等比数列的前n项和公式经典教案.doc

等比数列的前n项和公式【学习目标】1掌握等比数列的前n项和公式及推导公式的思想方法和过程，能够熟练应用等比数列的前n项和公式解决相关问题，提高应用求解能力.2通过对等比数列的前n项和公式的推导与应用，使学生掌握错位相减法、方程思想、划归思想等数学思想和方法.3激情参与，惜时高效，感受数学思维的严谨性.【重点】：等比数列的前n项和公式的推导和应用.【难点】：应用等比数列的前n项和公式解决具体问题.【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握正弦定理及其简单应用; 2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.一、知识温故1.如何求等比数列的通项公式？2. 等比数列具有哪些性质？.教材助读1. 在等比数列中，的和与首尾两项和有什么关系？2. 如何推导等比数列的前n项和公式？3. 等比数列的前n项和公式:,代入等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式还可以写成【预习自测】1设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则等于()A11 B5C8 D112记等比数列an的前n项和为Sn，若S32，S618，则等于()A3 B5C31 D331、答案D解析由8a2a50得8a1qa1q40，q2，则11.【我的疑惑】 知识要点归纳：1等比数列前n项和公式：(1)公式：Sn = (q1). (q1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q1的情况2若an是等比数列，且公比q1，则前n项和Sn(1qn)A(qn1)其中A .3推导等比数列前n项和的方法叫 法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和4等比数列an的前n项和为Sn，当公比q1时，Sn ；当q1时，Sn .5等比数列前n项和的性质：(1)连续m项的和(如Sm、S2mSm、S3mS2m)，仍构成 数列(注意：q1或m为奇数)(2)SmnSmqmSn(q为数列an的公比)二、典型范例.质疑探究质疑解惑、合作探究探究点 等比数列的前n项和公式问题1：怎么求等比数列的前n项和？写出公式的推导过程。设等比数列a1，a2，a3，an，它的前n项和Sna1a2a3an，由等比数列的通项公式可将Sn写成：Sna1a1qa1q2a1qn1. 则qSna1qa1q2a1qn1a1qn 由得：(1q)Sn .当q1时，Sn .因为ana1qn1，所以Sn可以用a1，q，an表示为Sn .当q1时，由于a1a2an，所以Sn .问题2下面提供了一种利用比例的性质推导等比数列前n项和公式的方法，请你补充完整：由等比数列的定义知：q.当q1时，由等比性质得：q，即q.故Sn .当q1时，易知Sn .归纳总结（1） 求等比数列的前n项和：已知首项和第n项时，用公式 （公式一）；已知首项和公差q时，用公式 （公式2）（2）等比数列的五个量中，已知 三个 ，可以求出 另外两个 。（3）由可知：是 (4) 是数列求和的一种重要方法。问题探究一错位相减法求和问题教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列an与一个等比数列bn对应项之积构成的新数列求和下面是利用错位相减法求数列前n项和的步骤和过程，请你补充完整设Sn，Sn ，SnSn ，即Sn Sn 2.例1在等比数列an中，S3，S6，求an.解由已知S62S3，则q1，又S3，S6，即得1q39，q2.可求得a1，因此ana1qn12n2.问题探究二等比数列前n项和Sn与函数的关系问题当公比q1时，因为a10，所以Snna1，是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)当q1时，数列S1，S2，S3，Sn，的图象是正比例函数ya1x图象上一些孤立的点当公比q1时，等比数列的前n项和公式是Sn，它可以变形为Snqn，设A，上式可写成SnAqnA.由此可见，q1的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数当q1时，数列S1，S2，S3，Sn，的图象是函数yAqxA图象上的一些孤立的点例如，若an是等比数列，且前n项和为Sn3n1t，则t_.问题探究三等比数列前n项和的性质问题1等比数列an的前n项和为Sn，公比为q，求证：SmnSmqmSn.证明左边Smn(a1a2am)(am1am2amn)Sm(a1qma2qmanqm)Sm(a1a2an)qmSmqmSn右边，SmnSmqmSn.三、过关测试一、选择题1已知等比数列an的前n项和为Sn，且a11，a464，则S4等于()A48 B49C50 D512在等比数列an中，公比q是整数，a1a418，a2a312，则此数列的前8项和为()A513 B512C511 D5103设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则等于()A11 B5C8 D114设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则等于()A2 B4C. D.5已知an是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan1等于()A16(14n) B16(12n)C.(14n) D.(12n)6设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a41，S37，则S5等于()A. B.C. D.二、填空题7等比数列an的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则an的公比为_8设等比数列an的前n项和为Sn，若a11，S64S3，则a4_.9若等比数列an中，a11，an512，前n项和为Sn341，则n的值是_三、解答题10设等比数列an的前n项和为Sn，已知a26,6a1a330，求an和Sn.11在等比数列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n.12.已知等比数列an中，a12，a32是a2和a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)记bnanlog2an，求数列bn的前n项和Sn.四、探究与拓展13已知等差数列an满足a20，a6a810.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前n项和四、课后练习一、选择题1在各项都为正数的等比数列an中，首项a13，前3项和为21，则a3a4a5等于()A33 B72 C84 D1892某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为()A1.14a B1.15aC10a(1.151) D11a(1.151)3已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和为()A.和5 B.和5C. D.4一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)()A300米 B299米C199米 D166米5数列an的前n项和为Sn，若a11，an13Sn(n1)，则a6等于()A344 B3441C45 D4516某企业在今年年初贷款a万元，年利率为，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还()A.万元 B.万元C.万元 D.万元二、填空题7等比数列an共2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_.8等比数列an中，前n项和为Sn，S32，S66，则a10a11a12_.9某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为_三、解答题10在等比数列an中，已知S3013S10，S10S30140，求S20的值11利用等比数列前n项和公式证明anan1ban2b2bn，其中nN*a，b是不为0的常数，且ab.12.已知an是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，amk，ank，alk也成等差数列四、探究与拓展13某家用电器一件现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率