3.1.1(第一微分中值定理).doc

安康职业技术学院课时授课计划（教案首页）授课顺序总第一讲班 级16级高职建筑班、高职汽修班授课教师郭必军课 题第三章中值定理遇到数的应用第一节微分中值定理学时 2 节课程目标教学目标：1、使学生掌握拉格朗日中值定理，熟练运用拉格朗日中值定理证明恒等式、不等式以及方程根的存在性等；2、使学生在掌握拉格朗日中值定理的同时，能联系前后学习的内容进行层次归纳与总结，形成系统的知识层次与结构；情感目标：使学生经历拉格朗日中值定理的完整的研究过程，体会数学研究与数学应用的乐趣，发展应用意识和解决问题的能力达标过程与教学环节一、导入新课二、讲授三、例题讲解四、课堂练习五、板书设计（略）六、作业授课方式以启发式讲授为主，采用多媒体辅助演示。教 具教研室签字系主任签字课时目标形成性测试评估与反馈备注安康职业技术学院教案续页教学过程:一、内容回顾定理1（Rolle）若函数满足条件（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导； （3）。则至少存在一点，使得。几何意义：在定理的条件下，区间内至少存在一点，使得曲线在点处具有水平切线。二、拉格朗日中值定理定理2（Lagrange）设函数满足条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；则在内至少存在一点，使得 。 或写成 。 上述公式称为拉格朗日中值公式，且对于也成立。几何意义：如果连续曲线上除端点外处处具有不垂直于轴的切线，则在曲线弧上至少存在一点，在该点处曲线的切线平行于弦。由拉格朗日定理的几何意义可以看出，当函数满足时，此时弦的斜率等于零。即 。这便是罗尔定理的结论。所以罗尔定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形。即Lagrange中值定理Rolle定理证明分析：若记 ，要证（1）式，即证也就是是否存在，使函数在处的导数为零？即。证明： 作辅助函数，。容易验证在闭区间上连续，在开区间内可导，且 。从而满足罗尔定理的条件，即至少存在一点，使。 即 由拉格朗日中值定理还可以得出下面的推论：推论 设函数在开区间内可导,且，则在内为常数。即，其中为常数。证：任取，不妨设，在上应用定理2，得，其中。因为，所以，从而。由的任意性可知，为常数。三、定理的应用例1 证明 。证： 设，则在上，由推论1可知（常数）。令，得。又，故所证等式在定义域上成立。练习1：证明证：设，则在上， ，由推论可知，令得。故所证等式在定义域上成立。例2 证明不等式。证：设，则在上满足拉格朗日中值定理条件，因此有即，又因为，所以。练习2：证明不等式。证：设，则在上满足拉格朗日中值定理的条件，因此有即，因为，所以 例3 设在内可导，且，又对于内的所有点有，证明方程在内有唯一实根。证： 存在性设 则在内可导,连续。又，所以，。由零点定理知在内至少存在一个零点，即方程在内至少有一个实根。唯一性（反证法）假设方程在内有两个实根，不妨设，则有，。对函数在上应用拉格朗日中值定理，知存在，使得，与题设矛盾，唯一性得证。课堂小结：一、拉格朗日中值定理（注意与罗尔定理的关系）；二、拉格朗日中值定理的推论；三、拉