用正态分布求解积分的一种方式.pdf

2980年7 月第2期四川师范学院 学报 自然科 学版(总第5期) x 2 求积分厂口 d x 及厂 “羚 的 “概 率论 ” 方法 一 兼敲 “ 正态分布 ” 的一种引进方式 李西和 本文主要结果是 给 出了第一个积 分 的四种新的解法和第二个积分 的一种新的解法 。 此 外 , 还 附带给 出了 ” 正态 分布 ” 的一种引进方式 , 它有别于 “ 已知第一个 积分 的值 ” 而定义 “ 正态 分布 ” 的传统 引入方 式 , 且 同样是可在概率论教学中使 用 的 。 x 2 正态分布的弓1进及 I丁 e一丁d 的求值 一 、 一维正态分 布 : . 概念 的引入 ; x 2 x Z 由广 “ 积” 的敛”性判另”法”矢口I 二 _一丁d “ ”, 又一丁 。(二R l , , “ “某实常h 。 x 2 x Z (待定, , 使 J了 _ 一丁d一 h , 即 J二 _ 甲(X,d一 , 这里、(X,一 盖 一丁( R 工 设 。 ( , 一 I 印(Od t ( x R : ) , 则中(x )显然满足 : i )单 调不 减 ; i i )左连续(实际上还是 连续的) ; 11 1)中(一c o )= lim。(x)=o , 。(+ 。) Xw e 卜一CO 布函数 , 而再由 ) 甲(x ) 是其密度函数(见 由上知 , 下述定义 合理 : =hm 中( x )= 1 。 故中(x )必 是某随机变量 的分 x 、十c o l ) 。 x 2 厂定义 1 : 若 随机变量。具 密度函数 甲 (x ) 一 鑫 。一厄 t布 , 记 为nN( o , l ) 。 ( X 一 R : ) , 就称:服从标准正 态分 * 本文完成于 19 7 8年4 月5日本刊于19 7 9年6月8日收 稿 师学 报 4 0 四川 师 范字院字报 又令 X 一 宁 ( a , 哟实常数 且。 0) , 则有 x 2 l c o 一 万 1 (O O - 二下J “一ux 玉J J e 一 仁O - 一 CO 2 a (t一 a ) 2 故下述 定 义合理 : 定义2 : 若随机变量邑具密度函数 l r (x一 a、2 、 _ 、 ( X )一 助 “Xp 土 一 全 , 乏厂 少 (x 之R, ) 。 这里 , 常 数h , “,叮的含义 同上 。 就称 绷良从参数为 a , a 的正 态分布 , 记为邑 N ( a , a ) 了11! I ! l s e 、 自然 , 定义 l 可作为定义2当a二0 , a二1时的特例 。 2 . 有关说 明 : 仅管我们 避开了 “ 概率积分 ” 的求值(h待定) , 我 们仍然合理地 引进了 “ 正态 分布 ” 的 概念 。 不仅如此 , 这对于正态分布的有关性质并无影响 , 且推导方式也与传统无异 , 如 : , 正态密度函数 : ( X )的几何 , 质与原有的一致(仅在 x 一 a 处取到最大值暂 “ 寸应 写 成 f(a)= 盘) ; 正态分布 函数F : ( x )的诸性质 , 如F 。(“一x ) = 1一F。(“十x ) 等也与原有的 一 样 2)正态变量的数值特征也与原有的一样 : 由。一 N(。 , 1)得 , En一 J了 _ 一( , d一 去J 了 _ 二 x 2 x 2 一 几 x 一女 。一。; D。一 c o ( x 一E。) 2 、 ( x ) dx一 之 一 0 0 x Ze- J 一c o 、 uJ 一c o 万 I f的 一 ux = 下J “ 一 屯XJ x 2 一丁 dx= t . h二 一, h 若邑N(a , a ) , 则有 n二妞多 N(o, 1)从而 E毫=E( a + 。n)= E a + a En= a+a 0= a ; D是二D(a+ a。)=a Z D刀一a Z 一 二 a z a井 3)特征函数也与原有 的完全一样 : 设n N(0 , 1) , 门的特征函数设 为王 申 (t)(t R , ) , 则 e c o c o一 r l J 护 一 2 一 的厂 c o一 厂 l f 。* ( t)二 (E e 1 )- ,、 印 : (x )d x - x2 3 _ fc o 。i! e一 丁d x - h J一c o 畏 ( x 一it) 2 2dx t 2 丁 丁 二 _ 印( “ - t2 e一 2 (t R , ) 护 一 2 2dx- 产 ! 尸 一 2 e 1 lh (见 1 ) ; 求积分 J了 一 丁d X 及 丁 了 5 In X dx的 “ 概率论 ” 方法 设龟 N ( a , a ) , 而f 。牢 (t)为毛 的特征函数 , 则 a 2tZ a ZtZ f: , ( )一e 。t , t ( ot )一 e t e 一 2一 e 。 【 一 2 (见 1 )转 二 、 二维正态分布 设实常数 a , b ;a , o , a Z o ; Y O( , ” R Z 由此 即知 F (一) 一 几 _ 二 _ ,(一,dd一 (一, RZ 是某二维连续型 随机变量 的分布函数 , 而f(x , y) ( x , y) 。RZ 是其密度函数 。 从而下述定 义合 理 : 定义3 : 若 二维随机变量具密度函数 f 。,:) ( x , y) h a: a : 了1 - 与 2 f一1(x一 a)2 ex P 嘴 卜二一二 二 石 、 . 一 厂 匕LI 一 r “ 少L Qi _2 , ( x 一 a )(y一b) 仃la 2 (y一 b) 2 - t - 一一一 石 , 一y, R 这里 , h ia, , b ; , al , 叮2 , r 如前 就称 (毛 , 。)服从具参数。 , b刀 工, a Z , r的二 维正态 分布 , 记为住 , : ) N(a , b ,a, a ZJr) 厂! 11,l! !l! .1、 这样定义 的二准正态 分布的诸性质(包括各参数的含义)均可如常 一 样导 出 , 并不 因h待 定而异 , 如 “ 毛与门相互独立专今 r = O ” 实际上 , 当且仅当 r 一O时有 l _, _ f ( x 一 a ) 2 飞 l _, _ f(y一b) 飞 : , _ 、 :, _ 、 “ 毛,时、 , 了夕 一石石丁 - “飞 一 豆百户一工而 2 “ “ 飞 一 厄石;了 f 一 伙、少 ”、y少 四川 师范学院 学报 ( a . “ . 成立) 此外 , 类似地可以合理 地 引入二维以上 的正态 分布(略) 三 、 题示第一个积分 的 求值 ; 法一)设任 , : ) N(0 , 0 , 1 , ro )即 : ,) ( X , y)一 扩 2 一 p 一 “2 言 y ( , y) 一 R Z 由 “ 概率论 ” 中 “ 商的密度函数公式 “ (见 ,知屯一号 的密度函数为 : f的 P屯Lx夕= J .t I “息 一 屯O 。) ( xt,t)dt = 击J 二 _ t 一 , + dt 丝 1 + 了 、| 一 J h , .1 一一户 。r 的 : ( l x )t 二 . 乞! t e一2 dt h J o rc o , ( l x, ) t _ 刃) 。 “一 d 一贵( + x ) 一 2 h ( 1+ x , ) , ( r x Z e 一2 c o_ 2 h ( 1+ x ) 从而由密度函数性质 一 厂 _ p (x ) c l 一很 一 厂 _、铸- . CO。 a r c t g X 川 一 器 即 h 一 2 兀 , 又h 0 , 故h=了2 二 特 二 h二了2 二 特 x2 从而 !犷 一丁d x - x 2 加 。一 丁d x 一 喜丫厄 而 一c o 乙 . 1 1一2 说 明 1 。至此, 我 们已解决了题示第一个积分的求值间题 , 且方法也 是相当简易的 。 同时由于已定出h=丫2 二 , 故我们前面引入的正态分布确实与传统一致 。 2 。顺便 指 出上述 方 法 的一般性 : l )可以根据需要定义不 同的连续型随机变量(一维或多 维)只要被积函数非负且 无穷积 分收敛即可 ; 2 )用求随机变量的函数 的密度函数的方 法 可 以定出该 无穷积分 之值 。 由于变换(函数)的多样性 , 使得这样的途径也是多样的 。 比如上 述 积分的定 值就可 用下述 方 法 : 法 二 : 仍设f (: , ) ( , y) 一 甘 2 一 三 全 气 ( , , ) R Z (h定义 女。前) 今 屯 , =了毛 + 。2 , 屯 2 粤则 (见1) (鱼 , , 乙 2 )的密度 函数为 l I x 2 求积分 丁 了 一 丁d X 及 工 了 瞥 X d的 概率论 , 方法 43 一 一十 J X i 1+ x :2(沂轰毛二补) + f (毛, 介) (J XiX 再 + x Z 卜 (x l , x Z ) _ ) 一 一 一 x i 了1+ x Z, O (当 x: ) o) ,1 1J. 、声、 产 (当 x , o ) 产 l! ! .夕、胜 lw e 口. .、 , 1 了 了 r 、P 代入f ;,。) ( x , , x Z )的表 达式得 : 厂 。 ( x l , x Z )! 犷(乙 , , C : ) = 谧 ! L Zx i h (1 + x Z) 0 , e Z , ( x , 妻0) ( x , o) 从而(见1)关于 七 , 的边缘密度函数为 . 1 2一护。 廿 l ! I Jl e s 口. e s、 p , ( x , )= 51丁 CO 一c o p (仁 工, 仁 2 ) ( x ! , x Z )d x Z - XiC 一 C) x 12 2 石认万)d一(一 。, ( x , o) _ !知 一 勺 ! 。 c o dx Z 1十x Z( x , ) o) 一 C C 2兀 甲 x , e Xi 2 ( x , ) o) ( x , o , 故h=了2 : 甘 2 0 . 值得指出的是这 里 的定 理及 推论对被积函数不 再加以非负的 限制 , 因而适用范围 也 更广 。 特别 , 我们可用其简便地求得题示第二个积分 之值 。 二 、 丁 丁 的求值 : 先求 J 了 _ s坦x dx 之值 : 由广 义积 分的 “D iriehl et 判别法 ” 易知此 积分收敛(见2) 故可设 , 又 设 (,d 一 h l , ( h 工为待定实常数, 而( 卜 罕) . : e 一 卜 I , ( x R, )得 : c o卜 c o一( x . . . .J g gLX)u入= J 。cux - - t - - I上 _ e dx 一 e一 。 + e . 1 叮 一一 自 二 h 而 一 I丁 _ J 二 _ ,t卜(一, 一 t,ddt 一 J sin ( xt) Xt 一 ”,d dX 门. . . . J 一. . . .L 其中 内层积 分 J了 _ ,t: 粤一 dt一 岌J 犷 t 哗 一 d卜 J 。_ _ t 迎 胜, dt 一专 J 犷 S( 一)一d卜 Jl _ S( 一)一dt 一 旦J 了 51( 一)一d 七 一全 . _ 茎 = x l+ x Z 确CC 2 + x “ (这 里两 次使用了 “ 分部积 分法 ” ) 2 1 - . tO O _ ,一 丁厂aX = 艺ar C工gX r 一 艺兀 十 入 “ l _ . 一 QX 由定 理 知 I二 h , h Z 即2 : =Zh : 故h , = ; 井 从而已求得 J 笑 5inx 一一 U 入 二=h , = 兀共 2 . 由于为 偶函数 , 故 加 5inx 一 一U入 = : 的 5in X 。 一 -一 U X 产. t , J 2 46 四川 师 范学 院 学 报 曰 住 们 兀 l z 9O 一 二O 5 in x _ UX 二二 月 l 1 一 z即 J CC门竺 _ _ 乙1 1 1入 U人二 二二 9 X 注 )由上 述结果 立知 : ( a o ) ( a=o ) ( a o ) ( a 一 。) 及 凳 加5 in ( ax ) 一1 . _一 UX J o 入 一1 ( a o ) 这 正是 “ 概率论 ” 中 “ 建立分布函数与特征函数之 间一 一对应关系 ” 的定 理证明时引用 的一个关键 的结论(看1) 三 、 进 一 步的 锐明 用 “ 概 率论 ” 的工具 来解决一些广 义积 分 的精 确求值 问题 , 笔者在手边的资料中尚未见 到过(用 “概率论” 的工 具求积分 的近似值的方法倒是 不少的) 。 但 从上文 可见 , 这样的方 法是大有可为的 , 且途径也 可多种多样 。 比如 利用分布函数与特征函数的关系也 是一种方法 。 为此再举一例 : ( 求题示第一积分的值的法四) h 一一 X JU 妒一 2 例 : f - 一 一 (仄夕 X 2 ( h为 正的实常数) , 而 。n ( x ) 一 立 e 一 几 x R, ) t 2 是 。一N (o , l)密度函数 ( h待定 ) 。 又W J 已证到。的特征 函数f 。 ( t)二。一2 ( tR , ) 显