线性代数 矩阵的对角化.pdfVIP

第二节第二节第二节第二节第二节第二节第二节第二节 矩阵对角化矩阵对角化矩阵对角化矩阵对角化矩阵对角化矩阵对角化矩阵对角化矩阵对角化 相似矩阵和矩阵的对角化问题相似矩阵和矩阵的对角化问题相似矩阵和矩阵的对角化问题相似矩阵和矩阵的对角化问题相似矩阵和矩阵的对角化问题相似矩阵和矩阵的对角化问题相似矩阵和矩阵的对角化问题相似矩阵和矩阵的对角化问题 应用示例应用示例应用示例应用示例应用示例应用示例应用示例应用示例* * 6.2.1 6.2.1 相似矩阵和矩阵的对角化问题相似矩阵和矩阵的对角化问题相似矩阵和矩阵的对角化问题相似矩阵和矩阵的对角化问题相似矩阵和矩阵的对角化问题相似矩阵和矩阵的对角化问题相似矩阵和矩阵的对角化问题相似矩阵和矩阵的对角化问题 定义定义定义定义定义定义定义定义2 2 对对对对对对对对n n阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵A A, ,B B, ,若存在若存在若存在若存在若存在若存在若存在若存在n n阶满秩矩阵阶满秩矩阵阶满秩矩阵阶满秩矩阵阶满秩矩阵阶满秩矩阵阶满秩矩阵阶满秩矩阵P P, , 使成立使成立使成立使成立使成立使成立使成立使成立 1 BP AP = 则称则称则称则称则称则称则称则称A A与与与与与与与与B B相似相似相似相似相似相似相似相似或称或称或称或称或称或称或称或称A A相似于相似于相似于相似于相似于相似于相似于相似于B B. . 1.1.由定义可见由定义可见由定义可见由定义可见由定义可见由定义可见由定义可见由定义可见, ,矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵相似关系是一种相似关系是一种相似关系是一种相似关系是一种相似关系是一种相似关系是一种相似关系是一种相似关系是一种等价关系等价关系等价关系等价关系等价关系等价关系等价关系等价关系. . .本身相似本身相似本身相似本身相似与与与与AA .,相似相似相似相似与与与与则则则则相似相似相似相似与与与与若若若若ABBA . , 相似相似相似相似与与与与则则则则 相似相似相似相似与与与与相似相似相似相似与与与与若若若若 CA CBBA 反身性反身性反身性反身性 )1( )2(对称性 对称性对称性对称性 传递性传递性传递性传递性 )3( . 2相似矩阵有相同的秩相似矩阵有相同的秩相似矩阵有相同的秩相似矩阵有相同的秩 ()4*. 若 与 相若 与 相若 与 相若 与 相似似似似, , , ,则则则则与相与相与相与相似似似似 m m m m为为为为正正正正整整整整数数数数 mmmmmmmm ABABABABABABABAB . 3式式式式相似矩阵有相同的行列相似矩阵有相同的行列相似矩阵有相同的行列相似矩阵有相同的行列 5*. . 相相相相似似似似矩矩矩矩阵阵阵阵或或或或都都都都可逆可逆可逆可逆, , , , 或或或或都都都都不不不不可逆可逆可逆可逆. . . . 当当当当它它它它们们们们可逆可逆可逆可逆时时时时, , , , 他他他他们们们们的的的的逆矩逆矩逆矩逆矩阵阵阵阵也相也相也相也相似似似似 证证证证: 因为相似矩阵的行列式相等因为相似矩阵的行列式相等因为相似矩阵的行列式相等因为相似矩阵的行列式相等,所以它们同时所以它们同时所以它们同时所以它们同时 可逆或不可逆可逆或不可逆可逆或不可逆可逆或不可逆. 设设设设AB, 且且且且A, B都可逆都可逆都可逆都可逆.则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵P, 使使使使P- - - -1AP =B.两边求逆得两边求逆得两边求逆得两边求逆得(P-1AP)-1=B-1, 即有即有即有即有 P-1A-1(P-1)-1=P-1A-1P=B-1, 所以所以所以所以A- - - -1与与与与B- - - -1相似相似相似相似. 1 detdet() detdet() =PBIPBI 即相似矩阵必有相同的特征多项式即相似矩阵必有相同的特征多项式即相似矩阵必有相同的特征多项式即相似矩阵必有相同的特征多项式即相似矩阵必有相同的特征多项式即相似矩阵必有相同的特征多项式即相似矩阵必有相同的特征多项式即相似矩阵必有相同的特征多项式 , , , , , , , , 从而必有相同从而必有相同从而必有相同从而必有相同从而必有相同从而必有相同从而必有相同从而必有相同 的特征值的特征值的特征值的特征值的特征值的特征值的特征值的特征值 . . . . . . . . 6.6.相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 A A 与与与与与与与与 B B 必有相同的特征值必有相同的特征值必有相同的特征值必有相同的特征值必有相同的特征值必有相同的特征值必有相同的特征值必有相同的特征值 , , , , , , , , 这是因为这是因为这是因为这是因为这是因为这是因为这是因为这是因为 11 det()det() =AIPBPPIP 7. 若若若若阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵A与对角阵与对角阵与对角阵与对角阵 n 1 2 n = ., 21 个特征值个特征值个特征值个特征值的的的的即是即是即是即是则则则则相似相似相似相似nA n 称可与对角阵相似的矩阵为称可与对角阵相似的矩阵为称可与对角阵相似的矩阵为称可与对角阵相似的矩阵为称可与对角阵相似的矩阵为称可与对角阵相似的矩阵为称可与对角阵相似的矩阵为称可与对角阵相似的矩阵为可对角化矩阵可对角化矩阵可对角化矩阵可对角化矩阵可对角化矩阵可对角化矩阵可对角化矩阵可对角化矩阵 , , , , , , , , 则有则有则有则有则有则有则有则有 定理定理定理定理定理定理定理定理 2 2 n n 阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵A A可对角化的充分必要条件是可对角化的充分必要条件是可对角化的充分必要条件是可对角化的充分必要条件是可对角化的充分必要条件是可对角化的充分必要条件是可对角化的充分必要条件是可对角化的充分必要条件是A A 具有具有具有具有具有具有具有具有 n n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 . . 证明证明证明证明假假假假设设设设存在可逆存在可逆存在可逆存在可逆阵阵阵阵, , , , 使使使使为为为为对对对对角角角角阵阵阵阵, , , , -1-1 -1-1 PP AP =PP AP =PP AP =PP AP = ( ( ( () ) ) )., 21n pppPP= = = =用其列向量表示为用其列向量表示为用其列向量表示为用其列向量表示为把把把把 1 , ,. n = 对阶方阵若可找到可逆矩阵使 为对角阵 这就称为把方阵 对角化 AP P APA ( ( ( () ) ) )( ( ( () ) ) ) = = = = n nn ppppppA 2 1 2121 ,即即即即 ( ( ( () ) ) )., 2211nnp pp = = = = ( ( ( () ) ) )( ( ( () ) ) ) nn ApApAppppA, 2121 = = = = ()1,2,. iii in=于是有 App ( ( ( () ) ) ) nnp pp , 2211 = = = = ,= -1 由得P APAPP . , 的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量的对应于特征值的对应于特征值的对应于特征值的对应于特征值 就是就是就是就是的列向量的列向量的列向量的列向量而而而而的特征值的特征值的特征值的特征值是是是是可见可见可见可见 i ii A pPA ., 21 线性无关线性无关线性无关线性无关所以所以所以所以可逆可逆可逆可逆又由于又由于又由于又由于 n pppP 命题得证命题得证命题得证命题得证. , (), ,. n nn = 反之 由于 恰好有 个特征值 并可对应地求 得 个特征向量 线性无关 这 个特征向量即可 构成矩阵使 A PAPP ., 21 可逆可逆可逆可逆所以所以所以所以线性无关线性无关线性无关线性无关又由于又由于又由于又由于Pppp n 1-1 ,. =由两边左乘得APPPP AP 例例例例例例例例 3 3 试将矩阵试将矩阵试将矩阵试将矩阵试将矩阵试将矩阵试将矩阵试将矩阵 = 112 202 213 A 对角化对角化对角化对角化对角化对角化对角化对角化 . . 解解解解解解解解 特征多项式为特征多项式为特征多项式为特征多项式为特征多项式为特征多项式为特征多项式为特征多项式为 + = = 112 22 213 112 22 213 )(k 2 ) 1( 100 20 211 ) 1( 101 22 213 = = = 有根有根有根有根有根有根有根有根 1, 0 321 = 对于对于对于对于对于对于对于对于 1 1 =0,=0, 为为为为为为为为 = 0 0 0 112 202 213 3 2 1 x x x 可解得对应的特征向量可解得对应的特征向量可解得对应的特征向量可解得对应的特征向量可解得对应的特征向量可解得对应的特征向量可解得对应的特征向量可解得对应的特征向量 1 1 1 1 = p (6(6- -1 1 ) ) 故特征方程故特征方程故特征方程故特征方程故特征方程故特征方程故特征方程故特征方程 0) 1( 2 = 对于对于对于对于对于对于对于对于 2 2= = 3 3 =1,=1, 为为为为为为为为 = 0 0 0 1112 2102 2113 3 2 1 x x x 即即即即即即即即 022 321 =xxx 得得得得得得得得 11 xx = 312 22xxx= 33 xx= 或或或或或或或或 (6(6- -1 1 ) ) + = 1 2 1 0 2 1 21 3 2 1 tt x x x 故对不全为零的故对不全为零的故对不全为零的故对不全为零的故对不全为零的故对不全为零的故对不全为零的故对不全为零的 t t 1 1 , t, t 2 2 , , 上式表出属于上式表出属于上式表出属于上式表出属于上式表出属于上式表出属于上式表出属于上式表出属于 = =1 1 的全部特征的全部特征的全部特征的全部特征的全部特征的全部特征的全部特征的全部特征 向量向量向量向量向量向量向量向量, , , , , , , ,特别特别特别特别特别特别特别特别, , , , , , , ,可取对应于特征值可取对应于特征值可取对应于特征值可取对应于特征值可取对应于特征值可取对应于特征值可取对应于特征值可取对应于特征值 = =1 1 的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量 x x2 2 及及及及及及及及 x x3 3 为为为为为为为为 23 10 2 ,2 01 = pp 这样已求得这样已求得这样已求得这样已求得这样已求得这样已求得这样已求得这样已求得 A A 的三个线性无关的特征向量的三个线性无关的特征向量的三个线性无关的特征向量的三个线性无关的特征向量的三个线性无关的特征向量的三个线性无关的特征向量的三个线性无关的特征向量的三个线性无关的特征向量 123 110 1 ,2 ,2 101 = ppp 若记若记若记若记若记若记若记若记 123 110 122 101 = Pppp 则可求得则可求得则可求得则可求得则可求得则可求得则可求得则可求得 1 212 312 211 = P 并令并令并令并令并令并令并令并令 123 000 diag(,)010 001 = 就有就有就有就有就有就有就有就有 ,=APP 1 =AP P 也可得分解式也可得分解式也可得分解式也可得分解式也可得分解式也可得分解式也可得分解式也可得分解式（ A A 的的的的的的的的相似标准形分解相似标准形分解相似标准形分解相似标准形分解）相似标准形分解相似标准形分解相似标准形分解相似标准形分解） 具体写出具体写出具体写出具体写出具体写出具体写出具体写出具体写出 , , 为为为为为为为为 = 112 213 212 100 010 000 101 221 011 112 202 213 1 =PAP （把把把把（把把把把A A相似对角化相似对角化相似对角化相似对角化）相似对角化相似对角化相似对角化相似对角化）或或或或或或或或 在由线性无关特征向量构作满秩矩阵在由线性无关特征向量构作满秩矩阵在由线性无关特征向量构作满秩矩阵在由线性无关特征向量构作满秩矩阵在由线性无关特征向量构作满秩矩阵在由线性无关特征向量构作满秩矩阵在由线性无关特征向量构作满秩矩阵在由线性无关特征向量构作满秩矩阵 P P 时时时时时时时时 , , 各特各特各特各特各特各特各特各特 征向量的排列次序可任意安置征向量的排列次序可任意安置征向量的排列次序可任意安置征向量的排列次序可任意安置征向量的排列次序可任意安置征向量的排列次序可任意安置征向量的排列次序可任意安置征向量的排列次序可任意安置 , , 但在写对角阵但在写对角阵但在写对角阵但在写对角阵但在写对角阵但在写对角阵但在写对角阵但在写对角阵时时时时时时时时 , , 需注意将各对角线元即特征值要作保持序号一致的需注意将各对角线元即特征值要作保持序号一致的需注意将各对角线元即特征值要作保持序号一致的需注意将各对角线元即特征值要作保持序号一致的需注意将各对角线元即特征值要作保持序号一致的需注意将各对角线元即特征值要作保持序号一致的需注意将各对角线元即特征值要作保持序号一致的需注意将各对角线元即特征值要作保持序号一致的 安排安排安排安排安排安排安排安排. . . . . . . . 今后今后今后今后今后今后今后今后, , , , , , , ,常称分解式常称分解式常称分解式常称分解式常称分解式常称分解式常称分解式常称分解式(6(6- -7)7)中的对角阵中的对角阵中的对角阵中的对角阵中的对角阵中的对角阵中的对角阵中的对角阵为为为为为为为为 A A 可对可对可对可对可对可对可对可对 对角化矩阵对角化矩阵对角化矩阵对角化矩阵对角化矩阵对角化矩阵对角化矩阵对角化矩阵 A A 的的的的的的的的相似标准形相似标准形相似标准形相似标准形相似标准形相似标准形相似标准形相似标准形，并可称并可称并可称并可称，并可称并可称并可称并可称(6(6- -7)7)为可对为可对为可对为可对为可对为可对为可对为可对 对角线元的对角线元的对角线元的对角线元的对角线元的对角线元的对角线元的对角线元的顺序顺序顺序顺序顺序顺序顺序顺序, , , , , , , , 则则则则则则则则是惟一确定的是惟一确定的是惟一确定的是惟一确定的是惟一确定的是惟一确定的是惟一确定的是惟一确定的 . . 角化矩阵角化矩阵角化矩阵角化矩阵角化矩阵角化矩阵角化矩阵角化矩阵 A A 的的的的的的的的相似标准形分解相似标准形分解相似标准形分解相似标准形分解相似标准形分解相似标准形分解相似标准形分解相似标准形分解. . . . . . . .显然显然显然显然显然显然显然显然, , , , , , , ,若不计其主若不计其主若不计其主若不计其主若不计其主若不计其主若不计其主若不计其主 1 =AP P 定理定理定理定理定理定理定理定理若若若若若若若若 1 1 、 、 n n 是是是是是是是是 n n 阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵 A A 的互不相的互不相的互不相的互不相的互不相的互不相的互不相的互不相 等等等等等等等等的特征值的特征值的特征值的特征值的特征值的特征值的特征值的特征值, , , , , , , ,则其对应的特征向量则其对应的特征向量则其对应的特征向量则其对应的特征向量则其对应的特征向量则其对应的特征向量则其对应的特征向量则其对应的特征向量 x x1 1 、 、 x xn n 线性线性线性线性线性线性线性线性 无关无关无关无关无关无关无关无关 . . ：设设设设 证明 证明证明证明证明证明证明证明 推论推论推论推论推论推论推论推论若若若若若若若若 n n 阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵 A A 具有具有具有具有具有具有具有具有 n n 个互不相等的特个互不相等的特个互不相等的特个互不相等的特个互不相等的特个互不相等的特个互不相等的特个互不相等的特征征征征征征征征 值值值值值值值值, , , , , , , ,即特征方程只有单根时即特征方程只有单根时即特征方程只有单根时即特征方程只有单根时即特征方程只有单根时即特征方程只有单根时即特征方程只有单根时即特征方程只有单根时, , , , , , , ,矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 必可对角化必可对角化必可对角化必可对角化必可对角化必可对角化必可对角化必可对角化 . . 注意到特征方程只有单根是注意到特征方程只有单根是注意到特征方程只有单根是注意到特征方程只有单根是注意到特征方程只有单根是注意到特征方程只有单根是注意到特征方程只有单根是注意到特征方程只有单根是 A A 可对角化的充分可对角化的充分可对角化的充分可对角化的充分可对角化的充分可对角化的充分可对角化的充分可对角化的充分 条件条件条件条件条件条件条件条件, , , , , , , ,特征方程有重根时特征方程有重根时特征方程有重根时特征方程有重根时特征方程有重根时特征方程有重根时特征方程有重根时特征方程有重根时, , , , , , , ,矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 也有可能是可以对角也有可能是可以对角也有可能是可以对角也有可能是可以对角也有可能是可以对角也有可能是可以对角也有可能是可以对角也有可能是可以对角 化化化化化化化化. . . . . . . . 的的的的的的的的 N N ( A A - I I ) ) 也是也是也是也是也是也是也是也是 2 2 维的维的维的维的维的维的维的维的 , , 故对应于故对应于故对应于故对应于故对应于故对应于故对应于故对应于 = =1 1 有两个线性无有两个线性无有两个线性无有两个线性无有两个线性无有两个线性无有两个线性无有两个线性无 关的特征向量关的特征向量关的特征向量关的特征向量关的特征向量关的特征向量关的特征向量关的特征向量, , , , , , , ,这样就满足了定理这样就满足了定理这样就满足了定理这样就满足了定理这样就满足了定理这样就满足了定理这样就满足了定理这样就满足了定理 2 2 充分必要条件充分必要条件充分必要条件充分必要条件充分必要条件充分必要条件充分必要条件充分必要条件, , , , , , , , 所以那里的矩阵所以那里的矩阵所以那里的矩阵所以那里的矩阵所以那里的矩阵所以那里的矩阵所以那里的矩阵所以那里的矩阵 A A 还是可对角化的还是可对角化的还是可对角化的还是可对角化的还是可对角化的还是可对角化的还是可对角化的还是可对角化的 . . 如例如例如例如例如例如例如例如例 3 3 中的中的中的中的中的中的中的中的 = =1 1 是特征方程的是特征方程的是特征方程的是特征方程的是特征方程的是特征方程的是特征方程的是特征方程的 2 2 重根重根重根重根重根重根重根重根, , , , , , , ,但由于此时但由于此时但由于此时但由于此时但由于此时但由于此时但由于此时但由于此时 定义定义定义定义定义定义定义定义 3 3 对于一个矩阵对于一个矩阵对于一个矩阵对于一个矩阵对于一个矩阵对于一个矩阵对于一个矩阵对于一个矩阵 A A 的特征值的特征值的特征值的特征值的特征值的特征值的特征值的特征值 称其作为称其作为称其作为称其作为称其作为称其作为称其作为称其作为 A A 的特征方程根的重数为特征值的特征方程根的重数为特征值的特征方程根的重数为特征值的特征方程根的重数为特征值的特征方程根的重数为特征值的特征方程根的重数为特征值的特征方程根的重数为特征值的特征方程根的重数为特征值 的的的的的的的的代数重数代数重数代数重数代数重数代数重数代数重数代数重数代数重数, , , , , , , ,记作记作记作记作记作记作记作记作 ;m 而把对应于而把对应于而把对应于而把对应于而把对应于而把对应于而把对应于而把对应于 的线性无关特征向量的个数的线性无关特征向量的个数的线性无关特征向量的个数的线性无关特征向量的个数的线性无关特征向量的个数的线性无关特征向量的个数的线性无关特征向量的个数的线性无关特征向量的个数, , , , , , , ,即即即即即即即即 N N ( A A - I I ) ) 的维数的维数的维数的维数的维数的维数的维数的维数称为称为称为称为称为称为称为称为 的的的的的的的的几何重数几何重数几何重数几何重数几何重数几何重数几何重数几何重数, , , , , , , ,记作记作记作记作记作记作记作记作 . 定理定理定理定理定理定理定理定理 矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 可对角化的充分必要条件是对每可对角化的充分必要条件是对每可对角化的充分必要条件是对每可对角化的充分必要条件是对每可对角化的充分必要条件是对每可对角化的充分必要条件是对每可对角化的充分必要条件是对每可对角化的充分必要条件是对每 m = 个特征值个特征值个特征值个特征值个特征值个特征值个特征值个特征值 的代数重数都等于它的几何重数的代数重数都等于它的几何重数的代数重数都等于它的几何重数的代数重数都等于它的几何重数的代数重数都等于它的几何重数的代数重数都等于它的几何重数的代数重数都等于它的几何重数的代数重数都等于它的几何重数. . . . . . . .即即即即即即即即 （证略证略证略证略）（证略证略证略证略） 解解解解解解解解特征方程为特征方程为特征方程为特征方程为特征方程为特征方程为特征方程为特征方程为 0 10 11 = 即即即即即即即即0)1 ( 2 = 故故 = =1 1 是一个代数是一个代数是一个代数是一个代数是一个代数是一个代数是一个代数是一个代数 2 2 重的特征值重的特征值重的特征值重的特征值重的特征值重的特征值重的特征值重的特征值. . . . . . . . 解齐次方程组解齐次方程组解齐次方程组解齐次方程组解齐次方程组解齐次方程组解齐次方程组解齐次方程组 = 0 0 110 111 2 1 x x 例例例例例例例例考察矩阵考察矩阵考察矩阵考察矩阵考察矩阵考察矩阵考察矩阵考察矩阵 11 01 = A 是否可对角化是否可对角化是否可对角化是否可对角化是否可对角化是否可对角化是否可对角化是否可对角化 . . 可求出对应于特征值可求出对应于特征值可求出对应于特征值可求出对应于特征值可求出对应于特征值可求出对应于特征值可求出对应于特征值可求出对应于特征值 = =1 1 的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量 . . 由于方程组的由于方程组的由于方程组的由于方程组的由于方程组的由于方程组的由于方程组的由于方程组的 系数矩阵之秩为系数矩阵之秩为系数矩阵之秩为系数矩阵之秩为系数矩阵之秩为系数矩阵之秩为系数矩阵之秩为系数矩阵之秩为 1 1 ，故对应的特征子空间是故对应的特征子空间是故对应的特征子空间是故对应的特征子空间是故对应的特征子空间是故对应的特征子空间是故对应的特征子空间是故对应的特征子空间是 1 1 维的维的维的维的维的维的维的维的， 即即即即即即即即 dim()2 11= =N AI 亦即亦即亦即亦即亦即亦即亦即亦即 1= . . 故故故故故故故故 A A 不能对角化不能对角化不能对角化不能对角化不能对角化不能对角化不能对角化不能对角化 . . m . . 这样这样这样这样，对对对对这样这样这样这样，对对对对 = =1 1 有有有有有有有有 = = = = 163 053 064 A设设设设 A A 能否对角化能否对角化能否对角化能否对角化？若能对角若能对角若能对角若能对角,P则求出可逆矩阵则求出可逆矩阵则求出可逆矩阵则求出可逆矩阵化化化化 例例例例6 6 6 6（补充补充补充补充） . 1 为对角阵为对角阵为对角阵为对角阵使使使使APP 解解解解 163 053 064 + + + + = = = = AI ( ( ( () ) ) ) ( ( ( () ) ) )21 2 + + + + = = = = . 2, 1 321 = = = = = = = = = = 的全部特征值为的全部特征值为的全部特征值为的全部特征值为所以所以所以所以A ( ( ( () ) ) )得方程组得方程组得方程组得方程组代入代入代入代入将将将将01 21 = = = = = = = = = = =xAI = = = =+ + + + + + + = = = =+ + + + + + + = = = =+ + + + 0063 0063 0063 321 321 321 xxx xxx xxx 解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系 , 0 1 2 1 = = = = . 1 0 0 2 = = = = 002 321 = = = =+ + + + + + +xxx同解方程组为同解方程组为同解方程组为同解方程组为 ( ( ( () ) ) ) 解系解系解系解系 得方程组的基础得方程组的基础得方程组的基础得方程组的基础代入代入代入代入将将将将, 02 3 = = = = = = = =xAI . 1 1 1 3 = = = = ., 321 线性无关线性无关线性无关线性无关由于由于由于由于 ( ( ( () ) ) ) = = = = = = = 110 101 102 , 321 P令令令令 . 200 010 001 1 = = = = APP则有则有则有则有 所以所以所以所以可对角化可对角化可对角化可对角化.A 注意注意注意注意 ( ( ( () ) ) ), , 213 = = = = = = = P若令若令若令若令 1 1 1 0 1 2 1 0 0 . 1 = = = = APP则有则有则有则有 0 0 0 0 0 02 1 1 即矩阵即矩阵即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应要相互对应要相互对应要相互对应 P 6.2.2 6.2.2 * *应用示例应用