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浙江大学微积分（1）历年试题分类解答 第 1 页 目目 录录 一. 极限与连续.2 二. 导数与微分.12 三. 不定积分.23 四. 定积分及其应用.26 五. 级 数.33 浙江大学微积分（1）历年试题分类解答 第 2 页 浙江大学浙江大学微积分微积分(1)历年期末考试试题历年期末考试试题 一一. 极限与连续极限与连续 函数极限计算函数极限计算的一般的一般方法方法： (1) 先确定极限的类型；特别要注意在哪一点求极限. (2) 经过初等变换和无穷小量的等价无穷小量的等价， 化简函数表达式(使求导计算尽可能简单)； (3) 分母若为低阶 (2-3 阶)无穷小量，可用L Hosptial法则； 若为高阶无穷小量，可考虑用Taylor展开，不过在应用Taylor展开时，要求 对有关展开式比较熟悉；否则还是“慎用”. 常见的等价无穷小量常见的等价无穷小量： 2 0 (1)sin(2)tan(3)ln(1)(4)1 (5) arctan(6) arcsin(7)1cos(8) (1)1. 2 x x xxxxxxex x xxxxxxx a a +- -+- 当时，常见的等价无穷小量： ； ； 常见函数的常见函数的Maclaurin展开式展开式： 5 2335 35 243 455 335 555 () (1)1()(2) sin() 2!3!3!5! 2 (3) cos1()(4)tan() 2!4!315 3 (5) arcsin()(6)arctan() 64035 (7)ln(1) x Maclaurinx xxxx exo xxxo x xxx xo xxxxo x xxx xxxo xxxo x xx = +=-+ = -+=+ =+=-+ +=- 常见函数的展开式:最高展开到 ； ； ； 23 322 (1) ()(8) (1)1(). 232! xx o xxxxo x a a a a - += +； 两个重要极限两个重要极限： 1 00 sin1 (1) lim1(2) lim(1)lim(1) . x x xxx x ex xx =+=+； 浙江大学微积分（1）历年试题分类解答 第 3 页 关于关于 1 “”型极限的计算型极限的计算： () () () () ()() ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) lim( )0 lim ( )lim( ) ( )lim 1( ). ln 1( ) limln 1( )lim ( ) ( ) ( ) lim 1( ). lim 1( )lim1( ) g x A xaxaxaxa g x xaxa g x A xa g x f x xaxa f xg xf x g xAf xe f x f xf x g xA f x f xe f xf x = =+= + += += +=+ 设，且，则： 由于， 根据连续函数的性质， 此类极限计算的说明： ( ) ( ) . f x g x A e= 一些常见函数的极限一些常见函数的极限： 1 000 (1)() (1) limlimlim0. (1)0. ln1ln (2)0limlim0.lim0. 1 ln (3)0limlnlimlim k xxx xxx xxx xxx xxk x eee kL Hosptialk xx xxx x x xx xx aaa aa a aa aa aa a a a a a + - + + - - = +- = = - L L 【注】：运用此法则后，可以使 当时，特别的， 当时， 1 0 111 0 00 lim0. limlimlim0. lim2lim 2lim 20. x xxx xxx xxx x xx x eee a a + +- +- = -= = += = += 【注】：极限并不存在，因为， 同样， 极限也不存在；因为， 对于一些复杂的数列极限对于一些复杂的数列极限，一般利用函数极限的一般利用函数极限的“归结原理归结原理”化为函化为函 数极限进行计算数极限进行计算. . 函数极限的函数极限的“归结原理归结原理” 0 0 00 ( )lim( ) lim() lim(). xx nnnn nn f xxf xA xx xxxf xA + = = 设在的某领域内有定义，则：对任意满足 的数列均有， 浙江大学微积分（1）历年试题分类解答 第 4 页 1、 2 lim2sin(2) x xxxx + +-+求： 22 22 11 121 2 (2sin )(2)2sin4 limlim 2sin(2)2sin(2) 2sin4 lim1. 12sin(12) . lim 25(2). xx x x xxxxxx I xxxxxxxx xxx xxxx xxuu xxx xu + - -+ - +-+-+ = + - + = - + -= - + +-+ = - 【注】：计算时的极限，一般宜通过变量代换化为的极限 【例如】： 令， 22 2 2 2 (25)(2) lim25(2)lim 25(2) 21 lim1. 25(2) uu u uuu Iuuu uuu u uuu + + - =-= -+- - = -+- 则： 2、 0 11 lim(). 1 x x xe - - 求： 2 000 22 2 00 1111 limlimlim. (1)22 1 1() 1 11 2 limlim. (1)2 xxx x xxx x x xx exexe I x exx xxo xx ex I x ex - - - = - +- - - - = - 【方法一】： 【方法二】： 3、 2 sin lim. ln x xxx xx - +- + 求： 2 2 sin 11 sin limlim2. ln ln 1 ln1 limlim0. xu uu L Hosptial uu u uuu u I u uu u u uu =- + + -+ -+ = - - + - + = 法则 其中： 4、 32 0 ln(1)sin lim. 11 x xx x +- - 求： 浙江大学微积分（1）历年试题分类解答 第 5 页 00 2 2 0 3 223 0 2 1 cos ln(1)sin 1 lim3lim 1 2 3 1 sin 3(1) 3lim. 22 1 ()() 3 26 lim. 1 2 3 xx x x x xx x I x x x x x xxo xxo x I x - +- + = - - -+ + = -= -+-+ = - 【方法一】： 【方法二】： 5、 2 1 0 lim() . x x x ex -求： () 2 2 2 111 2 1 0 2 00 1 2 0000 1 1 2 0 lim 1(1). 111 limlim. 22 () ln()11 limlnlimlimlim. 2 ()2 ()2 lim (). x x ex x exx x xx xx x x xx xx xxxx x x x Iexe exe xx yex exex y xx exx ex exe - - - - =+- -= - - = =- - = - -= 【方法一】： 其中： 【方法二】：记，则： 因此， 6、 0 sintan lim. tan (1)ln(1) x x xx x ex - - 求： 2 33 00 1 () tan (cos1)1 2 limlim. 2 xx xx xx I xx - - = - 7、 3 0 12cos lim()1. 3 x x x x + -求： cos1 2 ln 1 3 3322 0000 cos11 ln(1) 1cos11 32 limlimlimlim. 336 x x xxxx x xx ex I xxxx - + - +- - = - 浙江大学微积分（1）历年试题分类解答 第 6 页 8、 2 2 411 lim. sin x xxx xx - + + + 求： 2 2 2 2 111 41 41(1) limlim1. sin sin 1 xu uu uuu uuu I u uu u =- + -+- + -+ - = - - 9、 2 1 sin 0 lim(cos ). x x x 求： () 2 1 1cos1 2 cos1sin 0 2 22 00 lim 1(cos1). 1 cos11 2 limlim. sin2 x x x x xx Ixe x x x - - - =+-= - - = -其中： 10、 2 1 0 sin lim() . x x x x 求： 3 sin 1 sin 6 0 32 00 sin lim 1. sincos11 limlim. 36 xx x xx x x xx xx Ie x xxx xx - - - =+= - = -其中： 11、 2 1 0 lim( sincos ) . x x xxx +求： () 2 1 1sincos1 2 sincos1 0 22 000 lim 1( sincos1). sincos1sincos111 limlimlim1. 22 xxx xxx x x xxx Ixxxe xxxxx xxx +- +- =+-= +- =+= -=其中： 12、 2 1 2 0 lim (sincos ) . x x xx +求： () 2 22 11sincos1 2 2 sincos1 0 22 222 000 lim 1(sincos1). sincos1sincos111 limlimlim1. 22 xx xxx x xxx Ixxe xxxx xxx +- +- =+-= +- =+= -=其中： 浙江大学微积分（1）历年试题分类解答 第 7 页 13、 2 1 0 2cos lim() . 3 x x x + 求： 2 3cos1 1 cos1 3 6 2 00 cos1cos11 lim 1.lim. 336 x x x xx xx Ie x - - - =+= - 其中： 14、 2 0 111 lim 2 x x xa a - =若，求：的值. 2 2 2 000 2 2 200 1 1111 2 limlimlim2. 22 11 limlim2. 22 (11) a xxx xx x x x xx x Ix xx a a a a a a - - - = = +- 【方法一】：由于，则： 【方法二】：，则： 15、 1 12 (1)(1)(1)lim. n nn n n uu nnn =+ L设，求： () () 11 1 0 00 1 1 0 1 1 limlnlimln(1)ln(1)ln(1) 1 ln2ln(1)ln2(1ln2)2ln21. lim4. n n nn k n n kx ux dxxxdx nnx xx ue = - =+=+=+- + =-+=-=- = 因此， 16、 ( )( )( )( )( )( )f xu xv xg xu xv x=+=-设，并设 0 lim ( ) x u x 与 0 lim ( ) x v x 均不存在， 下列结论正确的是 【 】 (A) 若 0 lim( ) x f x 不存在，则 0 lim ( ) x g x 必存在； (B) 若 0 lim( ) x f x 不存在，则 0 lim ( ) x g x 必不存在； (C) 若 0 lim( ) x f x 存在，则 0 lim ( ) x g x 必不存在； (D) 若 0 lim( ) x f x 存在，则 0 lim ( ) x g x 必存在. 00 00 0 00 21 (1)( )( )lim( )lim ( ) 11 (2)( )1( )lim( )lim ( )1 ( )( )( )( ) (3)( )( )lim ( ) 22 lim ( ) lim ( ).( ) (4)() xx xx x xx u xv xf xg x xx u xv xf xg x xx f xg xf xg x u xv xg x u xv xC D = =+= +- = 设，则：不存在，也不存在； 设，则：不存在，但； 由于，若也存在， 则：，均存在 故，是正确的； 若正 0000 lim( ) lim ( )lim ( ) lim ( ). xxxx f xg xu xv x 确，即，均存在，则，均存在 浙江大学微积分（1）历年试题分类解答 第 8 页 17、 3 2 62 00 arcsin(1) xx t tt dtedtab=- 设，则0 x 时 【 】 (A) ab与是同阶但不等价无穷小； (B) ab与是等价无穷小； (C) ab是的高价无穷小； (D) ba是的高价无穷小. 3 2 2 3 2 2 322 623 32 0 32 32 000 0 32 00 2 62 0 000 0 1 arctan arcsin 1arctan1 3 limlimlim 399 (1) 11 limlim. 33 ar arcsin limlimlim (1) x xxx x t x xx x x xxxt xxx tt dt x xx x edt e xx x tt dt edt ab a b - = - - = = - 【方法一】：； 故，与是同阶而不等价的无穷小量. 【方法二】： 2 22 33 2 2 3 2 0 2 3 1 csin 3 1 1arcsin1 lim. 33 .( ). x x xx e xx xx Aab - - = 因此， 是与同阶但不等价的无穷小量 故，选 18、 1 (0) ( )( )( ) (0) x xex f xF xf t dt xx - = 设，( )0F xx =则：在处 【 】 (A) 极限不存在； (B) 极限存在，但不连续； (C) 连续但不可导； (D) 可 导. 1 1 2 0 1 10 11 00 11 0 0 0 (1)0( ) 0( )1. 2 (2)(00)lim( )lim()1 (00)lim( )1lim( )1(0). ( )0. ( (3)(0)lim x tx x t x xx x x x xF xe dtee x xF xe dttdte FF xeee FF xeF xeF F xx F x F - + - - - - - - - - =- =+= -+ -=-= - += -= -= = = 当时，； 当时， 由此可得，； ，故， 因此，在处连续 11 0 2 11 00 )(0)(1) lim1 (1)(1) ( )(0) 2 (0)limlim0. ( )0( ). 0( )( ). x x xx Feee xx x ee F xF F xx F xxC xf xf x - + - - + - = -+- - = = = ， 因此，在处不可导. 故，选 【注】：实际上，为的第一类间断点，因此，不存在原函数 浙江大学微积分（1）历年试题分类解答 第 9 页 19、 1( )lim( ). 1 nx nx n xe xf xf x e + + -= + 设，定义，试讨论的连续性 00 1 (1)01( )lim0( ) 12 1 0( )limlim1. 11 (2)lim( )0 lim( )10( ). ( 1)0( ). nx nx nx n nxe nxnx nn xx xex xf xxxf x e xex xf x ee f xf xxf x xxf x - -+ + - + + $-=-$+= - - 求：的值域 2 max 0 1ln (1)0. (2)0( )0( )0. 1 ( )( ) ln1 lim( )lim( )0(. x x x yxe x xefxxefx f xxefe e x f xf xy xe + + - = = = = -=- 令：，则： 当时，； 当时， 因此，在处有最大值，且； 而，因此，函数的值域为， 5、 设函数( )xx y=由sin0yxx-+=所确定，求： 2 2 . dx d x dy dy ， 2 223 222 2223 1 (1)1cos0. 1cos 1 () () (1cos ) 1sin 1cos (2). (1cos )1cos(1cos ) sin sincos0. (1cos ) y dxdxdx yx dydydyx dx d d x d xdxxdy x dydydxdyxxx d xdx dxd xd xx xx dydy dydydyx -+= - - - = - - -+= - - 方程两边同时对求导， 【或】： 浙江大学微积分（1）历年试题分类解答 第 13 页 6、 (10) ln(1)10( ).yxxyxyx=+设，求： 对的阶导数 2 2 108 (10) 109109 98 (10)(10)(9) 109 1( 1)1 ln(1)1ln(1). 11(1)(1) ( 1) 9!( 1) 8!9!8! . (1)(1)(1)(1) ln(1) ( 1) 9!10 ( 1) 8! 10 (1)(1) ( 1) x yxxy xxxx y xxxx uxvx yuvuvx xx - =+= -+=+ + - =+=+ + =+= - - =+=+ + - = 【方法一】：， 因此， 【方法二】：设，则： 98 1099109 109 9!10 ( 1) 8!9!9!10 8! (1 1) (1)(1)(1)(1)(1) 9!8! . (1)(1) x xxxxx xx - + -+=+ + =+ + 7、 2 2 2 0 2 4 cos ( ). sin t xs dsd y yy x dx yt = = = 设是由参数方程所确定，求： 2 24 0 4342 2 4 24 (1)cos2 cos sin4 cos2 . 4 (2)2sec . 2 cos t dx xs dstt dt dydy ytttt dtdx d yt t dxtt = = = 由于，则：； 而，则：；因此， 8、 2 2 00 sin() tt s xedsytsds - =- 设，求： 2 t p =处的 dy dx 及 2 2 d y dx . 22 2 222 2 22 0 222 00 2 2 2 2222 222 2 2 2 2 (1). sin()sinsin. (2)sin. (sin)2sin2cos (3)2(sincos). 2. t st t s u tt t t ttt t t tt t xedsdxedt ytsdsu dudyy dydy ete dxdx d yettettet tett dx ee d y e dx p p p p p - - = = - = = =-= = + =+ = 由，可得， 又，则： ， 因此， 浙江大学微积分（1）历年试题分类解答 第 14 页 9、 23 0 ( )ln()sin. x dy yy xxyx yx dx = =+=+设是由方程所确定，求： 23 22 32 253 22 5301 0,1 ln()sin 2(3cos )()2 3cos. 1 (3cos )()2 011. 1 xy xy xyx yxx xyx yx xyx x yx yxy xyxx y x yx xyx xyy xx y = = +=+ +- =+= +- +- = - ， 等式两边同时对求导， 又当时，；因此， 10、 2 arcsin1. x e yxxdy=- +设，求： 2 2 2 ln2 2 11 (2ln ) 1(1) 21 11 (2ln ). 2 (2)(1) x x x exx ex e dyeex dx xxx xex dx xx x =+ - =+ - 11、 sin 43 (arctan2 )ln2. x dy yxx dx =+设，求： () () sin 4 ln3 sin 4 lnsin412 2 sin 4sin412 2 (arctan2 )ln2 1 4cos4lnsin46(arctan2 ) 14 1 4cos4lnsin46(arctan2 ). 14 xx xxx xx yex dy exxx xx dxx xxxx xx x - - =+ =+ + =+ + 由于， 则： 12、 0 ( )210. xy x yy xexxydy + = =- =设是由方程所确定，求： 0 (1)21000. (2)()2()0. 00. xy xy x exxyxy edxdydxxdyydx xydydx + + = - = +-+= = 由可得，当时， 方程两边同时求微分， 将，代入可得， 13、 2 2 2 sinarctan . ln(1) xtt dy d y dx dx ytt =- =+ 设，求： ， 2 2 2 2 222 2 2 32 2 11 (1)cos. 1 1 1 (2) (1)cos1 (1)cos112 cos(1)sin 1 (3). (1)cos1 dxdy t dttdt t dy dyt dt dx dxtt dt t dy ttttttt d y tdt dx dx tt dt =-= + + + = +- +-+-+ + = +- ， ； 浙江大学微积分（1）历年试题分类解答 第 15 页 14、 ( )arccotln( ). 1 x x x e y xey x e =- + 设，求： 22 111 ( )cotlnln(1)cotln(1). 222 11 ( ). 122(1)12(1) xxxxx xxx xxxx y xarceeearcexe eee y x eeee =-+=-+ = -+= - + 由于 因此， 15、 设由参数式 2 2 ln(1) xtt ytt =+ = -+ 确定了y为x的函数( )yy x=，求：曲线( )yy x= 的凹、凸区间及拐点坐标 (区间用x表示，点用()xy，表示). 2 224 2 2 2 2 2 2 1 (1)2(1). 12(1)2(1) (2)01.(31ln2). 110( ) d 10( ) d ( 13)( )(3)( dxdytdytd yt t dtdttdxtdxt d y tP dx d y tyf x dx y tyf x x yf xyf x - =+= + = =- - = -= - 由可得， 令： 又， 当时，；故，当时，取极小值 且其极小值为 19、 求由方程 322 2220yyxyyx-+-=确定的函数( )yy x=的极值，并问此极 值是极大值还是极小值，说明理由 322 2 322 2 22 2 (1)2220 (6421)220. 0. 0 (2).(0 0) 02220 22 (3)() 6421 (6421)(22 )2()(6421) (64 yyxyyxx yyxyyx yyx yxx yyyxyyx xy y yyx yyxyxyyyx yy -+-= -+-= = = = =-+-= - = -+ -+-+ = -+ 方程两边同时对求导， 令可得， 解方程组：得到唯一驻点 ，. 又 2 min . 21) (0)200(0)0. x yxyy + =因此，故，当时， 有极小值 20、 求曲线arctanyx=在横坐标为 1 的点处的切线方程. 211 11 (1)arctan.arctan1. 142 1 (2)arctan1(1). 24 xx yxyyy x yxxyx p p = = + =-+ 由于，则：， 曲线在处的切线方程为： 浙江大学微积分（1）历年试题分类解答 第 17 页 21、 2 0( )(4)(2)20. x x xf xxexe=-+ =+= =- =- $ =- 而，当时， 则： 【方法三】：由于 记，在区间，上对应用中值定理， ，使得，()()0. 22 ( )0)( )(0)0. xx xe f xf xf x x x-=- + =因此，在，上单调递减，故， 22、 222 2 4 lnln().eabebaba e -若，证明： 2 22 2 2 22 2 22 22 ( )ln( ) , lnlnln 2. ln1ln ( )( )0. () 2 ( )( )().() ln24 lnln(). f xxg xxa bCauchy ba eabe ba xx xxxe xx xexeexe e baba ee x x x jj jjj x x = - =- 令：，；在区间上应用中值定理， 其中： 再令：，则： 故，在 ，上单调递减；因此， 则：，从而有， 浙江大学微积分（1）历年试题分类解答 第 18 页 23、 sin (0) ( ) (0) x ex x F x x ax = = 已知为连续函数. (1) 求：常数a； (2) 证明：( )F x的导函数连续. 0 2 000 0 2 00 sin (1)lim1( )1. sin 1 sinsincos1 (2)(0)limlimlim 2 2cos lim1. 2 (sincos )sin (0) ( ). 1(0) si (3)lim( )lim x x x xxx xxx x x xxx x xx ex f xa x ex exxexex x F xxx ex x exexex x F x x x xe F x = - -+- = = +- = = = 由于，而为连续函数，则： 所以， 又 2 0 ncossin2cos lim1(0). 2 ( )0( )(). xxx x xxexexxex F xx F xxF x +- = = =- + 因此，在处连续，从而在，上连续 24、 设常数0a ，讨论曲线yax=与2lnyx=在第一象限中交点的个数. 2 22 (1)( )2ln( ).( )0. 222 ( )0( )22ln( ) 22 (2)22ln0( )0( )0 2 ( )0 22 0( )0 f xaxxfxafxx xa fxff x xaa af xf x ae af x e af ea =-=-= =- -= = 由于，则：令：可得， 又，则：为唯一的极小值点，为最小值. 当，即时，方程无解，曲线没有交点； 当时，方程有唯一解，故，两曲线在第一象限相切，有唯一交点； 当时，； 0 lim( )lim( ) 22 ( )0(0)()( ) 22 ( )0(0)(). x x f xf x f xf x aa f x aa + + = += + =+ =+ 而， 因此，在 ， 和，有解，又在两区间严格单调，故，方程 在， 和，内各有一个解；从而，两曲线在第一象限有两个交点 浙江大学微积分（1）历年试题分类解答 第 19 页 25、 求曲线ln()cos()yxxyx+-=上点0 x =处的切线方程. (1)0. (2)ln()cos() 1 ()sin()1. (0)1.(1) . xye yxxyxx y xyyxy yx yeyeex = +-= + += + =-=+- 当时， 等式两边同时对求导，可得 因此，故，切线方程为： 26、 设( )f x在()- + ，上存在二阶导数，且(0)0( )0 ().ffxxR ， 证明：(1) ( )f x至多有两个零点，至少有一个零点； （2）若( )f x有两个零 点，则此两个零点必异号. (注：( )f x的零点就是方程( )0f x =的根.) 123 13 2 11 (1)( ) ()( )0( )0( ) . ( ) (2)( )(0)(0)(0)(0) . 2 (0)0lim( )0( )0(0)0 (0 x f xRxxxRolle xxffxf x f Taylorf xffxxffx ff xxf xf xx x x + + = + + = + = = +- = + (1)( )() ( )( ) ()( ). ( )( ) ( )( )()( )() ( )( )( )()( )0. ( )( ) ( ). (2)( ) Lagrangef xabab f bf a abf ba f bf a F xf xxaF xabab ba F aF bf aRolleabF f bf a f ba f x xx xx x - $ = - - =- - =$ = - = - 中值定理： 设在，上连续，在，内可导， 则：，使得 令，则：在，上连续，在，内 可导，且，由定理，使得 即， 由于 0 00 0 0 ( )( )() ()( )()( )() ()( ) ( )0. abf af bxab f xf af xf aLagrangeab f xf a f xa x x = $ - = - 在，上不是常函数，又，则：存在，使得 ；不妨假设，由中值定理，使得 28、 证明函数( )f x极值存在的第二充分条件定理： (1) 设( )f x在 0 xx=处存在二阶导数， 00 ()0()0(0)fxfxAA= - $- = ； (B) 至少存在一点 0 ()xab，使 0 ()( )f xf b； (C) 至少存在一点 0 ()xab，使 0 ()0fx=； (D) 至少存在一点 0 ()xab，使 0 1 ()( ( )( ). 2 f xf af b=+ 00 00 00 ( )( ) (1)( )lim00 ( )( ) 0()()( ). (2)()()( ). (3)(1) (2)( )() ()()max( ) xa a x b f xf a faaxa xa f xf a xabf xf a xa xabf xf b f xabab xabf xf xFerm dd + + - =$ - $= 由于，则：，当时， ；从而，存在，使得 同样可得，存在，使得 由、 可得，在，上的最大值在 ，内取到； 即，使得，根据 0 2 0 0 ()0. (1) (2) (3). (4)( )(01)(0)1(1)1. (0)(1)0(01)( )0(01) (0)(1) ().(4). 2 atfx f xxxxff ffxf xx ff f x = =-= - = + = 定理， 因此， 陈述、 、 都是正确的 例如，则：， 由于，且对，均有，因此，不存在， 使得故， 是错误的 32、 已知抛物线 2 yaxbxc=+过点(12)，且在该点的曲率圆方程为 22 151 ()(). 222 xy-+-=则：a = ，b = ，c = . 2 11 22 12 12 22 (1)22 . 222 . 151 (2)()(). 222 15 2()2()0.1. 22 5 222()04. 2 1 (2)() 2 xx xy xy yaxbxcyaxbya abcyab ya xy xyyy xyyyyy yaxbxcx = = = =+=+= +=+= -+-= -+-= +-= =+- ， ， 由可得， 因此， 又曲率圆方程为： 两边求导可得， 再求导， 由于与曲率圆 2 51 ()(12) 22 24 21233 2 y a yyyababc abc +-= = += -= += 在点 ， 处有 相同的 ， ， ，则：， 浙江大学微积分（1）历年试题分类解答 第 23 页 三三. 不定积分不定积分 1、 2 21 . 22 x dx xx + + 求： 222 2 (22)1221 2222(1)1 ln(22)arctan(1). xx Idxdxdx xxxxx xxxC +-+ =- + =+-+ 2、 2 1 . (1)(1) dx xx+ 求： 2 2 111111 ln1ln(1)arctan. 211242 x IdxxxxC xx - =-=+-+ + 3、 2 1 . (1) dx xx + 求： 2 111 ln1ln. 1 x IdxxxC xxx - =-=+-+ + 4、 35 1 .dx xx+ 求： 2 151415 14115 432 532 5432 282422 3155151515 15. 15151 15151 12121 15 ln1 25432 3155151515 ln(1). 282422 ut xuxudxu du uut Idududtttttdt uuutt tttt ttC xxxxxxC = = =-+- + - + =-+-+ -+ =-+-+-+ 令：，则：， 5、 2 2 1 ln. (1) xx xdx x x -+ - 求： 2 22 22 2 1111 ln()lnlnlnln() (1)(1)1 1ln11ln11 l