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1悬链线方程的推导锚链一端受到水平预张力,并在其均匀分布的自重力作用下产生下垂。设锚链水中单位重力为, 建立如图1所示的直角坐标系,并设锚链曲线对应的函数为。对于横坐标上0至这段锚链,长度为,则,顶端拉力为,该力倾角为,水平张力,根据力学原理可知,和三力平衡。可知(图2).图1图2 假定该水平张力在锚链上处处相等,对于任意一段锚链,该平衡均成立,而,对该式取微分,则有 (1)弧长微分,对式(1)分离变量后并积分: (2)对式(2)积分后得到: (3)对式(3)再次分离变量后,得 (4)并积分, (5)查积分公式可得: (6)式(6)即为锚链悬链线的一般方程。假设锚链末端拖地,并设拖地点为原点,则对于拖地点有,代入式(3)和(6),联立方程后,可解得:,,代入式(6)得: (7)式(5)即为拖地点为原点的悬链线一般方程。而对于悬挂点为原点的悬链线方程,仅系数有所变化,如下式表示,推导过程不再叙述。该方程对于有悬锤的悬链线更适用。,代入式(3), (6)可解得: (8) 式(8)即是以悬挂点为原点的悬链线一般方程。为悬链线长度,在已知的情况下,根据式(7)可求出值,并对曲线积分,即可求出悬链线长度。2 带悬锤的悬链线方程有悬锤的悬链线,受力模式和求解过程均与一般悬链线相似。区别的是其初值不同,因此只是和不同而已。从图3可以看出,以悬锤点为界,上段悬链线中的竖向力多了悬锤重和,水平力均相同,悬锤以下段,悬链线与一般悬链线相同。图3带悬锤的悬链线受力图悬挂点处初始值:,且 (9)式中;为悬锤水下重力,实际重力应作换算。(10)以悬挂点为原点建立的悬链线方程,同样适用于锚链不拖地的情况,但悬链线方程式应通过试算来确定。式(10)即为锚链悬挂点至悬锤处的悬链线方程:悬挂点坐标为则悬挂点以下悬链线方程为: (11)
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