海淀区2015-2016高三期中数学理科含答案详解.doc

海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学（理科） 2015.11 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 已知集合，则集合中元素的个数为 A.1 B.2 C. 3 D.42. 下列函数中为偶函数的是 A. B. . D.3. 在中, , 则的值为 A. 1 B. C. D. 4. 数列的前项和为，若，且，则的值为 A. 1 B. 3 C. 5 D.65. 已知函数，下列结论中错误的是 A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 的最小正周期为 D. 的值域为 6. “”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 如图，点为坐标原点，点. 若函数（，且）及（，且）的图象与线段分别交于点，且，恰好是线段的两个三等分点，则满足A. B. C. D. 8. 已知函数，函数. 若函数恰好有2个不同零点，则实数的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9. 10. 在中，角的对边分别为. 若，则11. 已知等差数列的公差，且. 若，则 .12. 已知向量，点, 点为直线上的一个动点，若，则点的坐标为_. 13. 已知函数(). 若的图象向左平移个单位所得的图象与的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为_. 14. 对于数列，若，都有（为常数）成立，则称数列具有性质. （i） 若数列的通项公式为，且具有性质，则的最大值为_；（ii）若数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围 是_. 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15. （本小题满分13分） 已知等比数列的公比，其前项和为，若, . （）求公比和的值；（）求证：. 16.（本小题满分13分）已知函数.（）求的值；（）求函数的最小正周期和单调递增区间. 17. （本小题满分13分）如图，在四边形中，. （）求的长； （）求证：. 18. （本小题满分13分） 已知函数，曲线在点处的切线为. （）若直线的斜率为，求函数的单调区间；（）若函数是区间上的单调函数，求的取值范围.19.（本小题满分14分）已知由整数组成的数列各项均不为0，其前项和为，且 . （）求的值；（）求的通项公式；（）若时，取得最小值，求的值. 20.（本小题满分14分）已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如. 对于函数, 若存在且使得，则称函数是函数.（）判断函数是否是函数；（只需写出结论）（）设函数是定义在上的周期函数，其最小正周期为，若不是函数，求的最小值；（）若函数是函数，求的取值范围. 理科 ： 15解：（）法一：因为为等比数列， 且，所以，所以， -1分因为，-2分所以. 因为，所以，即 -3分 所以. （此处公式2分，结果1分） -6分 法二：因为为等比数列，且，所以，-1分所以，-2分所以, 因为，所以，即 -3分 所以. （此处公式2分，结果1分） -6分（）法一：因为，所以,（此处公式1分，结果1分）-分因为,（此处公式1分，结果1分） -10分所以,因为，所以. -13分法二：因为，所以,（此处公式1分，结果1分）-分因为,（此处公式1分，结果1分） -10分所以，所以. -13分法三：因为，所以,（此处公式1分，结果1分）-分因为,（此处公式1分，结果1分） -10分要证，只需， 只需 上式显然成立，得证. -13分16.解：（）因为, 所以,. -4分 （）因为, 所以 -6分 -7分 , -9分 所以周期 . -11分 令， -12分 解得， 所以的单调递增区间为. -13分 法二：因为, 所以-7分 -9分所以周期 . -11分 令， -12分 解得，, 所以的单调递增区间为 . -13分17解：（）法一： 在中，因为，,-1分 所以, -3分 根据正弦定理，有, -6分 代入 解得. -7分法二：作于.因为，所以在中，. -3分在中，因为， 所以, -6分所以. -7分（）法一：在中，根据余弦定理 -10分 代入，得，-11分,所以. -12分所以 ，而在四边形中 所以. -13分法二：在中，所以， ， 所以. -8分在中，所以, ， 所以. -9分所以， -11分 ， -12分 即, 所以. -13分18解（）因为，所以曲线经过点, 又, -2分所以, -3分 所以. 当变化时，的变化情况如下表:00极大值极小值 -5分 所以函数 的单调递增区间为，, 单调递减区间为. -7分（）法一:因为函数在区间上单调, 当函数在区间上单调递减时，对成立， 即对成立，根据二次函数的性质，只需要， 解得. -8分又，所以. -9分当函数在区间上单调递增时，对成立，只要在上的最小值大于等于0即可， 因为函数的对称轴为， 当时，在上的最小值为， -10分解，得或，所以此种情形不成立. -11分 当时，在上的最小值为，（注：此处用也可得分）-12分解得，所以，综上，实数的取值范围是或. -13分 法二：令即，若 即时，恒成立，函数在区间上单调递增-8分所以. -9分若 即，由得，若函数在区间上单调递减，对成立， 即对成立，根据二次函数的性质，只需要， 解得. -10分又，所以. -11分若函数在区间上单调递增，对成立根据二次函数的性质，只需要或 -12分可解得（无解）或（解得与矛盾），此种情况不成立综上，实数的取值范围是或. -13分 法三：因为函数在区间上单调, 当函数在区间上单调递减时，对成立， 即对恒成立，只需根据二次函数的性质只需，解得 -8分又，所以. -9分当函数在区间上单调递增时，对成立，即对恒成立，只需 设函数的对称轴为， 当时，在上的最大值为， -10分解，得或，所以此种情形不成立. -11分 当时，在上的最大值为， -12分解得，所以，综上，实数的取值范围是或. -13分 19解：（）因为，所以，即, 因为，所以, -2分（）因为，所以，两式相减，得到， -4分因为，所以， -5分所以都是公差为的等差数列，当时，, -6分当时，, -7分所以 -8分（）法一：因为，由（）知道注意到所有奇数项构成的数列是一个单调递增的，所有偶数项构成的数列是一个单调递增的，当为偶数时，所以此时，所以为最小值等价于， -11分所以， -12分所以，解得. -13分因为数列是由整数组成的，所以.又因为，所以对所有的奇数，所以不能取偶数，所以. -14分法二：因为，由（）知道所以 -10分因为为最小值，此时为奇数，当时，所以 ，解得， -13分因为数列是由整数组成的，所以.又因为，所以对所有的奇数，所以不能取偶数，所以. -14分20. 解：（）是函数， -2分 不是函数. -4分（）的最小值为1. -5分 因为是以 为最小正周期的周期函数，所以. 假设，则，所以，矛盾. -7分 所以必有， 而函数的周期为1，且不是函数 所以的最小值为1； -9分（） 当函数是函数时，法一：设，所以，所以有 -11分 当时，则，所以有，所以因为，所以，所以. -12分当时，因为，所以，所以. -13分记, 综上可以得到“且且”. -14分法二： 若，则显然不是函数，矛盾. 若，则，所以在上单调递增， 此时不存在，使得 ，同理不存在，使得 ，又注意到，所以此时不是函数. -10分 当时，设，所以，所以有 -11分当时，则，所以有，所以因为，所以，所以. -12分当时，因为，所以，所以. -13分记, 综上可