第三讲动点形成平行四边形问题.doc

第三讲 动点形成平行四边形问题的讨论【知识点说明】一般是以二次函数为背景，由点的运动，形成平行四边形。由于这种图形边及顶点较三角形多，所以更复杂，要有一定的想象能力，打破空间上的思维定势，一般尽量把可能出现的情况想象出来，先画草图，再根据情况解决。当然该问题仍然有其规律，题中一般会有三个或两个定点。我们在确定定点的情况下，也就可以确定一些定边，以定边为标准，分别以它“做边或对角线”两种情况进行讨论，下面我们通过问题来体会。（一）已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）例1、已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)， 与y轴的正半轴交于点C1 接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；2 点C在以AB为直径的P上时，求抛物线的解析式；3 标平面内是否存在点,使得以点M和中抛物线上的三点A、B、C 为点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点的坐标；若不存在,请说明理由（二）、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）例2、已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B (1) 求抛物线的解析式； (2) 若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值： (3) 若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由两定点连接的线段没确定为平行四边形的边，则这条线段可能为平行四边形的边或对角线例3、如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由【巩固练习】1、已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则； (2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点恰好落在抛物线上，与 轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.第1题xyBCODAMNNxyBCOAMNP1P2备用图2.已知抛物线：（1）求抛物线的顶点坐标.（2）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线 的解析式.（3）如下图，抛物线的顶点为P，轴上有一动点M，在、这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.3、已知：如图所示，关于的抛物线与轴交于点、点，与轴交于点（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点，使四边形为等腰梯形，写出点的坐标，并求出直线的解析式；BAOCxy（3）在（2）中的直线交抛物线的对称轴于点，抛物线上有一动点，轴上有一动点是否存在以为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由课后作业1、已知一个二次函数的图像经过、 、三点（如图1）.（1）求这个二次函数的解析式；（2）求的值；（3）若点在轴上，点在（1）中所求出的二次函数的图像上，且以点、Oy1x24356-6-5-3-43-25-1123456-1-3-4-5-6-25图1CAB为顶点的四边形是平行四边形，求点、的坐标. 2、如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形 （1）求证：梯形是等腰梯形； （2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变设求与的函数关系式； （3）在（2）中：当动点、运动到何处时，以点、和点、中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；当取最小值时，判断的形状，并说明理由ADCBPMQ60第三讲 动点形成平行四边形问题的讨论（教师）【知识点说明】一般是以二次函数为背景，由点的运动，形成平行四边形。由于这种图形边及顶点较三角形多，所以更复杂，要有一定的想象能力，打破空间上的思维定势，一般尽量把可能出现的情况想象出来，先画草图，再根据情况解决。当然该问题仍然有其规律，题中一般会有三个或两个定点。我们在确定定点的情况下，也就可以确定一些定边，以定边为标准，分别以它“做边或对角线”两种情况进行讨论，下面我们通过问题来体会。（一）已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）例1、已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)， 与y轴的正半轴交于点C4 接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；5 点C在以AB为直径的P上时，求抛物线的解析式；6 标平面内是否存在点,使得以点M和中抛物线上的三点A、B、C 为点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点的坐标；若不存在,请说明理由解：对称轴是直线：，点B的坐标是(3,0) 如图，连接PC，点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)， AB4 在RtPOC中，OPPAOA211， b 当时， （3）存在理由：如图，连接AC、BC设点M的坐标为 以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CMAB，且CMAB由知，AB4，|x|4，x4点M的坐标为； 当以AB为对角线时，点M在x轴下方过M作MNAB于N，则MNBAOC90四边形AMBC是平行四边形，ACMB，且ACMBCAOMBNAOCBNMBNAO1，MNCOOB3，0N312 点M的坐标为 综上，坐标平面内存在点，坐标分为：（二）、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）例2、已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B (1) 求抛物线的解析式； (2) 若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值： (3) 若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）对称轴，又OC=3OB=3，C（0，3）2分方法一：把B(1,0)、C(0，3)代入，得：，方法二：B（1，0），A(-4，0)可令 把C(0，-3)代入，得：， ，（2）方法一：过点D作DMy轴分别交线段AC和x轴于点M、N，如图2， A(-4，0)，C(0，-3)设直线AC的解析式为代入，求得：令， 当时，DM有最大值3 ， 此时四边形ABCD面积有最大值。方法二：过点D作DQy轴于Q，过点C作x轴交抛物线于，从图象可判断当点D在下方的抛物线上运动时，四边形ABCD才有最大值。则= ， xPCEBOAy 图3令则当时，四边形ABCD面积有最大值。（3）因为AC为平行四边形的一边，分两种情况讨论： AE也为边时，过点C作CPx轴交抛物线于点P，过点P作PEAC交x轴于点E，如图3，此时四边形ACPE为平行四边形， C(0，-3) 令 解得：x1=0，x2=3 ，xOy PPCEEA图4 P(3, 3)； AE为对角线时，如图4， 设E为（x，0），由平行四边形的对角线互相平分，得：AE的中点为（，0），P为(x4, 3)点P在抛物线上，（x4）2+（x4）3=3，解得：x4=，P2、3为(, 3)；综上，点P的坐标为(3, 3)或(, 3)或(, 3)。两定点连接的线段没确定为平行四边形的边，则这条线段可能为平行四边形的边或对角线例3、如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）令y=0，解得或（1分）A（-1，0）B（3，0）；将C点的横坐标x=2代入得y=-3，C（2，-3），直线AC的函数解析式是y=-x-1 ，（2）设P点的横坐标为x（-1x2），则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（，GCBA图3EFFxOy P点在E点的上方，PE=，当时，PE的最大值=，（3）存在4个这样的点F， 当AF为平行四边形的边时，如图3，同例2，可求的点F为（1，0）或（3，0）；GCGA图4FFxOy 当AF为平行四边形的对角线时，如图4，同例2，可求的点F为（4+，0）或（4，0）；综上，点F的坐标为（1，0）或（3，0）或（4+，0）或（4，0）。【巩固练习】1、已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则； (2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点恰好落在抛物线上，与 轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.第1题xyBCODAMNNxyBCOAMNP1P2备用图解：（1）.4分（2）由题意得点与点关于轴对称，将的坐标代入得，（不合题意，舍去），.2分，点到轴的距离为3.， ，直线的解析式为，它与轴的交点为点到轴的距离为.2分（3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，得：（不舍题意，舍去）， .2分当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，与关于原点对称，将点坐标代入抛物线解析式得：，（不合题意，舍去），2分存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形2、已知抛物线：（1）求抛物线的顶点坐标.（2）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线 的解析式.（3）如下图，抛物线的顶点为P，轴上有一动点M，在、这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）依题意，顶点坐标是（2，2），（2）根据题意可知y2解析式中的二次项系数为，且y2的顶点坐标是（4，3），y2，即：y2，（3）符合条件的N点存在。如图：若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则，且， ，作轴于点A，轴于点B，则有（AAS）点P的坐标为（4,3）10分点N在抛物线、上，且P点为、的最高点符合条件的N点只能在轴下方 点N在抛物线上，则有： 解得：或， 点N在抛物线上，则有：解得：或，综上，符合条件的N点有四个：N1（，）或 N2（，）或N#（，）或N#（，）。3、已知：如图所示，关于的抛物线与轴交于点、点，与轴交于点（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点，使四边形为等腰梯形，写出点的坐标，并求出直线的解析式；BAOCxy（3）在（2）中的直线交抛物线的对称轴于点，抛物线上有一动点，轴上有一动点是否存在以为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）根据题意，得， 解得，抛物线的解析式为，顶点坐标是（2，4），BAOCyxQ4Q3Q1Q2P3P1P2DCP4（2）点的坐标为（4，3），设直线的解析式为直线经过点点7分8分-9分（3）存在-10分 当AQ为平行四边形的边时，如图，同例2，可求的点Q为、；当AQ为平行四边形的对角线时，如图，同例2，可求的点Q为、；综上，点Q的坐标为：、 、-14分课后作业1、已知一个二次函数的图像经过、 、三点（如图1）.（1）求这个二次函数的解析式；（2）求的值；（3）若点在轴上，点在（1）中所求出的二次函数的图像上，且以点、为顶点的四边形是平行四边形，求点、的坐标. 解： （1）设所求的二次函数的解析式为（）. 因为抛物线（）经过、 、三点，Oy1x24356-6-5-3-43-25-1123456-1-3-4-5-6-25图1CAB 1分 解得 所求的二次函数的解析式为（2） 如图1，由、 ，可知 点、的纵坐标相等， . . . 、， . （3）分两种情况讨论：如图2，若是以点、为顶点的四边形是平行四边形的一边， 由于点在轴上，那么必定也是这个平行四边形的一条边. ， 因此点应该在过点且平行于轴的直线上， 由此可知点与点重合. ， . 四边形是平行四边形， ， 故可得， Oy1x24356-6-5-3-43-25-1123456-1-3-4-5-6-25图2CAB（E）Oy1x24356-6-5-3-43-25-1123456-1-3-4-5-6-25图3CADDB（