理学概率4修改ppt课件

第四章随机变量的数字特征,1数学期望2方差3协方差与相关系数4矩,1,随机变量的概率分布反映了随机变量的统计规律性，但是在实际问题中，要确定一个随机变量的分布不是一件容易的事情在许多情况下，并不需要求出随机变量的分布，只须知道从不同角度反映随机变量取值特征的若干个数字就够了，这些数字就称为随机变量的数字特征,例考察一射手的水平,既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.,2,1.1离散型随机变量的数学期望,例1.1一台机床加工某种零件,已知它加工出优质品、合格品和废品的概率依次为0.2、0.7和0.1如果出售优质品和合格品，每一个零件可分别获利0.40元和0.20元;如果加工出一件废品则要损失0.10元.问这台机床每加工出一个零件，平均可获利多少元？,解以X表示加工出一个零件所获得的利润,则X的分布律为,1数学期望,3,其中，和分别是事件、和出现的频率.当很大时，和分别接近于0.1,0.7和0.2。,平均每个零件可获利为,于是可以期望该机床加工出的每一个零件所获得的平均利润为,（元）.,4,定义1.1设离散型随机变量X的分布律为,则称（要求此级数绝对收敛）,设连续型随机变量X的概率密度为f(x),则称,为X的数学期望(或均值),（要求此积分绝对收敛),数学期望的本质加权平均,它是一个数不再是r.v.,为X的数学期望(或均值),5,例1.2设X服从参数为p的(01)分布,求X的数学期望,解X的分布律为,例1.3设，求,解X的分布律为,6,例1.4设，求.,解X的分布律为,例1.5设X参数为p的几何分布，求E(X).,解X的分布律,7,常见离散型r.v.的数学期望,分布,期望,概率分布,参数为p的（0-1）分布,p,B(n,p),np,参数为p的几何分布,8,例1.6已知10件产品中有2件次品，求任意取3件中次品数的数学期望,9,例1.7设X在a,b上服从均匀分布，求E(X),解X的概率密度为,例1.8设X服从参数为的指数分布，求E(X),解X的概率密度为,10,例1.9设，求,解X的概率密度为,11,区间(a,b)上的均匀分布,参数为的指数分布,N(,2),常见连续型r.v.的数学期望,12,1.2随机变量的函数的数学期望,定理1.1设随机变量Y是随机变量X的函数:Y=g(X).,（1）若X为离散型r.v.,概率分布为,（2）若X为连续型r.v.，其概率密度为f(x)，如果广义积分,如果绝对收敛，则随机变量的数学期望是,绝对收敛，则随机变量的数学期望是,注：求随机变量的函数的数学期望方法,（1）先求随机变量Y的分布,再求数学期望（不常用）.,（2）直接应用定理1.1（常用）。,13,例1.10设X的分布律为X2101/21P1/61/31/41/121/6,求,.,解,例1.11设，求,解,14,例1.12设X在区间(0,a)上服从均匀分布，求的数,学期望.,解X的密度为则,解,15,定理1.2设随机变量Z是X、Y的函数Z=g(X,Y)，,（2）若(X,Y)为二维连续型随机变量,联合概率密度为,（1）若(X,Y)为二维离散型随机变量，联合分布律为,如果绝对收敛，则随机变量Z的数学期望是,则随机变量Z的数学期望是,16,例1.14设(X,Y)的联合密度为,求E(X)、E(XY),解,解,17,例1.16设XN(0,1),YN(0,1),X,Y相互独立，求E(maxX,Y).,D1,D2,解,18,1.3数学期望的性质,设C为常数,和都存在。,性质1E(C)=C,性质2,性质3,证只证明连续型随机变量情形，离散型的证明从略,设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，则有,19,分别为fX(x)、fY(y).则有f(x,y)=fX(x)fY(y),于是,性质4若X、Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y),证只对连续型加以证明,设(X,Y)的联合密度为f(x,y),关于X、Y的边缘密度,注：若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定独立。,20,反例,但,21,解,例1.17设X与Y独立，,求,注不是所有的r.v.都有数学期望,例如柯西(Cauchy)分布的密度函数为,它的数学期望不存在!,22,2.1方差及其计算公式,1方差,引例甲、乙两射手各打了6发子弹,每发子弹击中的环数分别为：,甲10,7,9,8,10,6,乙8,7,10,9,8,8,问哪一个射手的技术较好？,解首先比较平均环数,再比较稳定程度,甲：,乙：,乙比甲技术稳定，故乙技术较好.,进一步比较平均偏离平均值的程度,甲：,乙：,23,定义2.1D(X)=EXE(X)2称为随机变量X的方差.称为X的均方差或标准差.,注：D(X)描述r.v.X的取值偏离平均值的平均偏离程度，是一个数值。,方差的计算公式,1设X为离散型随机变量，分布律为,则,2设X为连续型随机变量，概率密度为f(x),则,3,证,24,例2.1设X服从参数为p的(01)分布，求D(X),解,E(X)=p,解,25,例2.3设XB(n,p)，求D(X).,解,E(X)=np,26,例2.4设X参数为p的几何分布，求D(X).,解,例2.5设X在a,b上服从均匀分布，求D(X),解,27,例2.6设X服从参数为的指数分布，求D(X),解,例2.7设，求D(X),解,28,常见随机变量的方差,分布,方差,概率分布,参数为p的（0-1）分布,p(1-p),B(n,p),np(1-p),(),参数为p的几何分布,29,区间(a,b)上的均匀分布,N(,2),参数为的指数分布,30,2.2方差的性质,性质1设C为常数，则D(C)=0,证,性质2,证,性质3,证,性质4,若X与Y相互独立，则有,证,31,若X与Y相互独立，,则,性质5随机变量X的方差D(X)=0的充分必要条件是：,X以概率1取常数C=E(X),即,注,例2.3设XB(n,p)，求D(X).,解一前面已求解。,故,解二引入随机变量,相互独立，且,32,例2.8设X与Y相互独立，求,解,例2.9已知X,Y相互独立,且都服从N(0,0.5),求E(|XY|).,故,解,33,例2.10已知X的概率密度为,其中A,B是常数，且E(X)=0.5.,求(1)A,B.(2)设Y=X2,求E(Y),D(Y).,解(1),(2),34,2.3标准化随机变量,为X的标准化随机变量.,显然，,解,35,（1）仅知r.v.的期望与方差并不能确定其分布,有相同的期望方差但是分布却不相同,例如,注,（2）在已知某些分布类型时,若知道其期望和方差,便常能确定分布.,例如已知X服从正态分布,E(X)=1.7,D(X)=3,Y=12X,求Y的密度函数.,解,36,性质2,3协方差与相关系数,3.1协方差,定义3.1称为X与Y的协方差，记作,易得,协方差性质,性质1,性质3,例3.1设求,解因为所以,又由例1.11，,于是，,37,3.2相关系数,定义3.2若D(X)0,D(Y)0,存在，则称,为X与Y的相关系数。记为,若,称X,Y不相关.,相关系数的性质,性质1,因此,注,证由柯西许瓦兹不等式可得,38,性质3若X与Y相互独立，则,性质4的充分必要条件是：存在常数a,b,使得,X,Y不相关,X,Y相互独立,X,Y不相关,等价命题：,注,表明X与Y之间以概率1存在线性关系。,较大表明X与Y之间线性相关程度较好。,较小表明X与Y之间线性相关程度较差。,表明X与Y不相关。,不相关是就线性关系而言，相互独立时就一般关系而言的。,39,例3.2设二维随机变量(X,Y)的概率分布为XY101-11/81/81/801/801/811/81/81/8,证明X与Y不相关，但X与Y不相互独立,于是有,因此，即X与Y不相关,由于,所以X与Y不相互独立,40,例3.3设(X,Y)的联合概率密度为,验证X与Y不相关，但不相互独立,解,同理,于是,因此，即X与Y不相关,41,例3.3设(X,Y)的联合概率密度为,验证X与Y不相关，但不相互独立,解,所以X与Y不相互独立.,42,例3.4设(X,Y)N(1,12;2,22;),求XY,解,则X,Y相互独立,X,Y不相关,43,4矩,4.1原点矩和中心矩,定义4.1设X与Y是两个随机变量,称E(Xk)为X的k阶原点矩;称EXE(X)k为X的k阶中心矩；称E(XkYl)为X与Y的k+l阶混合原点矩；称EXE(X)kYE(Y)l为X与Y的k+l阶混合中心矩,