内蒙古科技大学 线性代数答案第五章相似矩阵及二次型.doc

第五章 相似矩阵及二次型一、计算题1.解：,=12+23+3（-1）+（-4）4=-11单位化如下：单位化：单位化：2、解：先正交化：取，单位化：取，3 解：先正交化：取， 再单位化：=，4解：不是。因为该矩阵的列向量不都是单位向量，且不两两正交。5解：是.因为该矩阵的每个列向量都是单位向量，且两两正交。6解：所求向量应满足方程,即该方程组的基础解系是：，把基础解系正交化即得所求向量有，7 解：A特征多项式为：，所以A特征值为：，当时，解方程，的基础解系：，所以（）是对应于的全部特征向量；当时，解方程，的基础解系：，所以（）是对应于的全部特征向量8解：A特征多项式为：，所以A特征值为：，当时，解方程，基础解系：，故对应于特征值的所有特征向量为：（不同时为0）9 解：令，A特征多项式为：，所以A特征值为：10 解：A可逆，有，故的特征值为：，所以11、解：A的特征值分别为：，特征值互不相等，故可以对角化。对应，解方程组，得基础解系，单位化得对应，解方程组，得基础解系，单位化得对应，解方程组，得基础解系，单位化得将构成正交阵，有12解：A的特征值分别为：对应=2，解方程组，得基础解系，单位化得对应，解方程组，得基础解系，单位化得：，线性无关，故可对角化。将构成正交阵，有13解：A的特征值分别为：，特征值互不相等，故可以对角化。对应，解方程组，得基础解系，对应，解方程组，得基础解系，对应，解方程组，得基础解系，用施密特法把正交化，即得到所求正交阵14解：，15解：B为对角阵，A与B相似，即-1，x，y就是A的特征根，A的特征根为：故x=2，y=-216解：A为对称阵，故不同特征值所对应的特征向量正交，故与对应的特征向量应满足下列方程：，解方程组有基础解系为：，将其单位化有：。将，正交化，有，再单位化：，。将构成正交阵，即17解：该二次型的矩阵为：18解：19、解：所对应的矩阵，由题意A的特征值为：，其特征多项式为：得，由于，故对应，解方程组，得基础解系，单位化得对应，解方程组，得基础解系，单位化得对应，解方程组，得基础解系，单位化得将构成正交阵，有20. 解：所对应的矩阵，A的特征向量为：故标准型为所用正交阵由19题知，即21.解：f=令，即可逆线性变换 22.解：所对应的矩阵，若正定，即A正定，A的各阶主子式应都为正，有即23解：设对应的特征值为，有即解得a=3,b=4,24.解：A为对称阵，故所对应的特征向量与所对应的特征向量正交，故满足下列方程：，解方程组有基础解系为：，将，正交化，有，再单位化：，。将单位化得：将构成正交阵，25.解：（1）由题意：，故是矩阵的特征向量。设，故B的特征值分别为：即对应于有，B的全部特征向量为（不为0）B为对称阵，所以对应于的特征向量满足与正交，即满足方程解有其基础解系为：，将正交化，故对应于的全部特征向量为：（不同时为0）（2）分别将单位化：将构成矩阵，有 ， 26.解：已知n阶方阵A有n个互异的特征值，故存在可逆矩阵P，使得P-1AP=diag(2，4，2n)det(A-3E)=det（PP-1-3PP-1）=det（P(-3E)P-1）=detP det(-3E)det(P-1)= det(-3E)=-1135(2n-3)27.解：（1），的特征值分别为，对应于的特征向量为：（不同时为0）对应于的特征向量为：（不为0）这里（2）将正交化有，分别单位化有：，将单位化有故所求正交阵为（3）28. 解：(1)所对应的矩阵为，A的秩为2，则该矩阵的第一列和第二列应对应成比例，满足：，解得：a=0（2）A的特征值为：对应于，解方程组，得基础解系，单位化得：对应，解方程组，得基础解系，单位化得，由构成矩阵Q，则所求正交变换为，标准型为：（3）由于=0.所以，其通解为x=k(-1,1,0)T,其中k为任意常数.29. 解：A的特征方程为故A的特征值为1，1，-5.（2）由于A的特征值为1，1，-5，则A-1的特征值为1，1，则E+A-1的特征值为1+1=2，1+1=2，1+（）=30.解：（1）此二次型对应矩阵为，因R(A)=2，故，解得c=3容易验证，此时A的秩是2.此时，A的特征多项式为。故所求特征值为（2）二次型f的标准形可表为，由=1，可得，由此可知=1所给出的曲面是椭圆柱面.二、证明题1证明：而，所以，故为正交矩阵2 证明：因为是正交矩阵，所以且，而由于是正交矩阵，所以，因此，是正交矩阵得证3、证明：即，设A的特征值为，且对应的特征向量为有，故，为特征向量，不可能为0，故解得：，所以的特征值只能是或者4.证明：设是A的特征值，是属于的实特征向量，则 (1)两边取转置有 (2)式(1) 与式(2)相乘得即因,故,即,因为，故，即5、证：因为A可逆，由A-1(AB)A=BA知，AB与BA相似6、证明：因为A，是n阶正定矩阵，所以对任意非零向量，有，故，因此也是正定矩阵7证明：设是矩阵对应于特征值的特征向量，有，又因为，则，得证。8 证明：由题意；，得证9.解：（1）,有(2)矩阵B-CTA-1C是正定矩阵.由（1）的结果可知，矩阵D合同于矩阵，又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵.因矩阵M为对称矩阵，故B-CTA-1C为对称矩阵，对X=（0，