2018高考 《解三角形》专题复习概述(专职教师个人原创).doc

2018高考一轮复习系列解三角形专题复习概述一.考纲解读1.正弦定理、余弦定理：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.应用：能够运用正余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.二.基础剖析1.正弦定理与余弦定理的证明2.正弦定理与余弦定理推导公式3.正弦定理与余弦定理的应用4.三角形解的情况的判定5.重要关联知识点与公式三. 命题方向解析命题方向一：求解未知的边例一. (2016安徽五校联考)在ABC中，是2B与2C的等差中项，AB，角B的平分线BD，则BC_【解析】在ABC中，是2B与2C的等差中项，A2(BC)，而ABC180，A120.在ABD中，由正弦定理得，sinADB，ADB45，ABD15，ABC30，ACB30，ACAB，在ABC中，BC.【答案】例二. (2016衡中调研)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_【解析】如图，作PBC，使BC75，BC2，作直线AD分别交线段PB、PC于A、D两点(不与端点重合)，且使BAD75，则四边形ABCD就是符合题意的四边形过C作AD的平行线交PB于点Q，在PBC中，可求得BP，在QBC中，可求得BQ，所以AB的取值范围是(，)【答案】(，)例三. (2016百校联盟)已知ABC的三个内角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，且sin(A)，若ABC的面积为24，c13，则a的值为()A8 B14 C. D12【解析】sin(A)，sinAcosA，sinAcosA，与sin2Acos2A1联立可得cos2AcosA0，解得cosA或cosA，故或0A，舍去，由bcsinA24，得13b24，得b4，a2b2c22bccosA4213224131616940145，a，选C.【答案】C例四. (2016河北五一联盟)已知ABC的面积为，A，则BC的最小值为()A2 B3 C4 D.【解析】由S|AB|AC|sinA|AB|AC|，得|AB|AC|4，由余弦定理得|BC|2|AB|2|AC|22|AB|AC|cosA|AB|2|AC|242|AB|AC|44，所以|BC|2，即BC的最小值为2.【答案】A例五. (2016东北四市联考)在一幢10 m高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60，塔基的俯角为30，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为_m.【解析】依题意，画出如图示意图，AB为房屋，E为塔顶，AD10，EDADtan601030，塔的高度为CDED40(m)【答案】40命题方向二：求解未知的角例一. (2016贵阳调研)ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，ABC的面积为S，若4S(ab)2c2，则角C的大小为_【解析】由4Sa2b2c22ab可得，2absinC2abcosC2ab，即sinCcosC2sin(C)1，解得C.【答案】例二. (2016广西柳州)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2，c2，1，则C()A30 B45 C45或135 D60【解析】由1切化弦，边化角，得，从而cosA，所以A，由正弦定理得，解得sinC.又0C0，所以cos(AB)0，即cosC0，所以tanB，当且仅当tanA，即A时取等号，故tanB的最大值为，因此选A.例四. (2016太原调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD.为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC15，沿山坡前进50 m到达B处，又测得DBC45.根据以上数据计算可得cos_ 【解析】由于DBC45，则ADB30，由正弦定理得，即，解得BD25()，又由正弦定理得，即，那么sinDCB1，故coscos(DCB90)sinDCB1.【答案】1命题方向三：求面积的值或最值（范围）例一. (2016安徽六校)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC3acosBccosB，2，则ABC的面积为()A. B. C2 D4【解析】依题意，得bcosCccosB3acosB，由正弦定理得13cosB，cosB，因为2，即accosB2，故ac6，故ABC的面积为acsinB2.【答案】C例二. (2016江西两校)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2(ab)26，C，则ABC的面积是()A3 B. C. D3【解析】c2(ab)26，a2b2c22ab6，又cosC，ab6，SABCabsinC6.【答案】C例三. (2016芜湖模拟)在ABC中，已知AB8，BC7，cos(CA)，则ABC的面积为_【解析】如图，在边AB上取一点D，使得ADCDx，则cosDCBcos(CA)，于是在CBD中，由余弦定理，得，解得x5.从而cosB，所以sinB，故SABC8710.【答案】10例四. (2016福州模拟)已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(3b)(sinAsinB)(cb)sinC，且a3，则ABC面积的最大值为_【解析】由a3，(3b)(sinAsinB)(cb)sinC，即(ba)(sinAsinB)(cb)sinC，由正弦定理得(ba)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，所以cosAA60，所以bcb2c2a22bc9bc9，所以SABCbcsinA，即ABC的最大面积为.【答案】命题方向四：其他综合问题例一. (2016开封调研)已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，则ABC的形状是()A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形【解析】方法一：由正弦定理得sin2AcosAsinBsin2BsinAcosB，因为sinAsinB0，所以sinAcosAsinBcosB，所以sin2Asin2B.在ABC中，02A2，02B2，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC为等腰三角形或直角三角形例二. (2016长沙模拟)ABC的周长等于2(sinAsinBsinC)，则其外接圆半径等于_【解析】设ABC的内角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，外接圆半径为R，则依题意得abc2(sinAsinBsinC)由正弦定理得2R(sinAsinBsinC)2(sinAsinBsinC)，因此该三角形的外接圆半径R1.【答案】1四. 近年真题12016全国卷 在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cos A()A BCD解析 C如图所示，作ADBC交BC于点D，设BC3，则ADBD1，AB，AC.由余弦定理得32()2()22cos A，解得cos A.22014新课标全国卷 钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC()A5B C2D1解析 B根据三角形面积公式，得BABCsin B，即1sin B，得sin B，其中CA.若B为锐角，则B，所以AC1AB，易知A为直角，此时ABC为直角三角形，所以B为钝角，即B，所以AC.32016全国卷 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_解析 cos A，cos C，且A，C为三角形的内角，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理得，解得b.42014新课标全国卷 已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_解析 根据正弦定理和a2可得(ab)(ab)(cb)c，故得b2c2a2bc，根据余弦定理得cos A，所以A.根据b2c2a2bc及基本不等式得bc2bca2，即bc4，所以ABC面积的最大值为4.52016全国卷 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长解：(1)由已知及正弦定理，得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C，可得cos C，所以C.(2)由已知，得absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得，a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225，所以ABC的周长为5.62015全国卷 ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长解：(1)SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD.因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理可得.(2)因为SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26.由(1)知AB2AC，所以AC1.72013新课标全国卷 如图所示，在ABC中，ABC90，AB，BC1，P为ABC内一点，BPC90.(1)若PB，求PA；(2)若APB150，求tanPBA.解：(1)由已知得，PBC60，所以PBA30.在PBA中，由余弦定理得PA232cos 30.故PA.(2)设PBA，由已知得PBsin .在PBA中，由正弦定理得，化简得cos 4sin .所以tan，即tanPBA.82013新课标全国卷 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b