数.2.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差.六、解答题1.解：因为，所以于，于是，而在上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系，因此.2.解：显然在上可测，另外由定义知，于所以 因此七、证明题1.证明2.证明 设是中的有理数集，则是可数集，从而，因此是可测集，从而可测，又，故是可测集.由于，所以，故3.证明 设为全体有理数所成之集，则因为是上的可测函数，所以，是可测集，于是由可测集性质知是可测集4.证明 因为在上可测，所以在上非负
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