2018-2019学年江苏省南京市高三(上)期中数学试卷(理科).doc

2018-2019学年江苏省南京市高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1（5分）设集合Ax|x是小于4的偶数，B3，1，2，4，则AB 2（5分）命题“x0，x20”的否定为 3（5分）若复数（aR，i是虚数单位）是纯虚数，则a 4（5分）函数的定义域为 5（5分）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且A45，C75，a1，则b 6（5分）已知函数是奇函数，则f（1）+f（0） 7（5分）已知e为自然对数的底数，函数yexlnx在1，e的最小值为 8（5分）已知函数f（x）x22ax+4在（1，+）上是增函数，则f（2）的取值范围为 9（5分）将函数的图象向左平移（）个单位弧，所得函数图象关于直线对称，则 10（5分）在ABC中，已知（tanA+1）（tanB+1）2，则cosC 11（5分）已知x0，y0，x+y1，则的最小值为 12（5分）已知函数f（x）x（2x2x），则不等式f（2）f（lgx）的解集为 13（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4（tanA+tanB）+，则cosC的最小值为 14（5分）已知函数，若函数y2f2（x）+3mf（x）+12m有6个不同的零点，则实数m的取值范围是 二、解答题（本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（14分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角C；（2）若，求cosA的值16（14分）已知函数f（x）x2+（1k）x+2k（1）解关于x的不等式f（x）2；（2）对任意的x（1，2），f（x）1恒成立，求实数k的取值范围17（14分）已知函数f（x）logax+log4x（0a1）为增函数（1）求实数a的取值范围；（2）当a4时，是否存在正实数m，n（mn），使得函数f（x）的定义域为m，n，值域为，？如果存在，求出所有的m，n，如果不存在，请说明理由18（16分）如图，郊外有一边长为200m的菱形池塘ABCD，塘边AB与AD的夹角为60，拟架设三条网隔BE，BF，EF，把池塘分成几个不同区域，其中网隔BE与BF相互垂直，E，F两点分别在塘边AD和DC上，区域BEF为荷花种植区域记ABE，荷花种植区域的面积为Sm2（1）求S关于的函数关系式；（2）求S的最小值19（16分）已知函数f（x）x3+3ax2+（36a）x+12a（aR）（1）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；（2）若对任意的a1，1，不等式f（x）m在x1，1恒成立，求实数m的取值范围；（3）若f（x）在xx0处取得极小值，且x0（0，3），求实数a的取值范围20（16分）已知函数f（x）ex，g（x）mx2mR，e为自然对数的底数（1）如果函数h（x）f（x）g（x）在（0，+）上单调递增，求m的取值范围；（2）若直线ykx+1是函数yf（x）图象的一条切线，求实数k的值；（3）设x1，x2R，且x1x2，求证：2018-2019学年江苏省南京市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1（5分）设集合Ax|x是小于4的偶数，B3，1，2，4，则AB2【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】36：整体思想；49：综合法；5J：集合【分析】B是有限集，从中找出满足集合A的元素即可【解答】解：AB2故答案为：2【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题2（5分）命题“x0，x20”的否定为x0，使x20【考点】2J：命题的否定菁优网版权所有【专题】11：计算题；49：综合法；5L：简易逻辑【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“x0，x20”的否定为：x0，使x20故答案为：x0，使x20【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，是基本知识的考查3（5分）若复数（aR，i是虚数单位）是纯虚数，则a2【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解【解答】解：是纯虚数，得a2故答案为：2【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题4（5分）函数的定义域为（，1）（3，+）【考点】33：函数的定义域及其求法菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4A：数学模型法；51：函数的性质及应用【分析】由对数式的真数大于0求解一元二次不等式得答案【解答】解：由x24x+30，得x1或x3函数的定义域为（，1）（3，+）故答案为：（，1）（3，+）【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题5（5分）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且A45，C75，a1，则b【考点】HP：正弦定理菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形【分析】由已知利用三角形内角和定理可求B的值，根据正弦定理可求b的值【解答】解：A45，C75，a1，B180AC60，由正弦定理可得：b故答案为：【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题6（5分）已知函数是奇函数，则f（1）+f（0）【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断菁优网版权所有【专题】34：方程思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】由奇函数得f（0）0，求出a，进而求出f（1），求和得结果【解答】解：f（x）是奇函数，f（0）0，a+0，a，f（1）+则f（1）+f（0）故答案为：【点评】本题考查函数的奇偶性，根据奇函数f（0）0求出a值，是解决该类问题的关键，属基础题7（5分）已知e为自然对数的底数，函数yexlnx在1，e的最小值为e【考点】6E：利用导数研究函数的最值菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用【分析】求出函数的导数，得到极值点，判断端点的函数值，然后求解函数的最小值【解答】解：e为自然对数的底数，函数yexlnx，可得ye，令e0，可得x，x1，e时，y0，所以函数yexlnx在1，e上是增函数，所以函数的最小值为：e故答案为：e【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最小值的求法，考查转化思想以及计算能力8（5分）已知函数f（x）x22ax+4在（1，+）上是增函数，则f（2）的取值范围为12，+）【考点】3V：二次函数的性质与图象菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用【分析】根据二次函数的单调性求出a的范围，从而求出f（2）的范围即可【解答】解：函数的对称轴是xa，故a1，4a4，故f（2）44a+484a12，故答案为：12，+）【点评】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题9（5分）将函数的图象向左平移（）个单位弧，所得函数图象关于直线对称，则【考点】HJ：函数yAsin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质【分析】由题意利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得的值【解答】解：将函数的图象向左平移（）个单位弧，可得y5sin（2x+2+）的图象，根据所得函数图象关于直线对称，可得2+2+k+，求得，kZ，令k1，可得，故答案为：【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题10（5分）在ABC中，已知（tanA+1）（tanB+1）2，则cosC【考点】GP：两角和与差的三角函数菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4R：转化法；58：解三角形【分析】化简（tanA+1）（tanB+1）2，求得A+B的值，利用三角形内角和求出C的值，进一步得答案【解答】解：ABC中，由（tanA+1）（tanB+1）2，得（sinA+cosA）（cosB+sinB）2cosAcosB，sinAcosB+cosAsinBcosAcosBsinAsinB，化简得sin（A+B）cos（A+B），即tan（A+B）1；又0A+B，A+B，C（A+B）cosC故答案为：【点评】本题考查了三角恒等变换，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题11（5分）已知x0，y0，x+y1，则的最小值为【考点】7F：基本不等式及其应用菁优网版权所有【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用【分析】由已知可得，x+y+12，从而（）x+（y+1），展开利用基本不等式可求【解答】解：x0，y0，x+y1，x+y+12，则（）x+（y+1），当且仅当且x+y1即x，y时取得最小值故答案为：【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题12（5分）已知函数f（x）x（2x2x），则不等式f（2）f（lgx）的解集为（0，）（0，+）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用【分析】根据题意，分析可得函数f（x）x（2x2x）为偶函数且在R上是增函数，则不等式f（2）f（lgx）可以转化为|2|lgx|，解可得x的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，对于函数f（x）x（2x2x），有f（x）（x）（2x2x）x（2x2x）f（x），则函数f（x）为偶函数，函数f（x）x（2x2x），其导数f（x）2x2x+xln2（2x+2x）0，则f（x）为增函数；不等式f（2）f（lgx）|2|lgx|，解可得：0x或x100即不等式的解集是（0，）（100，+）；故答案为：（0，）（0，+）【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意转化为函数的奇偶性与单调性的问题，不要直接解不等式13（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4（tanA+tanB）+，则cosC的最小值为【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4R：转化法；58：解三角形【分析】由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得4sin（A+B）sinA+sinB，结合三角形内角和定理，正弦定理得4ca+b，由余弦定理及a+b4c，可得cosC，再由基本不等式求解【解答】解：（1）4（tanA+tanB）+，4（+），则4（sinAcosB+cosAsinB）sinA+sinB，即4sin（A+B）sinA+sinB，又A+BC，4sinCsinA+sinB，由正弦定理得，4ca+b由余弦定理得cosC4ca+b，cosC，cosC的最小值为故答案为：【点评】本题考查了三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，正弦定理，等差数列的性质，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题14（5分）已知函数，若函数y2f2（x）+3mf（x）+12m有6个不同的零点，则实数m的取值范围是m3【考点】57：函数与方程的综合运用菁优网版权所有【专题】31：数形结合；4J：换元法；51：函数的性质及应用【分析】令tf（x），则原函数y等价为y2t2+3mt+12m，转化为一元二次函数和二次方程问题，结合函数f（x）的图象，讨论t的范围，从而确定m的取值范围【解答】解：令tf（x），则原函数等价为y2t2+3mt+12m，作出函数f（x）的图象如图，图象可知：当t0时，函数tf（x）有一个零点；当t0时，函数tf（x）有三个零点；当0t1时，函数tf（x）有四个零点；当t1时，函数tf（x）有三个零点；当t1时，函数tf（x）有两个零点要使关于x的函数y2f2（x）+3mf（x）+12m有6个不同的零点，则方程2t2+3mt+12m0有两个根t1，t2，且0t11，t21或t10，t21，令g（t）2t2+3mt+12m，则由根的分布可得，将t1，代入g（t）0得m3，此时2t29t+70的另一个根为t，不满足t10，t21，若0t11，t21，则，即，解得m3，故答案为：m3【点评】本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，换元是解决问题的关键，属中档题二、解答题（本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（14分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角C；（2）若，求cosA的值【考点】GP：两角和与差的三角函数菁优网版权所有【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果（2）利用（1）的结论和三角函数关系式中角的变换求出结果【解答】解：（1）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且则，整理得：，故：cosC，由于0C，所以：C（2）由于C，所以：，故：，由于：，所以：，解得：所以：cosAcos（）cos（B），+，【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变变换，角的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型16（14分）已知函数f（x）x2+（1k）x+2k（1）解关于x的不等式f（x）2；（2）对任意的x（1，2），f（x）1恒成立，求实数k的取值范围【考点】3R：函数恒成立问题菁优网版权所有【专题】11：计算题；32：分类讨论；4M：构造法；51：函数的性质及应用【分析】（1）按照k与1的大小分三种情况讨论；（2）分离参数k后，构造函数，利用基本不等式求得最小值即可【解答】解：（1）因为f（x）2，x2+（1k）xk0，（x+1）（xk）0当k1时，1xk，当k1时，不等式无解，当k1时，kx1，综上所述：当k1时，不等式的解集为（1，k）；当k1时，不等式无解；当k1时，不等式的解集为（k，1）；（2）对任意的x（1，2），f（x）1kx+1+1恒成立，令g（x）x+1+1，x（1，2），则kg（x）ming（x）211，即g（x）min1，故k1【点评】本题考查了含参数的一元二次不等式的解法、不等式恒成立、基本不等式属中档题17（14分）已知函数f（x）logax+log4x（0a1）为增函数（1）求实数a的取值范围；（2）当a4时，是否存在正实数m，n（mn），使得函数f（x）的定义域为m，n，值域为，？如果存在，求出所有的m，n，如果不存在，请说明理由【考点】3H：函数的最值及其几何意义菁优网版权所有【专题】34：方程思想；48：分析法；51：函数的性质及应用【分析】（1）求得f（x）的导数，讨论a1，0a1，由导数大于0，可得a的范围；（2）当a4时，可得f（x）2log4x在x0递增，假设存在正实数m，n（mn），使得函数f（x）的定义域为m，n，值域为，可得m，n的方程，解方程即可得到所求m，n的值【解答】解：（1）函数f（x）logax+log4x（x0）的导数为f（x）+，当a1时，f（x）0成立，即f（x）在x0递增；当0a1时，ln（4a）0，即0a，即有f（x）在x0递增，综上可得a的取值范围是（0，）（1，+）；（2）当a4时，可得f（x）2log4x在x0递增，假设存在正实数m，n（mn），使得函数f（x）的定义域为m，n，值域为，即有f（m），f（n），即，可得m，n为方程2log4x即x22x的两个不等正实根，解得m2，n4，则存在m2，n4，使得函数f（x）的定义域为2，4，值域为1，2【点评】本题考查对数函数的单调性和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题18（16分）如图，郊外有一边长为200m的菱形池塘ABCD，塘边AB与AD的夹角为60，拟架设三条网隔BE，BF，EF，把池塘分成几个不同区域，其中网隔BE与BF相互垂直，E，F两点分别在塘边AD和DC上，区域BEF为荷花种植区域记ABE，荷花种植区域的面积为Sm2（1）求S关于的函数关系式；（2）求S的最小值【考点】5C：根据实际问题选择函数类型菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；4A：数学模型法；51：函数的性质及应用【分析】（1）根据正弦定理，即可求出函数的关系式；（2）根据三角函数的性质即可求出【解答】解：（1）由正弦定理可得，即，即，BE，BF，S，（0）；（2）令f（）cos2+sincos+sin2sin（2+）+，当2+，即时，f（）有最大值为+1，此时S有最小值为120006000【点评】本题考查了正弦定理和函数的性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题19（16分）已知函数f（x）x3+3ax2+（36a）x+12a（aR）（1）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；（2）若对任意的a1，1，不等式f（x）m在x1，1恒成立，求实数m的取值范围；（3）若f（x）在xx0处取得极小值，且x0（0，3），求实数a的取值范围【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；4M：构造法；53：导数的综合应用【分析】（1）由f（x）f（x）恒成立可得a0；（2）先按照a构造函数，对a1，1恒成立，得到关于x的不等式恒成立，再对x1，1恒成立；（3）f（x）在xx0处取得极小值，转化为f（x）在（0，3）上先小于0，再大于0即f（0）0，f（3）0【解答】解：（1）f（x）为奇函数，f（x）f（x），即（x）3+3a（x）2+（36a）（x）+12ax33ax2（36a）x12a，也就是6ax2+24a0对一切实数x恒成立，所以a0，（2）因为f（x）mx3+3ax2+（36a）x+12am（3x26x+12）a+x3+3xm0对任意a1，1恒成立，令g（a）（3x26x+12）a+x3+3xm，则，即x3+3x23x+12m0，mx3+3x23x+12对任意的x1，1恒成立，令h（x）x3+3x23x+12，x1，1，则mh（x）max，因为h（x）3x2+6x33（x2+2x1），若h（x0）0，则h（x）在1，x0）上递减，在（x0，1上递增，所以h（x）maxmaxh（1），h（1）max17，1317，所以m17；（3）因为f（x）x3+3ax2+（3a6）x+12a，f（x）3x2+6ax+36a3（x2+2ax+12a），f（x）在xx0处取得极小值，且x0（0，3），0xx0时，f（x）0，x0x3时，f（x）0，即，解得a，所以实数a的取值范围是（，+）【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值、最值属难题20（16分）已知函数f（x）ex，g（x）mx2mR，e为自然对数的底数（1）如果函数h（x）f（x）g（x）在（0，+）上单调递增，求m的取值范围；（2）若直线ykx+1是函数yf（x）图象的一条切线，求实数k的值；（3）设x1，x2R，且x1x2，求证：【考点】6E：利用导数研