考研数学三部分重要知识点归纳(仅推荐给中等数学水平的考生).doc

高等数学部分易混淆概念第一章：函数与极限一、数列极限大小的判断例1：判断命题是否正确若，且序列的极限存在，解答：不正确在题设下只能保证，不能保证例如：，而例2选择题设，且（ ） A存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C不一定存在 D. 一定不存在 答：选项C正确 分析：若，由夹逼定理可得，故不选A与D. 取，则，且，但 不存在，所以B选项不正确，因此选C例3设（ ） A都收敛于 B. 都收敛，但不一定收敛于 C可能收敛，也可能发散 D. 都发散 答：选项A正确 分析：由于，得，又由及夹逼定理得 因此，再利用得所以选项A二、无界与无穷大无界：设函数的定义域为，如果存在正数，使得则称函数在上有界，如果这样的不存在，就成函数在上无界；也就是说如果对于任何正数，总存在，使，那么函数在上无界无穷大：设函数在的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义）如果对于任意给定的正数（不论它多么大），总存在正数（或正数），只要适合不等式（或），对应的函数值总满足不等式则称函数为当（或）时的无穷大例4：下列叙述正确的是： 如果在某邻域内无界，则 如果，则在某邻域内无界解析：举反例说明设，令，当时，而 故在邻域无界，但时不是无穷大量，则不正确 由定义，无穷大必无界，故正确结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大三、函数极限不存在极限是无穷大当（或）时的无穷大的函数，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”但极限不存在并不代表其极限是无穷大例5：函数，当时的极限不存在四、如果不能退出例6：，则，但由于在的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论在的极限结论：如果，且在的某一去心邻域内满足，则反之，为无穷大，则为无穷小。五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等。例7求极限解：，因而时极限不存在。 ，因而时极限不存在。六、使用等价无穷小求极限时要注意：（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用。这时，一般可以用泰勒公式来求极限。（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换例8：求极限分析一：若将写成，再用等价无穷小替换就会导致错误。分析二：用泰勒公式原式。例9：求极限解：本题切忌将用等价代换，导致结果为1。七、函数连续性的判断（1）设在间断，在连续，则在间断。而在可能连续。例10设，则在间断，在连续，在连续。若设，在间断，但在均连续。（2）“在点连续”是“在点连续”的充分不必要条件。分析：由“若，则”可得“如果，则”，因此，在点连续，则在点连续。再由例10可得，在点连续并不能推出在点连续。（3）在连续，在连续，则在连续。其余结论均不一定成立。第二章 导数与微分一、函数可导性与连续性的关系可导必连续，连续不一定可导。例11在连读，在处不可导。二、与可导性的关系（1）设，在连续，则在可导是在可导的充要条件。（2）设，则是在可导的充要条件。三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论设，在连续，但不可导，又存在，则是在可导的充要条件。分析：若，由定义 反之，若存在，则必有。用反证法，假设，则由商的求导法则知在可导，与假设矛盾。利用上述结论，我们可以判断函数中带有绝对值函数的可导性。四、在某点存在左右导数时原函数的性质（1）设在处存在左、右导数，若相等则在处可导；若不等，则在连续。（2）如果在内连续，且设则在处必可导且。若没有如果在内连续的条件，即设，则得不到任何结论。例11，显然设，但，因此极限不存在，从而在处不连续不可导。第三章 微分中值定理与导数的应用一、若若，不妨设，则，再由微分中值定理同理，当时，若，再由微分中值定理 同理可证时，必有第八章 多元函数微分法及其应用8.1多元函数的基本概念1. ,使得当,且时,有,那么成立了吗?成立,与原来的极限差异只是描述动点与定点的接近程度的方法不一样,这里采用的是点的矩形邻域, ,而不是常用的圆邻域,事实上这两种定义是等价的.2. 若上题条件中的条件略去,函数就在连续吗?为什么? 如果条件没有,说明有定义,并且包含在该点的任何邻域内,由此对,都有,从而,因此我们得到,即函数在点连续.3. 多元函数的极限计算可以用洛必塔法则吗?为什么? 不可以,因为洛必塔法则的理论基础是柯西中值定理.8.2 偏导数1. 已知,求 令,那么解出,得,所以或者8.3全微分极其应用1.写出多元函数连续,偏导存在,可微之间的关系偏导数, 连续Z可微 连续 极限存在偏导数, 连续偏导数, 存在2. 判断二元函数在原点处是否可微.对于函数,先计算两个偏导数:又令,则上式为因而在原点处可微.8.4多元复合函数的求导法则1. 设,可微,求.8.5隐函数的求导1. 设,都是由方程所确定的具有连续偏导数的函数,证明.对于方程,如果他满足隐函数条件.例如,具有连续偏导数且,则由方程可以确定函数,即是,的函数,而,是自变量,此时具有偏导数,同理, ,所以.8.6多元函数的极值及其求法1.设在点处具有偏导数,若,则函数在该点取得极值,命题是否正确? 不正确,见多元函数极值存在的充分必要条件.2.如果二元连续函数在有界闭区域内有惟一的极小值点，且无极大值，那么该函数是否在该点取得最小值？ 不一定，对于一元函数来说上述结论是成立的，但对于多元函数，情况较为复杂，一般来说结论不能简单的推广。 例如，二元函数，由二元函数极值判别法： ，解得 ， 解得 故得驻点， 由于 ，以及，所以，是函数的惟一极小值点，但是，故不是在D上的最小值.第十一章 无穷级数11.1常数项级数的概念和性质1. 若通项，则级数收敛，这种说法是否正确？否2. 若级数加括号后所成的新级数发散，则原级数必定发散，而加括号后所的级数收敛，则无法判定原级数的敛散性，这种说法是否正确？正确11.2常数项级数的审敛法1. 若级数收敛，则级数一定收敛。判断这句话是否正确？不正确，如，2. 若正项级数收敛，判断级数的敛散性。 收敛 因为，由于收敛，收敛，于是收敛。3. 收敛则一定绝对收敛，绝对收敛不一定收敛。1、行列式1. 行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；2. 代数余子式的性质：、和的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；3. 代数余子式和余子式的关系：4. 设行列式：将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；将主副角线翻转后，所得行列式为，则；5. 行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积；、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；、和：副对角元素的乘积；、拉普拉斯展开式：、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；7. 证明的方法：、；、反证法；、构造齐次方程组，证明其有非零解；、利用秩，证明；、证明0是其特征值；2、矩阵1. 是阶可逆矩阵：（是非奇异矩阵）；（是满秩矩阵）的行（列）向量组线性无关；齐次方程组只有零解；，总有唯一解；与等价；可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为0；是正定矩阵；的行（列）向量组是的一组基；是中某两组基的过渡矩阵；2. 对于阶矩阵： 无条件恒成立；3.4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：若，则：、；、；、；（主对角分块）、；（副对角分块）、；（拉普拉斯）、；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵、，若；2. 行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非0元素必须为1；、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、 若，则可逆，且；、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； 、对调两行或两列，符号，且，例如：；、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；、倍加某行或某列，符号,且，如：；5. 矩阵秩的基本性质：、；、；、若，则；、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）、；（）、；（）、；（）、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（）、的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）；、若、均为阶方阵，则；6. 三种特殊矩阵的方幂：、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；、型如的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：；注：、展开后有项；、组合的性质：；、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：、伴随矩阵的秩：；、伴随矩阵的特征值：；、8. 关于矩阵秩的描述：、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；（两句话）、，中有阶子式全部为0；、，中有阶子式不为0；9. 线性方程组：，其中为矩阵，则：、与方程的个数相同，即方程组有个方程；、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程；10. 线性方程组的求解：、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：、；、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数）、（全部按列分块，其中）；、（线性表出）、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1. 个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. 、向量组的线性相关、无关有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；(例14)4. ；(例15)5. 维向量线性相关的几何意义：、线性相关；、线性相关坐标成比例或共线（平行）；、线性相关共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若线性相关，则必线性相关；若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则(二版定理7)；向量组能由向量组线性表示，则；（定理3）向量组能由向量组线性表示有解；（定理2）向量组能由向量组等价（定理2推论）8. 方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解、矩阵列等价：（右乘，可逆）；、矩阵等价：（、可逆）；9. 对于矩阵与：、若与行等价，则与的行秩相等；、若与行等价，则与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵的行秩等于列秩；10. 若，则：、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、只有零解只有零解；、有非零解一定存在非零解；12. 设向量组可由向量组线性表示为：（题19结论）（）其中为，且线性无关，则组线性无关；（与的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：；充分性：反证法）注：当时，为方阵，可当作定理使用；13. 、对矩阵，存在，、的列向量线性无关；（）、对矩阵，存在，、的行向量线性无关；14. 线性相关存在一组不全为0的数，使得成立；（定义）有非零解，即有非零解；，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩为：；16. 若为的一个解，为的一个基础解系，则线性无关；（题33结论）5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵或（定义），性质：、的列向量都是单位向量，且两两正交，即；、若为正交矩阵，则也为正交阵，且；、若、正交阵，则也是正