高中数学复习专题讲座(第4讲)一元二次函数、二次方程及二次不等式的关系关系.doc

二次函数、二次方程及二次不等式的关系高考要求三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法一重难点1 二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法y=ax2+bx+c（一般式）; y=a(xx0)2+n（顶点式）;y=a(xx1)(xx2)（零点式）.(2)当a0,f(x)在区间p,q上的最大值M，最小值m,令x0= (p+q)）若p,则f(p)=m,f(q)=M; ） 若px0,则f()=m,f(q)=M;）若x0q,则f(p)=M,f()=m; ）若q,则f(p)=M,f(q)=m2 二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小af(r)0;(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r (3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两不同实根(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)f(q)0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立.(5)方程f(x)=0两根的一根小于p,另一根大于q(pq)3 二次不等式转化策略(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c0的解集是 (,),+a0时，f()f() |+|+|, 当a0时，f()|+|;(3)当a0时，二次不等式f(x)0在p,q恒成立或4二例题例1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=bx，其中a、b、c满足abc,a+b+c=0,(a,b,cR)(1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围命题意图 本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力知识依托 解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合错解分析 由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”技巧与方法 利用方程思想巧妙转化(1)证明由消去y得ax2+2bx+c=0=4b24ac=4(ac)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+c2a+b+c=0,abc,a0,c0,0,即两函数的图象交于不同的两点(2)解设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=,x1x2=|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2abc,a+b+c=0,a0,cacc,解得(2,)的对称轴方程是(2,)时，为减函数|A1B1|2(3,12),故|A1B1|()例2已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围 命题意图 本题重点考查方程的根的分布问题知识依托 解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义错解分析用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点技巧与方法 设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制解 (1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，画出示意图，得 (2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组(这里0m1是因为对称轴x=m应在区间(0，1)内通过)例3已知对于x的所有实数值，二次函数f(x)=x24ax+2a+12(aR)的值都是非负的，求关于x的方程=|a1|+2的根的取值范围解由条件知0,即(4a）24(2a+12)0,a2(1)当a1时，原方程化为x=a2+a+6,a2+a+6=(a)2+a=时，xmin=,a=时，xmax=x(2)当1a2时，x=a2+3a+2=(a+)2当a=1时，xmin=6,当a=2时，xmax=12,6x12综上所述,x12三练习1 若不等式(a2)x2+2(a2)x40),若f(m)0,则实数p的取值范围是_4 二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2x),若f(12x2)0且a1)(1)令t=ax,求y=f(x)的表达式；(2)若x(0,2时，y有最小值8，求a和x的值6 如果二次函数y=mx2+(m3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围参考答案1 解析 当a2=0即a=2时,不等式为40,恒成立a=2,当a20时，则a满足,解得2a2,所以a的范围是2a2答案 C2解析f(x)=x2x+a的对称轴为x=,且f(1)0,则f(0)0,而f(m)0,m(0,1),m10,f(m1)0答案A3 解析 只需f(1)=2p23p+90或f(1)=2p2+p+10即3p或p1p(3, )答案 (3，）4 解析 由f(2+x)=f(2x)知x=2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，|12x22|1+2xx22|,2x0答案2x05 解 (1）由loga得logat3=logty3logta由t=ax知x=logat，代入上式得x3=,logay=x23x+3，即y=a (x0)(2)令u=x23x+3=(x)2+ (x0),则y=au若0a1,要使y=au有最小值8，则u=(x)2+在(0，2上应有最大值，但u在(0，2上不存在最大值若a1,要使y=au有最小值8，则u=(x)2+,x(0,2应有最小值当x=时，umin=,ymin=由=8得a=16所求a=16,x=6 解 f(0)=10(1)当m0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意(2）当m0时，则解得0m1综上所述，m的取值范围是m|m1且m0四易错题1已知实系数一无二次方程x2+(1+a)x+a+b+1=0的两实根为x1,x2且0x11,则的取值范围是（ D ）A B. C. D.2如果方程x2+2ax+a+1=0的两个根中，一个比2大，另一个比2小，则实数a的取值范围是 ( a-1)3设方程x2-mx+1=0的两个根为,b,且01,1b2,则实数m的取值范围是 _ (2m5/2)4方程x2+(m-2)x+2m-1=0在(0,1)内只有一根，则m ;在(0,1)内至少有一根，则m 1/2m2/3， m(1/2,6-2 有一根，分为四种情况讨论：(i)f(0)f(1)01/2m2/3;(ii)=0,0(2-m)/21m=6-2;(iii) f(0)=0,则m=1/2,另一根为3/2不合条件; (iv) f(1)=0,m=2/3,另一根为1/3符合题意有两根，则m (2/3,6-2)另法：可以观察二次函数y=x2-2x-1与y= -m(x+2)的图象得到结果5、(四川省成都市新都一中高2008级一诊适应性测试)如果二次方程 x2-px-q=0(p,qN*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有（ ）A 5个 B 6个 C 7个 D 8个答案：C6.(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)如果函数对任意的实数x，都有，那么（ ）A BC D答案：D7、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)设函数f (x)ax2bxc (a0)对任意实数t都有f (2t)f (2t)成立， 在函数值f (1)，f (1)，f (2)，f (5)中最小的一个不可能是( ) Af (1) Bf (1) Cf (2) Df(5)答案：B8、(四川省乐山市2008届第一次调研考试)设函数，若时，有，则实数的取值范围是答案：a9设x,y是关于m的方程m2-2am+a+6=0的两个实根，则(x-1)2+(y-1)2的最小值是（ C ）(A)-1225 (B)18 (C) 8 (D)无最小值10已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解 答案：(-3,2)11、(江苏省盐城市2008届高三六校联考)已知函数f(x)=x2+2x+1，若存在t，当x1,m时，f(x+t)x恒成立，则实数m的最大值为 答案：412、(宁夏区银川一中2008届第六次月考)函数f(x)是奇函数，且在1，1是单调增函数，又f(1)=1, 则满足f(x)t2+2at+1对所有的x1,1及a1,1都成立的t的范围是_答案：(,202,）13、(湖北省随州市200