第1章集合与简易逻辑.doc

第一章 集合与简易逻辑考点解读考点内容解读浙江省五年高职考统计常考题型20112012201320142015集合的概念了解集合的含义、元素与集合的属于关系能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题理解子集与真子集的的概念，理解集合相等的含义，并能正确运用符号表示集合与集合的关系在具体情境中，了解全集与空集的含义22选择题集合的运算理解两个集合的并集与交流的含义，会求两个简单集合的并集与交集理解在给定集合中一个子集的含义，会求给定子集的补集322选择题充要条件了解命题的概念，会判断命题的真假理解充分条件、必要条件、充要条件的意义、会判断所给的条件是充分条件、必要条件，还是充要条件2222选择题分析解读集合与简易逻辑在近几年高职考中以选择题和填空题为主，主要考查：1集合元素特征：确定性、互异性、无序性.2两类关系：元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系.3.集合的交、并、补运算.4.与不等式相联系，考查学生对集合的概念，运算知识的把握及数形结合的能力.5.以集合为载体考查方程、函数、几何等新概念知识，体现集合的工具性.6.以函数、不等式、三角、解析几何等知识为载体，考查充要条件，起到了对学生的数学思想、数学方法和数学能力进行综合考查的作用.思维导图考点1 集合的概念知识要点1. 集合的有关概念（1）集合是 ，组成集合的对象叫做这个集合的 (2)集合中的元素的三个特征是 、 、和 .(3)集合按元素的个数可分为 集和 集.(4)_叫做空集，记住 .（5）集合的表示方法有 、 和图示法（即维恩图法）三种.（6）常用的数集符号：数集名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.元素与集合的关系：（1）子集：元素与集合的关系是 或 ，分别用符号 或 表示3.集合与集合的关系：（1）子集：集合A是集合B的子集，记作：A B或B A，其定义是：集合A的 元素都是集合B的元素。（2）相等集合：集合A等于集合B，记住：A B，其定义是：集合A的 元素是都是集合B的元素，且集B的元素 都是集合A的元素，即AB，且BAA=B.(3)真子集：集合A是集合B的真子集，记作：A_B或B_A，其定义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，且 ，即AB，且ABAB(或BA)4.常用结论（1）若集合A中有n（nN+）个元素，则A的子集有_个，真子集有_个，非空真子集有_个（2）是任何集合的_,是任何非空集合的_.基础过关 1下列各对象不可以组成集合的是 （ ）A某学校计算机教室中的所有计算机 B某学校素质好的学生全体 C某菜地里的所有黄瓜 D某学校所有女教师 2. 已知集合M=x|-2x1，则下列关系正确的是（ ）AM B. 0M C.1M D.M3已知P=菱形，T=正方形，M=平行四边形，则P,T,M三者关系正确的是( )A. B. C. D.4若集合A=0，1，-5x，且-4A，则实数x的值为( )A.1 B.4 C.1或4 D.365. 下列表述正确的是 （ ）A. B. C. D. 6.用适当的符号填空（1）0 0； (2)0 ； (3) 0 (4)a a，b； （5）a a，b；（6）1，-1 x| =1典例剖析【例1】在下列命题中，其中真命题的个数是 （ ）（1）=0；（2） 0；（3）若集合M=a，b，c，N=a，c，b，则M=N；（4）若集合A=y|y=-1，xR，B=（x，y）|y=-1，xR，则A=B；（5）若a=，集合M=x|ox2，则aM A 1个 B.2个 C.3个 D.4个思路点拨：本题主要考查元素与集合，集合与集合之前的关系，特别是元素与空集、空集与一般集合的关系,由于空集中不含任何元素，而集合0中有一个元素0，所以（1）是假命题，（2）是真命题；根据集合中元素的无序性，所以（3）是真命题；（4）中A表示函数y=-1的值域，即y-1，该集合是个数集，而集合B表示由抛物线y=-1上的所有点组成的集合，是个点集，故AB，所有（4）是假命题；（5）元素与集合的关系应用符号“”或“”来表示，所有（5）是假命题.综上所述，（2）（3）是真命题 【变式训练1】方程组的解集为（ ）（A）（4，3） （B） （C） （D）用适当的方法表示下列集合：方程的解集； 不大于3的正实数构成的集合【例2】设全集U=R，则下列正确表示集合M=-1,0,1和N=x|+x=0的关系图是 （）A. B. C. D【分析】本题主要考查用图示法表示集合与集合之间的关系.集合N=x|x+x=0=-1,0，而M=-1,0,1，故N不等于M.【变式训练2】设全集U=R,则下列正确表示集合M=-1,0和N=x| +x=0的关系图是A. B. C. D.【关键点拨】用图示法表示集合与集合之间的关系.【例3】集合 有_个真子集思路点拨：该集合是个点集，首先改用列举法表示该集合，有四个元素；然后按照元素个数分类写出真子集【变式训练3】已知集合则含有元素的所有真子集个数有A5个 B6个 C7个 D8个例4 已知，求实数的值已知集合A = x 3 x2，B=x|xk，若AB，则k的范围是 【例5】已知集合A=x|a-3x+2=0，xR，且集合A中元素至多有一个，求实数a的取值范围。【关键点拨】集合A中的元素即为方程的解，所以求集合中元素个数问题实际上是求方程解得个数问题，已知A中元素至多只有一个，即方程有唯一解或无解。【变式训练5】已知集合Ax|a-4x+2=0，xR，若集合A至少有一个元素，求实数a的取值范围。【关键点拨】因为集合A中元素的个数是方程解得个数，所以求集合中元素的个数问题可转化为求方程解得个数问题。回顾反思1. 集合的表示方法中，首先要弄清构成集合的元素是什么，有几个，然后再具体求解。2. 要正确地区分元素与集合、集合与集合之间的关系，特别是元素与空集与一般集合的之间的关系。3. 由于集合问题大多与函数、方程或不等式相关，因此要注意相关知识的融会贯通。目标检测一、 选择题1.若M=x|x，且a=2，则下列关系式中正确的是 （ ）A.aM B.a M C.aM DaM2. 已知集合，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知A=1，2，3，4，B=（x，y）|xA,yA,x-yA；则B中元素的个数为（ ）A10 B6 C3 D14. 已知集合M=，下列结论正确的是（ ）A集合M中共有2个元素 B集合M中共有2个相同的元素 C集合M中共有1个元素 D集合M为空集 5.已知集合A=x|+px+q=0且-2A，1A，则p，q的值分别为（ ） A1,2 B.1，-2 C. D.-1,46已知集合则含有元素和的所有子集个数有( )A2个 B3个 C4个 D5个 二、填空题7.用适当的符号填空：（1）0_N; (2)_Z; (3)N+_R; (4)x| 4,xZ_-1,0,18.若集合A=x|-6x-70，xZ，则用列举法可以表示为_.9. 写出集合的所有真子集 .10集合的列举法为 三.解答题11.已知集合A=x|a+3x+1=0中有且只有一个元素，求由实数a组成的集合.12. 若，求+的值.能力提升13已知A，求满足条件的集合A的个数.14.已知集合A=x|-1x3，B=x|x3，则A等于 （ ）A.x|x3 B.x|x3 C.x|x3 D.x|x32设全集U=1,2,3,4，5,6，若A=2,3,B=1,4,则集合5,6等于（ ） AA U B B .AB C. (A并B) D. (AB) 3. 满足条件的集合共有（ ）A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个4.若集合A=x|x0，Bx|x1，则AUB等于 （ ）A. B.R C.x|0x1或x05. 已知，则下列结论成立的是 ( )A B C D 6.若A=x|x5，B=x|x0，则AB=_, A U（B）=_.典例剖析【例1】设全集U=x|0x11，xN，已知A=1,2,3,4，B=3,4,5,6,7求AB，（AB）；（2）若集合MUA=A，求满足条件的集合M的个数。【思路点拨】要注意运算顺序，第1问应先求A，后求交集；第2问应先求并集，再求补集. 由MUA=A知，MA, 问题实质上是求集合A的子集的个数【解】（1）A=5，6，7，8，9，10，AB=5，6，7；AB=1，2，3,4,5,6,7，（AB）=8，9，10（2）（2）MA=A，MA,实质上是求集合A的子集的个数，即共有2=16（个）.【变式训练1】设全集U=1,2,3,4,5,6，已知集合S=1,4,5，T=2,3,4，则S（T）等于 （ ）A.1,4,5,6 B.1,5, C.4 D.1,2,3,4,5,例2设全集，10,，求、，U.【分析】以实数为元素的无限集的交、并、补这类问题，一般可结合数轴进行分析，解题时要注意集合的运算顺序，弄清交集、并集、补集之间的关系. （课本上数轴）【答案】B变式训练设全集U=x|x0，若集合A=x|x5，B=x|1x10，则AB等于（ ）A.x|1x5 B.x|1x5 C.x|0x5 D.x|0x10解：全集U=x|x0，A=x|x5，A=x|0x5，AB=x|11|x4,则A（CB）=（ ）A2，4 B.2,4）CR D2,3,4【关键点拨】解此类问题时，先联立方程组，在解出方程组，最后表示出AB.【例4】已知集合A=x|x2-3x+2=0，B=x|x2+px+q=0，若AB=2，AB=1,2，且AB，求p、q的值【关键点拨】用列举法表示出集合A=1,2，由AB=2，AB=1,2且AB知B=2，故解：集合A=1,2，由AB=2， AB=1,2知B=2或B=1,2，但AB，故只能B=2，由此得，解得p=-4，q=4【变式训练4】已知集合A=x|x-3x+2=0，B=x| x+2(a+1)x+a-5=0且AB=2，求实数a的值和AB.【解】由题意得A=1，2.AB=2，2B，2+2（a+1）2+a-5=0，整理的a+4a+3=0，解得a=-1或a=-3. 当a=-1时，B=-2，2,， AB=-2，1，2；当a=-3时，B=2，AB=-2，2.例5 已知， ，求实数的取值范围。若，求实数的取值范围。【关键点拨】先求出集合B，再画数轴帮助思考，要注意分和 两种情形进行考虑 解：或 （i） （ii） 由（i）（ii）可知：实数的取值范围为 （i） （ii） 或 或 由（i）（ii）可知：实数的取值范围为变式训练5已知集合A=x|x2，B=x|xm，若AB=A，则实数m的取值范围是.设 ， 若 ，则实数m的取值范围是_回顾反思1. 集合的运算大多与函数、方程、不等式相关,因此要注意知识的融会贯通.2. 集合运算问题常常使用数形结合、维恩图、数轴、分类讨论等数学方法.目标检测一. 选择题1. 设全集U=1，2，3,4,5,6,7,8,已知集合A=3,4,5，集合B=1,3,6，则集合2,7,8是 （）A.AB B.AB C. AB D. AB2. 已知A=2,4，B=3，5，则AB=（ ）A2,5 B3，4 C4 D3.若集合A=1，2，3，则满足AB=A的集合B的个数是 （）A1个 B.3个 C.7个 D.8个4. 设集合，则集合等于( )A. B. C. D. 5. 已知集合A= ，B= ，则（ ）A. B. C. D.6.设全集U是实数集R，M=x|x2，或x-2，N=x|1x4或者m7或m3”是“x2”的_；（3）“m+|n|=0”是“m+n=0:”的_;（4)“A=30”是“cosA=”的_;(5)“两个三角形相似”是“两个三角形全等”的_;(6)“a，b都是奇数”是“a+b是偶数”的_.【关键点拨】在解决这类问题时，对于具有“推出”关系的，我们往往可以进行证明，对不具有“推出”关系的，我们可举反例说明，如（1）中命题“b=ac”中取a=0,b=0就不能推出结论“a，b，c成等比数列”；在（2）中，根据“小范围推出大范围”可得结论【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6）【变式训练1】设命题甲：；命题乙：则命题甲和命题乙的关系正确的是( )A甲是乙的必要条件，但甲不是乙的充分条件 B甲是乙的充分条件，但甲不是乙的必要条件 C甲不是乙的充分条件，且甲也不是乙的必要条件 D甲是乙的充分条件，且甲也是乙的必要条件【例2】设a、b是实数，则“ab”是“”的（ ）A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件【关键点拨】要对字母a、b的取值进行讨论，如取a=1，b=1，满足ab，但，故“ab”不是“”的充分条件；若取a=-1，b=0，满足，但ab，故“ab”不是“的必要条件 答案：选D【变式训练2】设a、b是实数，则是的（ ） A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件答案:选B条件“a=b”是结论“ax+by=1所表示的曲线为圆”的 （ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件【例3】函数f（x）=+mx+1的图像关于直线x=1对称的充要条件是（ ）A.m=-2 B.m=2 C.m=-1 D.m=1【关键点拨】依据二次函数的图像和性质及充分条件的定义，当m=-2时，f（x）=x-2x+1，其图像关于直线x=1对称，反之也成立，所以f（x）= x+mx+1的图形关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.【答案】A【变式训练3】方程(a+2)-2ax+1=0有两个不相等实根的充要条件是（ ）Aa2或a2或a-1且a-2 C-1a0,即-a-20，得a2或a2或a-1且a-2故选B对于A，直线m可能位于平面内对于B，直线m可能位于平面内对于D，当直线m与平面相交时，显然在该直线上也能找到两个不同的点到平面的距离相等故选C【例4】如果集合A=x|0x1，B=x|0x1”是“B是sinAsinB的什么条件？12.已知集合，集合，求的充要条件.能力提升13设m，n是平面内的两条不同直线；，是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是()Am且Bm且nCm且n Dm且n解：因m，若，则有m且，故的一个必要条件是m且，排除A因m，n，l1，且与相交，若m且n，因与相交，故m与n也相交，；若，则直线m与直线可能为异面直线，故的一个