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内江师范学院数学与信息科学学院 第 5 章 线性方程组的迭代解法 第 5 章 线性方程组的迭代解法 一、考核知识点一、考核知识点 向量范数与矩阵范数的定义及其性质，迭代法的收敛性，雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭 代法及其收敛性 二、考核要求考核要求 1掌握向量范数的定义、性质；了解矩阵范数的定义、性质 2了解严格对角占优矩阵；了解迭代法的收敛性 3掌握雅可比迭代法，了解其收敛性 4掌握高斯-塞德尔迭代法，了解其收敛性 三、例题分析 三、例题分析 例 1 已知向量 X=（1，-1，5）,求向量 X 的三种常用范数 解 解 max5 i i Xx = ， 2 12 11 7 ,27 nn ii ii XxXx = = 例2 证明 , 1 XnXX 证明 因为 1 1 maxXxxxX n i ipi i =a时，雅可比迭代法收敛 （3）取,5=a T X) 10 1 , 5 1 , 10 1 ( )0( =，求出 )2( X 解 （1）对，从第i个方程解出，得雅可比法迭代公式为： 3 , 2 , 1=i i x (1)( )( ) 123 (1)( )( ) 213 (1)( )( ) 312 1 (1 2) 1 (222),0,1, 1 (12) nnn nnn nnn xxx a xxxn a xxx a + + + = = = ? （2）当4a时，A为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛 （3）取，5=a T X) 10 1 , 5 1 , 10 1 ( )0( = 由迭代公式计算得 10 1 )1( 1 =x， 25 8 )1( 2 =x， 10 1 )1( 3 =x 250 13 )2( 1 =x， 25 8 )2( 2 =x， 250 13 )2( 3 =x 则 ）（2 X=（ 250 13 ， 25 8 ， 250 13 ） T 例 5 用高斯塞德尔迭代法解方程组 = 4 3 4 510 151 015 3 2 1 x x x （1）证明高斯塞德尔迭代法收敛 （2）写出高斯塞德尔法迭代公式 （3）取，求出 T X）（ ）（ 000 0 = ）（2 X 解 （1）因为 A为严格对角占优矩阵，故高斯塞德尔迭代收敛 2 内江师范学院数学与信息科学学院 （2）对，从第 个方程解出，得高斯塞德尔法迭代公式为 3 , 2 , 1=ii i x (1)( ) 12 (1)(1)( ) 213 1)(1) 32 1 (4) 5 1 ( 3),0,1, 5 1 (4) 5 nn nnn nn xx xxxn xx + + + = = = = ? （ （3） 5 4 )1( 1 =x， 25 19 )1( 2 =x， 125 119 )1( 3 =x 125 119 )2( 1 =x， 625 613 )2( 2 =x， 31
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