第2章_随机变量及其分布(定稿).doc

第2章 随机变量及其分布课前预习导引一、大纲解读1教学大纲解读（1）教学内容 随机变量的概念，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率密度，两点分布，二项分布，Poisson分布，均匀分布，指数分布，正态分布，分布函数，正态分布函数的查表与计算，随机变量函数的分布（2）教学要求 理解随机变量的概率分布、概率密度、分布函数、随机变量函数的分布等概念 熟练掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布 了解泊松定理的结论和应用条件. 掌握求随机变量的分布函数以及求随机变量函数的分布的方法 掌握正态分布的计算.2考研大纲解读（2012版）(1) 考试内容随机变量，随机变量的分布函数的概念及其性质，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率密度，常见随机变量的分布，随机变量函数的分布(2) 考试要求理解随机变量的概念；理解分布函数 的概念及性质；会计算与随机变量相联系的事件的概率.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用.掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布的密度函数为会求随机变量函数的分布.二、问题搜索第2.1节 随机变量问题：1有哪些随机试验的结果可以用数值表示？又有哪些随机试验的结果不可以用数值表示？能不能将某些表面上不是数值的结果转化为数值的结果？2. 随机变量与普通变量有什么异同点？读者的问题：第2.2节 离散型随机变量及其分布列问题：1. 要掌握离散型随机变量的统计规律只需知道它的哪些特征？2. 要判断有限个或一列实数是否有资格作为离散型随机变量的概率分布时，要考察哪些方面？3. 在实际生活中你遇到过服从两点分布和二项分布的随机变量吗？把他们叙述出来.读者的问题：第2.3节 连续型随机变量及其密度问题：1. 如果一个随机变量取值于一个连续区间，是否还可以用离散型随机变量那样的分布列来刻画它的统计规律？如果不行，有其他办法吗？2. 连续型随机变量取一个点的概率即对任意，是多少？离散型的情形呢？3. 在实际生活中有哪些随机变量近似服从均匀分布或正态分布？读者的问题：第2.4节 分布函数问题：1.前面我们接触的随机变量要么是离散型的要么是连续型的，是否存在即不离散的也不连续的呢？2.为什么要引入分布函数？3.可不可以用其他的形式定义分布函数，如读者的问题：整理、归纳和提升一、知识整理本课程进入本章学习应具备的知识1随机事件 2.概率本章（随机变量及其分布）学习的知识类型离散型随机变量连续型随机变量随机变量的定义设E为随机试验，它的样本空间，如果对于每一个均有唯一实数与之对应，则称这个定义在上的实单值函数为随机变量，简记为定义及性质1.只可能取有限个或可列个值的随机变量称为离散型随机变量. 设离散型随机变量的可能取值为，则称，或为的概率分布或分布列. 2. 概率分布具有下列性质：(1) ；(2) .1. 若存在非负可积函数，使对任意的两个实数（），都有则称为连续型随机变量，称为的概率密度函数.2.的性质：(1)；(2) .重要分布1.两点分布：； .2.二项分布： ，其中.3.泊松分布：，1.均匀分布：2.指数分布： 其中.3.正态分布:， 其中.分布函数1.定义：设是一个随机变量，对于任意实数，函数 称为随机变量的分布函数。2.性质：(1) 单调不减，即当时，有；(2) ；(3) ，；(4) 右连续，即随机变量的分布函数1.右连续的阶梯函数，为其所有跳跃间断点,在点的跃度为.2.已知的分布函数为，则随机变量的概率分布为：,.1.若的密度为，则的分布函数为，2.连续型随机变量的分布函数是连续的.本章学习后可进一步学习的本课程知识1.随机向量 2.数字特征二、技能归纳1. 求随机变量的概率分布、分布密度及分布函数中的未知参数要领：（1）求离散型随机变量中的概率分布中的未知参数常用性质；（2）求连续型随机变量的密度函数中的未知参数常用性质.（3）求分布函数中的未知参数常用分布函数的性质：，例1 设随机变量的概率分布为，求.解 根据概率分布的性质知，解得.例2 连续型随机变量的密度函数为，且，求的值.解 由，得；又由于，即，得.联立解得.例3 设连续型随机变量的分布函数为试求的值解 因为所以；又由于且所以.2. 判断一个函数是否是分布函数或密度函数要领：（1）判断一个函数是否是分布函数需验证此函数是否满足分布函数的4条性质.（2）判断一个函数是否是密度函数需验证此函数是否满足密度函数的2条性质.例4 设有函数，试说明：（1）能否是某随机变量的分布函数；（2）能否是某随机变量的密度函数.解 （1）显然函数满足，但在上是减函数，故不能是分布函数. 或者，而不是1，可见也不能是分布函数.（2）函数满足，但可见也不能是密度函数.3. 由概率密度求分布函数及随机事件的概率要领：已知的概率密度函数，随机变量的分布函数为：，当为分段函数时，要注意对分布函数的自变量进行讨论，讨论的关键点为的分段点.例5 设连续型随机变量的密度为，求：（1）随机变量的分布函数 （2）解（1）由于此密度函数在0点分段，故其分布函数也应在0点两侧加以讨论当时，当时，所以随机变量的分布函数为（2）解法1 用密度函数求概率解法2 用分布函数求概率4. 求离散型随机变量的概率分布要领：先确定离散型随机变量的可能取值，求概率分布即为计算有关的概率，一般要利用第一章中有关计算概率的方法.例6 把4封信随机地投入4个空信箱，记为投信后所剩的空信箱的数目，求的概率分布.解 每封信都有4种投法，样本点总数为.为空信箱的数，可能的取值只有4种0,1,2,3.，其中4！指把4封信每个信箱投一封，共有4！种方法；，其中指选出一个空信箱，是选出两封信放入这个空信箱中；，其中系指哪两个信箱是空的，括号中包括两种情况，是指两封信投入了一个信箱，而其余的两封信投入了另一个信箱. 是指有一封信投入一个信箱，其余三封信投入了另一个信箱，注意的是如果一个信箱一封信另一个信箱三封信，将两信箱中的信交换是两种结果.而两个信箱各两封信就无须作如是的交换. ，因此的分布列为5. 常见分布在计算概率中的应用要领：首先分辨问题属于那种分布，然后利用有关公式求出概率.例7 某电子元件的寿命服从参数为的指数分布，试计算该元件正常使用了小时而不坏的概率以及使用了小时不坏的条件下，还能再使用小时的概率.解 = =.注： 以上结果说明该元件使用了小时后再使用小时不坏的概率与该元件使用了小时后不坏的概率相同，与以前的使用情况无关. 指数分布的这种特殊的性质称为无记忆性.例8 现有90台同类型的设备，各台设备的工作是相互独立的，发生故障的概率是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理.配备维修工人的方法有两种，一种由3人分开维修，每人负责30台；另一种是由3人共同维修90台.试比较两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.解 设为第个人负责的30台设备发生故障而无人修理的事件.表示第个人负责的30台设备中同时发生故障的设备台数，则，.由泊松定理，而90台设备发生故障无人维修的事件为，故采用第一种配备维修工人的方法时，所求概率为 在采用第二种配备维修工人的方法时，设为90台设备中同时发生故障的设备台数，则，而所求概率为由于，显然共同负责比分块负责的维修效率提高了.例9 把温度调节器放入贮存着某种液体的容器中，调节器定在，液体的温度是随机变量，设. 试求：（1）若，求的概率；（2）若要求保持液体的温度至少为80度的概率不低于0.99，问至少为多少度？解（1）所求概率为.（2）按题意，求，使，也就是要求，查表知，即，故需，解得，即至少为.6. 求连续型随机变量函数的概率分布要领：这样的问题要用“分布函数法”，它是求连续型随机变量函数分布的一般化方法.首先，根据分布函数的定义，求出随机变量函数的分布函数与自变量的分布函数之间的关系.其次，对以上的分布函数的关系式两边求导，找出函数与自变量密度之间的关系.最后，将密度具体化在这个过程中要特别注意对随机变量函数的分布的自变量的讨论，一般要根据自变量的密度函数的非零区间和的值域来确定讨论的关键点.例10 设随机变量的概率密度，求的概率密度.解 当时，0；当时，由于，则知当时，；当时，=.三、能力提升1停下来想一想栏目解惑第2.1节 随机变量停下来想一想：请各举出一个，离散型随机变量和连续型随机变量的实际例子？解惑 上午10:00到11:00在某农行内等待服务的人数是离散型随机变量; 而当一个人每天去等某路公交车时等车的时间是连续型随机变量.第2.2节 离散型随机变量及其分布列停下来想一想：利用概率分布的性质，可以确定其中的常数！（列方程的思想）解惑 例如的概率分布为：01233a a a 2a由概率分布的性质，所以.停下来想一想：试验证二项分布满足概率分布的两条性质解惑 先验证第二条：；再验证第一条：因为，所以.停下来想一想：你能举出一些服从二项分布的随机变量吗？试试看！解惑 一个运动员每次投篮的命中率为0.8，他连续投篮100次，则命中次数.停下来想一想：试验证泊松分布满足概率分布的两条性质解惑 先验证第二条：.（其中用到了的幂级数展开式）.再验证第一条：因为，所以.停下来想一想：求离散型随机变量函数的概率分布，先由的取值计算的可能取值，若是一对一的，取值的概率如何计算？如果是多对一的，取值的概率又如何计算？解惑 若是一对一的，且，则=. 如果是多对一的，如，则=第2.3节 连续型随机变量及其密度停下来想一想：利用密度函数的两条性质，可以确定其中的常数（列方程的思想）解惑 例如的概率密度为，试确定常数由概率密度的性质2知，解得，. 又由概率密度的性质1知，所以，故只能取.停下来想一想：对连续型随机变量，密度为，必有，从而有区别于离散型随机变量通俗地讲就是：离散型随机变量“点点计较”，而连续型随机变量却非常“大度”解惑 如的概率分布为01230.10.2 0.30.4则，所以离散型随机变量要“点点计较”.停下来想一想：连续型随机变量，则，分别等于多少？解惑 ； ； ；.停下来想一想：连续型随机变量，当变化时，密度曲线怎样变化？当变化时，密度曲线又怎样变化？解惑 若，的密度曲线为，即以直线为对称轴，当时，有极大值. 所以当变化而时不变时，密度曲线往右移，形状不变；当变大，而不变时，密度曲线更平缓（高度更低），当变小，而不变时，密度曲线更陡峭（高度更高）.第2.4节 分布函数停下来想一想：在早以前，有的书上将分布函数定义为：，切记我们这里是：解惑 有的书上将分布函数定义为，这样定义的分布函数能实现现定义的一切功能，只不过由定义的分布函数是右连续的，而由定义的分布函数是左连续的，为了方便还是定义统一的分布函数比较好.停下来想一想：离散型随机变量的分布函数，自变量的变化区间总是左闭右开的，分布函数是一个跳跃函数，跳的位置就是随机变量的取值，跳跃的高度就是取相应值的概率解惑 例如设的概率分布为02030502则由分布函数的定义求得的分布函数为可以看出离散型随机变量是阶梯函数，只有跳跃间断点，其间断点正好是的所有取值，而分布函数在点的跳跃的高度正好为，恰好是的概率，分布函数在点的跳跃的高度正好为，恰好是的概率，而分布函数在点的跳跃的高度正好为.停下来想一想：总结离散型随机变量，由分布列求分布函数，由分布函数求分布列的方法掌握利用分布函数求随机变量取值概率的方法解惑 离散型随机变量，由分布列求分布函数时只要以的取值为分段点，以左累积概率为各段的函数值做右连续的阶梯函数即可，如的概率分布为：其中，则的分布函数为.反之，若给出离散型随机变量的分布函数为：则的概率分布必为利用分布函数求随机变量取值概率的方法总结如下9个公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）.停下来想一想：连续型随机变量的分布函数是连续函数；分布函数的自变量变化区间是左闭右开的，也可以是其他形式；总结由密度求分布函数和由分布函数求密度的方法解惑 对于连续型随机变量，若已知的概率密度函数为，那么随机变量的分布函数为，即分布函数是密度函数的一个原函数，已知密度函数求分布函数只需对做变上限积分.反之，由上式可知，若已知的分布函数为，在密度函数连续点处，有，即为得到密度函数，只需对求其导函数2. 易错警示在理解随机变量相关概念的过程中，为避免犯各类错误，需注意以下几方面.（1）连续型随机变量取任何点的概率均为0，而离散型随机变量取某点的概率要视此点是否是它的可能取值而定，因此离散型随机变量要“点点计较”而连续型随机变量可“点点不计较”.（2）连续型随机变量的密度未必连续，如均匀分布和指数分布，但连续型随机变量的分布函数必连续.（3）连续型随机变量的密度函数并不是事件的概率，而与离散型随机变量的在概率中的意义相似，它可作为在上取值的概率的近似值.（4）求随机变量的分布函数时，要注意对自变量的讨论，离散型随机变量的分布函数都是分段函数，分段点即为随机变量的所有取值点；如果连续型随机变量的密度是分段函数，一般而言，它的分布函数也是分段函数，且分段情况由密度函数的分段点决定.（5）离散型随机变量的分布函数是右连续的阶梯函数，一定要注意在分段区间等号的处理，保证分布函数的右连续，例如，0-1分布的分布函数为，而或都是错误的.连续型随机变量的分布函数是连续的，所以在分段区间等号的处理可以随意，例如若连续型随机变量的密度为，分布函数写为或都是正确的.（6）既非离散型又非连续型的随机变量的分布是否存在？我们通常讨论的随机变量是离散型和连续型两类. 事实上，随机变量的分布也存在既非离散型又非连续型的. 请看例子：设一个随机变量的分布函数为，可以验证它满足分布函数的四个条件，但它不是阶梯函数，故不是离散型随机变量的分布；它在1点不连续，所以也不是连续型随机变量的分布.（7）离散型随机变量的函数分布一定还是离散型的，但连续型随机变量的函数分布未必是连续型的. 举例如下：随机变量服从上的均匀分布，,因为只能取三个值，故是离散型随机变量.3. 思想方法释义在全部的数学研究中，转换是无处不在的灵活、熟练地实现问题的转换，这是数学修养高的一个重要标志转换与变换是在研究和解决数学问题时采取迂回的手段，来达到最终目的的一种数学思维方法，也就是把将要研究解决的原问题转换或者变换为与它等价的新问题 ，这样从转换或者变换的角度出发可能会形成一系列解决问题的策略思路.概率论能由最初研究赌博问题而起源的“灰色科学”发展成为一个理论基础坚实，逻辑结构严谨，应用广泛的学科，正是使用了转换与变换这一强有力的数学思维方法，一次又一次地推动着概率论向前发展，使之完善，使之飞跃.帮助与提高一、教材(A)类题解答习题 2.2（A）1. 设为随机变量，且，则（1） 判断上面的式子是否为的概率分布；（2） 若是，试求和解 （1）显然，且所以为的概率分布.（2）依题知，2已知，且，求 解 因为，而，所以，即.3设一次试验成功的概率为，不断进行重复试验，直到首次成功为止用随机变量表示试验的次数，求的概率分布解 .4设自动生产线在调整以后出现废品的概率为，当生产过程中出现废品时立即进行调整，代表在两次调整之间生产的合格品数（1）求的概率分布； （2）当时，求解 （1）.（2）.5一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有一个答案是正确的求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？解 设为此学生5道选择题中靠猜测能猜对的题数，因为学生靠猜测答对每道题的概率为，所以. 所以.6为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员根据经验每台设备发生故障的概率为0.01，各台设备工作情况相互独立（1）若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；（2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？解 （1）设为20台设备中发生故障的台数，则，如果设备发生故障的台数多于1台，就不能及时得到维修，所以按(泊松)分布近似，所求概率为：（2）设为100台设备中发生故障的台数，则, 由于1台发生故障由1人处理，故当设备发生故障的台数多于配备的维修人员数时，就不能及时得到维修，若设需配备的维修人员数为人，则按(泊松)分布近似），查表得7设随机变量服从参数为的Poisson分布，且，求：（1）； （2）解 （1）因为，所以.（2）.8设书籍上每页的印刷错误服从Poisson分布经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率解 设书籍上每页的印刷错误为, 则,因为，即，求得. 所以每页上没有印刷错误的概率为，故任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.9在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求：（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；（2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率.解 （1）从中午12时至下午3时的时间间隔为，所以急救中心收到紧急呼救的次数, 故从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率为（2）所以从中午12时至下午5时收到紧急呼救的次数，故.10已知的概率分布为：-2-101232a3a a a 2a 试求（1）； （2）的概率分布解（1）由概率分布的性质，求得.（2）-1038习题2.3（A）1设连续型随机变量的概率密度曲线如图2-1所示，试求（1）的值；（2）的概率分布； f (x)图2-1t o 1 2 30.5x（3）解（1）由密度函数的性质知即，求得 .（2）从图2-1可看出的概率密度为分段函数，为.（3）.2设连续型随机变量的概率密度为试确定常数并求解 令，即，所以，又因为，所以. 故.3乘以什么常数将使变成概率密度函数？解 令，即，又因为，即，所以.4 随机变量，其概率密度函数为 ，试求；若已知，求常数解 因为，所以, .由于，由正态分布的对称性可知.5 设连续型随机变量的概率密度为以表示对的三次独立重复试验中“”出现的次数，试求概率解 因为，故, 所以6 设随机变量服从0,5上的均匀分布，试求，如果 （1）； （2）解 的概率密度为. 所以（1）；（2）.7设顾客排队等待服务的时间（以分计）服从的指数分布某顾客等待服务，若超过10分钟，他就离开他一个月要去等待服务5次，以表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求的概率分布和解 依题知的概率密度为 于是因此，故.习题 24（A）1已知随机变量的概率分布为，试求的分布函数；画出的曲线图2-2解 ；的曲线如图2-2所示 2设连续型随机变量的分布函数为试求（1）的概率分布； （2）解（1） （2）.3从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的，且概率均是0.4，设为途中遇到红灯的次数，试求（1）的概率分布； （2）的分布函数解（1），即的概率分布为 （2）的分布函数4试求习题23中第1题的分布函数，并画出的曲线解 习题2.3中第1题的密度函数为所以分布函数为的曲线如图2-3所示图2-35设连续型随机变量的分布函数为试求：（1）的值； （2）； （3）概率密度函数解（1）因为，解得； 又因为，所以.（2）（3） 6设为连续型随机变量，其分布函数如下试确定中常数的值解 因为，又因为 所以 ；又因为 所以 ；因为为连续型随机变量，所以分布函数连续，故，求得；同理 ，即，求得.7 设随机变量的概率密度函数为，试确定的值并求和解 因为，即，求得.所以. 8假设某地在任何长为(年)的时间间隔内发生地震的次数服从参数为的Poisson分布，表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：年） （1）证明服从指数分布并求出的分布函数； （2）求今后3年内再次发生地震的概率； （3）求今后3年到5年内再次发生地震的概率解（1）当时，所以当时，. 故即服从参数的指数分布.（2）3年内再次发生地震的概率为.（3）3年到5年内再次发生地震的概率为9 设，试计算：（1）； （2）；（3）； （4）.解（1）（2）（3）（4） .10某科统考成绩近似服从正态分布，第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分？解 由题意，而又因为，所以.又，故，.11设随机变量和均服从正态分布，而，试证明：.证明 因为所以.12 设随机变量服从均匀分布，令，试求随机变量的密度函数解 ，当时，当时，二、教材(B)类题解答习题 2.2（B） 1设随机变量的概率分布为，其中，若，求解 由知，,又，且，所以可求得. 故. 2 某射手向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此射手第4次射击恰好第2次击中目标的概率为 （A） （B） （C） （D） 解 应选（C）. 因为射手第4次射击恰好第2次, 表明此射手前三次恰好射中一次，第四次射中，由独立性知此概率为：，故选 C.3 某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比（1）设表示目标被击中的次数，求的分布列；（2）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求 .解 (1）某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为，表示目标被击中的次数，故，也即：01234 (2) 设表示第一次击中目标时击中第部分，表示第二次击中目标时击中第部分，依题意知相互独立，且,又由于，所以 习题2.3（B）1 设为标准正态分布的概率密度，是上均匀分布的概率密度，若为概率密度，求的值解 因为，又为标准正态分布的概率密度，是偶函数，所以；是上均匀分布，所以；故将上边的等式两边同乘以4，得.2设随机变量服从上的均匀分布，事件，事件，试求解 由均匀分布的性质知：；.3 在区间中随机地取两个数，求这两个数之差的绝对值小于的概率1140.50.5Ayx图2-40解 设两数分别为，则，所以所有可能结果的集合. 且每个结果出现的可能性相等，记为事件“两数之差的绝对值小于”，那么（如图2-4所示），由几何概型的解法得4设随机变量服从，服从，且，则必有（ ）. （A） (B) (C) (D) 解 应选（A）. 因为由正态分布的计算同理；由已知，故即，所以，也即.习题 2.4（B）1设随机变量的分布函数 求解 由分布函数计算概率的公式知.2设随机变量的概率密度为，令，求：（1）的概率密度； （2）解 （1）先求的分布函数，再对求导即可.当时，所以；当时，, .当时，所以；因此密度函数为（2）.3设随机变量的概率密度为是的分布函数，求随机变量的分布函数解 先求出的分布函数的具体形式，从而可确定，然后按定义求的分布函数即可. 注意应先确定的值域范围，再对分段讨论.易见，当时，; 当 时，.对于，有设是随机变量的分布函数. 显然，当时，；当时，; 对于，有 = =于是，的分布函数为 4设随机变量，且二次方程无实根的概率为，求解 因为当且仅当时，无实根，所以又因为，所以，故. 三、考研连线1基础题 题型1求一维离散型随机变量的分布例1 一汽车沿一街道行驶，要经过三个有信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿信号显示的时间相等，求此汽车首次遇到红灯前已通过的路口数的概率分布.解 设=第个路口遇到红灯， 则相互独立，且.的所有可能取值为. 所以；.所以的概率分布为0123 0.50.250.1250.125题型2 判定分布中的参数例2 若随机变量的分布函数为与，则取值为（ ）时，可使为某随机变量的分布函数.（A） （B） （C） （D）解 由分布函数在的极限性质知，不难知即，经验证只有选项（A）正确.例3 设的分布函数为则 ，= .解 由分布函数的右连续性知：，而,. 所以， 从而.题型3 一个函数为某一随机变量的分布函数或分布密度的判定例4 设是任意两个相互独立的连续型随机变量，概率密度分别为和，分布函数分别为和，则（ ）.（A） +必为某一随机变量的概率密度（B） 必为某一随机变量的概率密度（C） +必为某一随机变量的分布函数（D） 必为某一随机变量的分布函数解 分别逐一验证（A）,（B）选项中所述函数是否满足密度函数的两条性质：易知A中，由于+2，不满足密度函数的第二条性质，所以（A）不成立. 在（B）中, 设， 显然不满足密度函数的第二条性质. 再验证（C），（D）选项中所述函数是否满足分布函数的四条性质：在（C）中,+, 显然不满足分布函数的第三条性质. 可以验证（D）选项正确。题型4 求一维随机变量在某一区间的概率例5 设某仪器有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）均服从同一指数分布，其参数为1/600，求在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率.解 设随机变量表示第只元件的使用寿命, ，表示在仪器使用的最初200小时内，电子元件损坏的个数，则，且=故所求概率为.例6 对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（按百分制计）近似服从正态分布，平均72分,且96分以上的考生数占2.3%，求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.解 设表示考生的外语成绩，且, 则即，查表得，则，即，故例7 设,且,其分布函数为,则对任意实数, 则=( ). （A） （B） （C） （D）解 因为，所以，从而故选（B）.题型5求一维随机变量函数的分布例8 设随机变量的概率密度函数，求随机变量的概率密度函数.解 的分布函数为 =则 .例9 设随机变量的密度函数为，求的密度函数。解 函数在内严格单调递增，其反函数为，在内严格单调递减，其反函数为.由于，而只在内取非零值，故只有在（0，1）内才有非零的密度. 当及时，均有 ；当时，=两端对求导得所以.2拓展题题型1 全概率公式与正态分布（或其他分布）的综合题例10 某种电子元件在电源电压不超过200伏，200伏240伏及超过240伏的三种情况下，损坏率依次为0.1,0.001,及0.2,设电源电压,求： （1）此种电子元件的损坏率； （2）此种电子元件损坏时，电源电压在200至240伏的概率。 解 设分别表示电源电压不超过200伏，200至240伏及超过240伏的三个事件，由于,不难算得，)=, 由于是一个完备事件组，设为电子元件损坏，由全概率公式有（1） （2）由Bayes公式，.题型2求非离散非连续的随机变量的分布例11 设随机变量的绝对值不大于1， ,在事件出现的条件下，在区间内的任意子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求的分布函数.解 显然， ,又在事件出现的条件下，在区间内的任意子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，所以可设当时,，下面为确定比例系数，令, 则而易知，所以. 下面求的分布函数：当时，；当时，因，而故此时. 当时，；即四、探究与应用随机变量的概率分布 本章中我们用随机变量去描述随机现象，并用随机变量的概率分布来刻划随机变量，自然有两个问题需要探讨：1.我们常假设这个随机变量的概率分布是已知的，但在实际中，情况并非如此，随机变量所服从的分布可能是完全不知道的，那么随机变量的概率分布是如何得到的呢？2.知道了随机变量的概率分布对于我们解决实际生产生活中的问题有什么帮助呢？问题的解决 对于第一个问题，我们可以利用采集到的关于这个随机变量的统计数据和后面要介绍的数理统计的知识来解决，大部分的情况是将随机变量的近似分布找到.这里重点要探讨第二个问题，当我们找到了一个随机变量的分布或近似分布（大部分情况如此）时，如何使用它解决实际生产生活中遇到的问题，下面将用两个实例来展示一下随机变量的分布如何为我们服务.实例1 公交车门高度设计问题 我们经常乘坐公交车，公交车的车门的高度的设计与人的身高有关，不能太矮，否则不小心容易撞到头，也不能太高，否则公交车整体设计高度太高，即不经济也不安全，那么如何设计车门的高度比较合理呢？探究 根据概率统计的常识，人的身高服从态分布（汽车设计手册中也是这样指出的），小孩的身高比较矮，可以不考虑，成年女子的身高一般也比同龄的男子矮，因此在设计公交车的车门高度时，我们重点考虑成年男性，根据各国统计资料，可得各国各民族男子身高的和值.比如对于中国人，（当然根据时间的不同，统计数据也可能有所不同，这里仅以此数据为例），现要求上下车时要低头的成年男人不超过0.5%，车门需要多高呢？问题的解决 设车门高度为，为中国成年男子的身高，则，则成年男子乘客需低头的概率为要求上面的概率小于0.5%，即，也即解得，所以车门高度设计为1.9米即可. 实例2 邮局服务窗口设定问题 我们经常去邮局或银行办理业务，如果邮局开设的窗口太少，经常排长队，耽误我们的时间也会使邮局或银行失去客户，但如果开设的窗口太多会造成资源的浪费，增加邮局的运营成本，那就要考虑开多少窗口才合理呢？探究 邮局开多少个窗口即与客户的总人数有关，又与客户在某一时刻去邮局办业务的人数有关，而客户是随机到达邮局的，因此我们考虑利用概率知识解决这一问题.问题的解决 设有一个邮局，可由统计资料估计客户数为个，开个窗口，每个窗口都办理所有业务. 假定在每一指定时刻，这个客户中每个客户是否去邮局办业务是独立的，每个客户去邮局的概率都是（这个参数也需统计估计）. 现要求“在营业中任一时刻每个窗口的排队人数（包括正在接受服务的人）不超过”的概率不小于（一般取0.80,0.90,0.95等大概率），我们要问至少设为多少？由上面的分析排队的人数，而我们的要求是，而所以给定参数，通过解，找到满足上面不等式的最小的，就是我们要估计出的最合适的窗口数.当然我们上面的假设有些还不是很合理，专门研究排队论的文献里有更精确地解决方法，但也是利用概率论中关于分布的知识.通过上面两个小问题，我们发现随机变量的分布确能为我们的实际问题服务，比如国家标准部门制定服装标准时就要参考各类人群的身高，胸围，腰围，上体长等指