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例1.1.1，易得，。因为，不收敛。定理1.2.1 设映射 ，则有（1） ；（2）。证明 显然，与都是X到W的映射。对任意，有因此，。定理1.2.2 设映射是可逆的，则的逆映射是唯一的。证明 设映射和均为的逆映射，则， 。于是由定理1.2.1，有 定理1.2.3 映射是可逆映射的充分必要条件为是X到Y的双映射。证明1、必要性.设是可逆映射，则存在映射。对任意，如果，则有从而 。因此是X到Y的单映射。对任意，若，则。因此是X到Y的满映射。于是，是X到Y的双映射。2、充分性. 设是X到Y的双映射，则对任意，存在惟一的使得。定义映射g为， ，则，即，并且对任意，即。由定义1.2.4知，为的逆映射。例1.3.2 设表示实数域上所有矩阵的集合，对于，如果存在可逆矩阵，使得，则称矩阵A与B相抵。，相似。，则称矩阵A与B相合。定理1.3.1设是集合A内的一个等价关系，则当且仅当。证明 设。任取，则。由传递性得，从而。因此，。由对称性得，于是由刚才证得的结论有。所以。反之，设。因为，所以。定理1.3.2 集合上的每个等价关系都决定的一个分类。反之，集合的每个分类都决定上的一个等价关系。证明 如果是上的等价关系，则给出了的一个分类。反过来如果是的一个分类，令存在，使得则是上的一个等价关系。定理1.4.1 (Zorn引理)设是非空的偏序集，如果的每个子序集都在中有上界，则必有极大元。证明 1、由Zorn公理知有最大子序集。由定理条件知有上界。2、下面证明就是的极大元。事实上，假设不是的极大元，则存在使，从而也是的子序集。显然，即是的真子集，这与是的最大子序集矛盾。定理1.5.2 设是一个非空集合，则。证明 1、先证，只需构造的一个单映射。，令，为单点集合，则为的一个单映射，因此。2、再证，即不存在的双映射。反证法。若存在双映射，注意，即为的一个子集，构造的子集由于是双映射，所以，使。不论还是，都与的定义矛盾。因此不存在的双映射。得证。第二章 代数结构与线性空间定理2.1.2设是两个非空集合，和分别是A和B上的代数运算。如果A与B同态，则（1）若适合结合律，则也适合结合律；（2）若适合交换律，则也适合交换律。定理2.2.2 设G是一个群，则对任意，如果或，则；（2）对任意，方程与在G中都有唯一解。证明 （1）以为例，由群G的定义，对任意，存在。用左乘两边得则即其中e为G的单位元，所以。（2）对，有。于是，并且有。上式说明为方程在G中的解，即在G中有解。设都是方程在G中的解，则由（1）得。因此方程在G中有唯一解。同理可证为方程在G中的唯一解。 定理2.2.4 设是群的非空子集，则是的子群当且仅当对有。证明1、必要性. 对，由定理2.2.3（2）知，从而。2、充分性. 因为非空，对，则，即H有单位元e。又因为，所以，即H中任意元素在H中有逆元。对，有，即对于的运算封闭。显然，对于的运算满足结合律，故是一个子群。 如果，是群G的两个子群，因为中没有单位元，所以不是G的子群。一般地，未必是G的子群。例如，按通常的向量加法构成一个加法群。记，则，都是的子群，但不是的子群。定理2.2.6 设，是群G两个子群，则它们的乘积是G的子群当且仅当。证明 1、如果是G的子群，对任意，则，并且。记，则，从而。另一方面，对，由，且是G子群，则，从而。故，。2、若，对任意，记，其中，则。由定理2.2.4知，是G子群。定理2.2.8 整数加法群Z的每个子群H都是循环群，即H = 0或，其中m是H中最小正整数。证明 若H = 0，则结论显然成立。若，则H中必有最小正整数m，从而。另一方面，对任意，有，其中，并且，则。因为m是H中最小正整数，则，从而，因此。于是，。定理2.2.9 设G与是两个群，与分别是G与的单位元，是G到的一个同态映射，则（1）；（2）对任意，。定理2.2.10 设G与是两个群，是G到的一个同态映射，则（1）是G的子群；（2）是的子群；（3）是一个单映射当且仅当。证明 （1）由定理2.2.9知，非空。对任意，有。则，即，由定理2.2.4知，是G的子群。（2）由定理2.2.9知，非空。对任意，存在，使。因为，由定理2.2.9有。由定理2.2.4，是的子群。（3）若是G到的一个单映射，则对任意，有。因此，即。反之，若，则任意且，有。故，即是单映射。定理2.2.12 设H是群G的一个子群，则（1）对，有；（2）。证明 （1）令则是H到上的双映射，从而。类似可证：。（2）令则是到的双映射，从而。定理2.2.13 设H是群G的子群，则。证明 由定理2.2.12（1）知，每一个右陪集Ha（左陪集aH）与H等势。因为是G关于商集，则，故得证。定理2.2.14 设N是群G的一个子群，则下列等价：1、N是G的正规子群；2、对任意，都有；3、对任意，都有；4、对任意，都有。证明 （1）（2）因为是的正规子群，则任意，都有，从而有。（2）（3）和（3）（4）显然成立。（4）（1）设，则存在使得。由（4）有即存在，使。因此有，故。反之，设，则存在使得。由（4）有，即存在，使。因此有，故。故，对任意有，是的正规子群。定理2.2.15 设N是群G的一个正规子群，在上规定运算：，则关于此运算构成一个群。证明 1、首先证明运算结果与两个陪集代表元的选取无关。事实上，对，如果，即，则存在，使得，从而。因为N是群G的正规子群，则存在，使得，于是。因此，。2、对，由知，且陪集间的乘法归结为陪集代表元乘法，所以结合律成立。是单位元，且对任意，则是的逆元。得证。定理2.2.16 设是群G到群同态映射，则（1）是G正规子群；（2）与同构。证明（1）由定理2.2.10，是G子群，且对任意，则由定理2.2.9，即。得证。（2）记，令则是到的同构映射。事实上，若，则，从而。于是，是到的一个映射。因为是G到的同态满映射，所以是到的一个满映射，且如果，则，从而，于是。则是到双映射。因为对任意，因此是到同构映射。定理2.2.17 设A是一个非空集合，A上所有一一变换所作成一个变换群。证明 如果是A上的一一变换，由定理1.2.4知，是A上的一一变换。由定理1.2.1知，A上的所有一一变换作成一个半群。A上的恒等变换I是单位元。设是A上的任意一个一一变换。由定理1.2.3知，存在A上的一个一一变换，使得。得证。定理2.3.7 设S是域F的非空子集，则S是F的子域的充要条件1、S含非零的元素；2、，有；3、，有。证明 1、必要性显然成立。2、充分性。因为，由（2）知，S关于加法作成F的一个子加群。由（1）知S至少含有两个元素。设e为F的单位元，对任意，若，。由（3）知，且，从而有；若a，b中至少有一个为零元，则必有，故S对于F的乘法是封闭的。因此，S是域F的一个子环。由于S的所有非零元素对于F的乘法构成一个群，因此S是一个除环。又S是域F的子集，则S关于乘法适合交换律，所以S是F的子域。定理2.3.8 设R和是两个环，并且R与同态，则1、R的零元的像是的零元；2、R中元素a的负元素的像是a的像的负元素；3、如果R是交换环，则也是交换环；4、如果R有单位元e，则也有单位元，并且是e的像。证明1、因为环R与同态，则存在R到的一个同态满映射。对任意，存在，使得。于是则R的零元0的像是的零元。2、对任意，有因为是的零元，故有。3、由定理2.1.2知，若R是交换环，则也是交换环。4、如果R有单位元e，则对任意，有，使得，故，因此是的单位元。定理2.3.4 设S是环R的非空子集，则S是R的子环的充分必要条件是对任意，都有，。定理2.3.9 设R和是两个环，是R到的同态映射，则（1）是R的子环；（2）是的子环；（3）的充分必要条件是是R到的单映射。证明(1)显然是R的非空子集, 对任意，即，则，即，由定理2.3.4知，是R的子环。（2）显然是的非空子集。设，则存在，使得，从而，由定理2.3.4知，是的子环。（3）1、必要性。设。对，如果，则，即，于是，从而，即，所以是单映射。2、充分性。如果是环R到环的单映射，显然，则对任意，有，于是，所以。定理2.3.11 设R是的一个环，I是R的非空子集。则I是R的一个理想当且仅当（1）对任意，都有；（2）对任意与任意，都有，。定理2.3.13 设R是一个环，对，令，则I是R的一个理想。证明 对任意，由，有，且对任意，由，有，。由定理2.3.11知，I是R的一个理想定理2.3.14 整数环Z是主理想整环。证明 设I是Z的一个非零理想，m是I中的最小正整数，因为Z是整环，则。另一方面，对任意，有带余除法有，其中且，则，而m是I中的最小正整数，故，即，从而。因此。定理2.3.15 设I是环R的一个理想，在上规定运算：，则关于这两个运算构成一个环。证明 由定理2.2.15的证明可知，对任意，如下法则，是上的两个运算，并且运算结果与两个陪集代表元的选取无关。由定理2.2.15知，对上述加法构成一个交换群，且上述乘法构成一个半群，乘法对加法具有分配律。得证。定理2.3.16 设是环R到环的同态映射，则（1）是R的一个理想；（2）环与同构，即。证明 （1）由定理2.3.9知，是R的子环。对任意，即，对任意，有，则。因此，是R的理想。（2）令，则是到的同构映射。事实上，对任意，若，则，从而。于是是到的一个映射。因为是R到的同态满映射，所以是到的一个满映射，且如果，则，从而，于是。所以是到的双映射。由于，得证。定理2.4.3 设为域F上的线性空间，与是中两个向量组。如果可经线性表示，并且，则向量组线性相关。证明 因为向量组可由向量组线性表示，即，作线性组合。考虑齐次线性方程组，因为上述齐次线性方程组未知数的个数r大于方程的个数s，从而有非零解，即存在不全为零的元素，使得。得证。定理2.4.7 除了零空间0之外，域F上线性空间V 一定存在一组基。证明 设V是非零线性空间，V中线性无关向量所构成子集的全体记为，则非空，并且按集合的包含关系“”定义一个偏序集。若是V中线性无关子集的一个子序集，则仍为一个线性无关子集，故中任一子序集必有上界。由Zorn引理知，有极大元，即V有极大线性无关子集S，即S是线性无关的，但任意真包含S的子集一定不是线性无关的，于是S生成V。事实上，设若不然，必有向量，则不是S中向量的线性组合。于是，是真包含S的线性无关子集，这与S是极大线性无关子集矛盾。因此，V的基存在。定理2.4.8 设与是线性空间中两个向量组，则(1)=当且仅当与等价；(2)=，并且的基是向量组的一个极大线性无关组。证明 (1)1、若=，则可以由线性表示；可以由线性表示。因此与等价。2、反过来，如果与等价，则可以由线性表示的向量都可以由线性表示；反之亦然。因而=。（2）设向量组的秩是，并且是的一个极大线性无关组。因为与等价，所以=。由定理4.2.1知的维数是，并且是一组基。定理2.4.9 设是域F上的有限维线性空间，是的子空间，则当且仅当。证明 必要性显然成立，下面证充分性。设，为的一组基。因为，则是中线性无关向量组。因为，所以是的一组基。于是对任意，有，即。因此。定理2.4.11 设，是域F上线性空间的两个子空间，则是的子空间。证明 因为，所以非空。对及，则+，+， ，于是,由于，是的子空间，所以，从而，。因此是的子空间。定理2.4.12设，是域F上线性空间的子空间，则1、=，=；2、（），（）+；3、若，则；4、若，则；5、当且仅当；6、当且仅当；7、当且仅当或。证明 (1)(4) ，（6）显然成立。（5）充分性显然成立。下面证必要性。对任意，则。于是，因此。(7)由(5)即知充分性显然成立。下面用反证法证必要性。假设与均不成立，则存在，但。令，则，但，于是。从而，这与条件矛盾。因此或。 例2.4.9 在中，。令，则。定理2.4.13设，是域F上线性空间的子空间，且，则。证明 因为，则。而，于是。对任意，则，而。因为, 则,从而,即. 于是。定理2.4.14（维数公式）设，是域F上线性空间的两个有限维子空间，则与+都是有限维的，并且dim()+dim()=dim(+)+dim()证明 因为是有限维的，而是的子空间，所以也是有限维的。设dim()=，dim()=，。取的一组基，把它扩充成的一组基,，且把也扩充成的一组基,，则=,)，=,)且+=,）。考虑等式令 =由第一个等式知；而由第二个等式有，于是。因此可以由线性表示，即，则因为,线性无关，则得，因而=0。从而有由于,线性无关，得。这就证明了,线性无关。由定理2.4.8知,是+的一组基，因此+是有限维的，且dim(+)=。定理2.4.15 设，是域F上线性空间的两个子空间，则下面的叙述是等价的。（1）和+是直和；（2） 和+中零向量的表示法唯一，即若+=0（，），则=0且=0；（3）=0。证明（1）（2）是显然的。（2）（3）任取，因为零向量可表示为0=+（），由（2）得=0。因此=0。（3）（1）若=0，设+有两个分解式=+=， ，则=，其中，从而，。于是，即向量的分解式是唯一的。因此和+是直和。定理2.4.16 设是域F上有限维线性空间的一个子空间，则存在的一个子空间使得=。证明 因为是有限维的，不妨设，则也是有限维的。假定，取的一组基，把它扩充成的一组基。令，则即满足要求。 定理2.4.20 设与是域F上线性空间，为到的同构映射，则中向量组线性相关当且仅当是中线性相关向量组；若是维，是的一组基，则也是维，并且是的一组基。定理2.4.22设是域F上的维线性空间，则与同构。证明 设是的一组基。对中任一向量，它可唯一地表示为。令， =，则是到上的双映射，并且保持运算关系不变。事实上，对及中向量，有， ，。因为，则，即是到的同构映射。因此，维线性空间与同构。定理2.4.23 域F上的两个有限维线性空间与同构的充要条件是它们维数相同。证明必要性由定理2.4.20(2)即得。充分性。设。由定理2.4.22知，与同构，且与同构。因为线性空间同构是等价关系，得证。定理2.4.24 若域F上元非齐次线性方程组有解，则它的解集合是一个线性流形，其中是的一个解，是的零空间。证明 设线性方程组的所有解组成的集合记为，则。任取，则。于是，所以。因此，。定理2.4.26 设是域F上线性空间的子空间，对，令， （1），（2）则按上述加法与数量乘法构成数域P上的线性空间。证明（1）和（2）（结果不依赖于代表元的选取。设，则。因为是的子空间， ，从而。上式说明（2.4.1）和（2.4.2）定义了上的加法与数量乘法，并且由定理2.4.25容易验证按（1）和（2）定义的加法与数量乘法构成域F上的线性空间。 定理2.4.27 设是域F上有限维线性空间的子空间，则。证明1、设，是的一组基。把扩充成的一组基。任取，设，则。这表明中任一向量可经线性表示。2、下面证明线性无关。现设，则，从而。于是，即。因为线性无关，所以，因此线性无关，即是的一组基，则。定理2.5.8 环R上两个自由模同构当且仅当它们的维数相同。证明 设M与都是环R上的自由模。如果M与同构，则存在M到的同构映射，从而将M的基映射为的基。因为是双映射，所以。反之，若，设B和分别为M和的基，因为B和的基数相同，则存在B到的一个双映射。这个双映射可线性扩充为M到上的同构映射，故M与同构。子模S也是一个陪集。证：设M是环R上的模，S是M的子模。在M上定义一个关系“”：对任意，当且仅当，则这个关系是M中的一个等价关系。模M按等价关系可构造商集。因为等价关系是由M的子模S确定的，所以将称为模M对子模S的商集，记为。此商集元素为等价关系的等价类。用表示包含元素的等价类。类似于线性空间中商集的元素，对任意，包含元素的等价类可表示。通常称为S在M中的一个陪集，于是。因为，所以子模S也是一个陪集。第三章 拓扑结构定理3.1.2设是一个非空集合，是X的一簇子集。如果（1）；（2）对，存在，使得，则是上的拓扑，并且是上唯一一个以为基的拓扑；反之，如果是上某个拓扑的基，则必满足条件（1）和（2）。证明 1、当满足条件（1）和（2）时，则由定义3.1.1，容易验证是上的一个拓扑。如果也是上的以为基的一个拓扑，则对任意，A必是中某些元素的并，从而。于是。如果，则A是中某些元素的并。因为，从而A是中某些元素的并，所以，又得。因此。2、反之，若已知上的拓扑，而是的基，则，从而是中元素的并，即；另一方面，中所有元素都是的子集，所以。因此，即满足条件（1）。如果，则，从而是中元素的并，于是存在一个，使得，即满足条件（2）。定理3.1.4 设是一个拓扑空间，则A为闭集当且仅当为开集。证明1、 如果A为闭集，任给，有，从而x不是A的极限点。于是存在的邻域U，使得。因为U是的邻域，则存在，使，从而，即是中一簇开集的并，因此是开集。2、反过来，如果是开集，则对任意，就是的一个开邻域，而中没有A的点，从而x不是A的极限点，即A的极限点必不属于，故A的极限点皆在A中，于是A是闭集。定理3.1.6 设为拓扑空间的子拓扑空间，则（1）W的子集是拓扑空间中的开集当且仅当存在中的开集，使得；（2）W的子集是拓扑空间中的闭集当且仅当存在中的闭集，使得；（3）如果是X的拓扑基，则为W的拓扑基；（4）设，如果为x在X中的邻域基，则为x在W中的邻域基。证明 （1）由子拓扑空间的定义即得。设为拓扑空间，为非空子集，令，称为的子拓扑空间或拓扑子空间，并称为诱导的拓扑。（2）由定理3.1.4知，是W中的闭集当且仅当为W中的开集。由（1）可知为W中的开集当且仅当存在中的开集，使得。而是中的开集当且仅当存在中的闭集使，从而。（3）任给W的开集M，由（1）知，存在中的开集A，使。因为是X的拓扑基，则存在使，于是。因此，为W的拓扑基。（4）其证明与（3）的证明类似。定理3.1.7 设，是两个拓扑空间，映射，则下列叙述等价：（1）为到的连续映射；（2）中的任何闭集B的原像都是中的闭集；（3）在中每一点都连续。证明 若为到的连续映射，则中任何开集的原像都是中的开集。设B是中的闭集，则为中的开集。于是为中的开集。容易证明：。所以为中的闭集。完成类似可证。 若为到的连续映射，则中任何开集的原像都是中的开集。对，设为在中的一个邻域，则存在中的一个开集，使，因为是中包含的开集，且，所以为在中的邻域，即在点连续。 设是中任一开集，则对，有，从而是的邻域。因为在连续，则为的邻域，从而有开集，使.于是，即为中的开集。定理3.1.8 设是拓扑空间，映射，都是连续映射，则是连续映射。证明 对Z中的任意开集V，因为是连续映射，则是Y中的开集。又由于是连续映射，则是X中的开集，从而是连续映射。定理3.1.9 设为拓扑空间，则下列等价：（1）为不连通空间；（2）存在中的非空开集，使；（3）中存在既开又闭的非空真子集。证明 设不连通，则存在非空闭集，使。令，则为开集，且。 若存在中的非空开集，使，则是闭集，从而是中既开又闭的非空真子集。 若中存在既开又闭的非空真子集，则的余集也是既开又闭的真子集，且，故不连通。例3.1.8 欧氏拓扑空间R是连通空间。证：如果R中存在既开又闭的非空真子集A, B使得，任取，则。不妨设。令，则有上界，从而有上确界，记为。因为是闭集，则。因为，则，从而。因为也是闭集，所以，从而。这与矛盾，因此是连通空间。定理3.1.10 设，是两个拓扑空间，映射为连续映射。若是同胚映射，是连通空间，则也是连通空间。证明 采用反证法。假设不连通，则存在的非空开集，使得。由连续映射的定义可知，为中的开集，且，这与是连通空间矛盾。因此是连通空间。定理3.1.11 设是两个拓扑空间，并且是连通空间，则积空间也是连通空间。证明 1、首先证明对与同胚。事实上，令，则是的双映射。在与的映射下，中的开集与中的开集互为原像，即与都连续，故为同胚映射，与同胚。2、同理可证：对，与也同胚。由连通可知，与都连通。3、下面证明连通。采用反证法。假设不连通，则存在两个既开又闭的非空不相交真子集使。取，令。因为非空，且与都连通，所以是一个包含与的连通子集，但与都是的既开又闭的非空不相交真子集，且。这与连通矛盾，因此连通。定理3.1.12 Hausdorff空间中收敛序列的极限是唯一的。证明 设为Hausdorff空间，为收敛序列，并且都是序列的极限，则存在的开邻域，使得，且。由序列极限的定义知，存在正整数，当时，有，而当时，有。于是，当时，有。这与矛盾。因此。定理3.1.13 设均为拓扑空间，并且为Hausdorff空间，则（1）若是的子拓扑空间，则也是Hausdorff空间；（2）若与同胚，则也是Hausdorff空间；（3）若是Hausdorff空间，则也是Hausdorff空间。证明 （1）对，因为是Hausdorff空间，则存在开邻域，使，且，而，都是中的不相交开邻域，故是Hausdorff空间。（2）设为同胚映射，对，则。因为是Hausdorff空间，则存在，的不相交开邻域。因为也是连续的，所以分别为在中的不相交开邻域，得证。（3）对，则或。不妨设，则存在各自互不相交的开邻域与。而与分别是与在中的不相交开邻域，所以是Hausdorff空间。定理3.1.13表明Hausdorff空间是同胚不变的、可遗传的、有限可乘积的。例3.1.10 （1）欧氏拓扑空间不是紧空间，因为是的开覆盖，它没有对的有限子覆盖。中的开区间不是紧集，因为是的开覆盖，它没有对的有限子覆盖。（2）若为离散拓扑空间，则为紧空间的充要条件是为有限集。定理3.1.14 设为拓扑空间。（1）若为紧空间，则的每一个闭子集都是的紧集；（2）若与同胚，则是紧空间当且仅当是紧空间；（3）若是连续映射，并且A为中的紧集，则是Y中的紧集；（4）若A为中的紧集，是连续映射，则为有界闭集，且有最大值和最小值。证明 （1）若为紧空间，是的一个闭子集，为的任一开覆盖。因为是闭集，则是开集，从而为的一个开覆盖。因为是紧空间，则存在中的有限个开集覆盖，从而覆盖，故为紧集。（2）若拓扑空间与同胚，则存在同胚映射。若为紧空间，为的任一开覆盖，则为的一个开覆盖。于是存在有限个开集覆盖，则覆盖，因此是紧空间。反之亦然。（3）设为的任一开覆盖，由，有。因为f是连续映射，则都是中的开集，并且是紧集A的开覆盖，从而存在有限个开集覆盖A，即。于是，即是对的有限子覆盖，故是Y中的紧集。（4）由（3）知是R中的紧集，故是有界闭集，从而和都存在且都属于。定理3.1.15 设为Hausdorff空间，A是X中的紧集。对，则存在开集，使得，并且。证明 任给，则。因为是Hausdorff空间，则x和y有各自的开邻域，且。于是构成A的开覆盖。因为A是X中的紧集，则存在对A的有限子覆盖。对每个，有x的开邻域，满足。令，则U是包含x的开集，并且。令，则V是包含A的开集，并且。定理3.1.16 Hausdorff空间中每个紧集都是闭集。证明 设为Hausdorff空间，A是X中的紧集，则对，由定理3.1.15，存在开集，使得，并且。即对，有x的邻域，这说明是开集，从而A是闭集。定理3.1.17 设是Hausdorff空间中的非空紧集序列。若，则证明 记，由定理3.1.16知是闭集，则是中的开集，且。假若，则，即是的开覆盖，从而存在的有限子覆盖。又因为，则覆盖，从而，这与矛盾。故第四章 距离空间引理3.2.1 如果实数且，则对任意非负实数，有。证明 若或，显然成立。下面考虑均为正实数的情况。对，记。 1、容易验证在处达到最大值，从而，即。2、对任意正实数，中令，则。由此再令，得证。定理3.2.2 设为距离空间，, 是V中的收敛点列，且，则（1）的极限是唯一的；（2）的任何子点列都收敛于的极限；（3）是有界的；（4）。证明 （1）设都是的极限，则，当时，从而。因此。（2）的证明留给读者。（3）由知，存在正数K，使得当时，。取，则。（4）由度量空间定义，有，从而，令即得结论。定理3.2.3 距离空间中的开集具有如下性质：（1）空集和都是开集；（2）任意多个开集的并是开集；（3）有限个开集的交是开集。证明（1）空集中没有元素，当然满足开集的定义。显然，中任一点的邻域都是的子集，故是开集。（2）设为任意多个开集，其中为指标集，则对，存在某个，使。由于为开集，所以存在的一个邻域，于是，即为开集。（3）设为个开集，则对，有。由于为开集，则存在的一个邻域，取，有，故为开集。定理3.2.4 距离空间都是Hausdorff空间。证明 对距离空间，令，称为由距离所导出的拓扑。类似于定理3.2.3的证明，容易验证：是拓扑空间。对，记，分别是x和y的开邻域。如果，则，故。因此是Hausdorff空间。定理3.2.5设为距离空间，。则（1）是A的极限点当且仅当在A中存在一个点列满足并且；（2）A是闭集的充分必要条件是A中任何一个收敛点列必收敛于A中的一点；（3）A是闭集当且仅当。证明（1）1、如果是A的极限点，则任意邻域必含有A中异于的点，于是对每个正整数，必有且，即A中存在不同于的点列满足。因此。2、反过来，如果A中存在一个点列满足并且，则点列中必有无穷多个点彼此不同（因为如果点列只有有限个点组成，则点在其中重复出现无穷多次，而，所以。这与矛盾）。设是中互不相同的点组成的子点列，是任意邻域。由于，所以存在正整数，当时。这说明任意邻域都含有A中不同于的点，因此是A的极限点。（2）1、必要性 设A是闭集，是A中任一收敛点列且。如果，则；如果对所有的都有，则由（1）知，是A的极限点，从而，因为A是闭集，所以。2、充分性 对A的任一极限点，由（1）知在A中存在一个点列满足并且。由充分性条件得，所以。因此A是闭集。（3）由闭集和闭包的定义即得。设为距离空间，若的任一邻域都含有中异于的点，则称为的一个极限点或聚点。A的极限点全体所成的集合称为A的导集，记为。若，则称为中的闭集。若，则称A为中的自密集。若，则称A为中的完全集。记，称为的闭包。定理3.2.6设为距离空间，。则（1）；（2）A中存在点列满足；（3）的任一邻域都有A中的点。证明 设，则或。如果，令，则是A中的点列且。如果，则由定理3.2.5知，A中存在一个点列满足。设且。如果，则。如果，则由知且，由定理3.2.5知，是A的极限点，即。总之，。设，如果，则的任一邻域都有A中的一点，例如。如果，但，则的任一邻域都含有中异于的点，中当然有A中的点。设的任一邻域都有A中的一点，则对任意正整数k ，中有A中的点，从而点列且，所以。由（2）知。定理3.2.8 设为距离空间，。则为中的闭集当且仅当的余集为开集。证明1、必要性 若为闭集，则都不是的极限点，即存在的一个邻域，使，于是，即为开集。2、充分性 若是开集，则，存在的一个邻域，于是，即不是的极限点，故为闭集。定理3.2.9 设为距离空间，则下列叙述等价：（1）A在E中稠密；（2）；（3）对，存在A中的点列，使得。证明 设A在E中稠密，则对，的任一邻域都含有A的点。由定理3.2.6知，故。设，则对，有。由定理3.2.6知，的任一邻域都含有A的点，则A在E中稠密。设A在E中稠密，则对，的任一邻域都含有A的点。则对任意正整数k ，中有A中的点，从而点列且，所以。对，存在A中的点列满足，由定理3.2.6知，则，从而A在E中稠密。定理3.2.10 设为两个距离空间，则下列叙述等价：（1）为上的连续映射；（2）中任一开集的原像是中的开集；（3）中任一闭集B的原像是中的闭集；（4）中的任一点列，若，则有。证明 设为中的开集，若，则是中的开集。若，则，有。于是在中存在的一个邻域。由连续映射的定义，存在的一个领域，使，即，是中的开集。对，令，则为中的开集。因此为中的开集，且。于是存在的某个邻域，使，即，于是对满足的所有都有，因此在连续。由的任意性，为上的连续映射。设为中的闭集，则为中的开集。因为为中的开集，所有为中的闭集。同理可证。设。对，存在正整数，使得当时。因为在x连续，则对，当时。故。采用反证法。假设存在，在不连续，则存在，对于任意的正整数都存在，但，即，而不收敛于，这与（4）矛盾。定义3.2.13 设为两个距离空间，。如果对任意，都有，则称映射为到Y的等距映射。等距映射一定是单映射。定理3.2.11 设为两个距离空间，是双映射，并且是等距映射，则为到Y的同胚映射。证明 因为在等距映射下X中开集的像是Y中的开集。因为是双映射，则也是等距映射，从而Y中开集的原像也是X中的开集。因此，和都是连续映射，故是同胚映射。定理3.2.12 设为距离空间，中收敛点列一定是Cauchy点列。证明 设是收敛的点列，则，使，即对，有。因此，对，有故是Cauchy点列。点列收敛的充要条件是该点列为Cauchy点列。定理3.2.13 设为距离空间.如果中Cauchy点列有子点列收敛于X中一点x，则收敛于x。证明 因为是中Cauchy点列，则对，存在正数N，使得当时。因为中子点列收敛于X中一点x，则存在正数K，使得时。于是当时，得证。 一般地，距离空间中的Cauchy点列不一定收敛。例如有理数集，按距离构成距离空间。数列是中的Cauchy点列，但它不收敛于中的点。众所周知，数列的极限为，而不是有理数。定理3.2.14 设为完备距离空间，S为X的子距离空间。则S完备当且仅当S是闭集。证明 1、设S是完备的子距离空间，是S中的点列。如果，则是S中的Cauchy点列，并且由S的完备性知。由定理3.2.5知S是闭集。2、设S是闭集。对S中的任一Cauchy点列，由于，所以也是X中的Cauchy点列。由X的完备性知。因为S是闭集，则定理3.2.5知，即S中的任一Cauchy点列都收敛于S中的点，故S完备。例3.2.3 （1）实数集R和复数集C都是完备距离空间；（2）和都是完备距离空间；（3）是完备距离空间；（4）是完备距离空间，但不是完备距离空间。证明 这里仅证（4），1、设是中的任一Cauchy点列，则对，存在正数N，使得当时，从而对任一固定的，有，即是R中的任一Cauchy点列。由R的完备性知，。在中令，则得对，当时，即在a, b上一致收敛于，从而在a, b上连续。因此，是完备距离空间。2、下面证明不完备。为简化讨论，取a, b=0, 1. 取则，并且由知，是中的Cauchy点列。对，如果，则得，从而，。再由可知。这与矛盾。因此，按距离不收敛于，即中存在不收敛的Cauchy点列，故不完备。定理3.2.15 设为完备距离空间，是X中的闭球序列，且满足（1）；（2），则存在唯一的点。证明 1、首先证明球心所组成的点列是Cauchy点列。事实上，当时，由，则有。因为，所以对，存在正数N，使得当时，。于是当时，即是Cauchy点列。因为X是完备距离空间，点列收敛于X中的一点x 。在中令，则得，即。因此，。2、唯一性 如果X中有另一点，则。令，由定理3.2.2即得，所以，即只有一点。例3.2.4 实数集（距离）本身不是紧空间，因为中的点列不存在收敛的子点列。中的闭集是紧集。是致密集但不是紧集，因为不是闭集，其极限点0不含在集合内。中的闭集不是紧集，因为其中的点列不存在收敛的子点列。定理3.2.16 设为距离空间，则（1）X中的有限点集是致密集；（2）有限个致密集的并是致密集；（3）致密集的任何子集是致密集；（4）任意一簇致密集的交是致密集；（5）致密集中的Cauchy点列在X中一定收敛；（6）如果X是致密的距离空间，则X是完备的。证明 （1）-（4）由致密集的定义即得。设为距离空间，。若A中的任一点列都有在中收敛的子点列，则称A为中的致密集或列紧集，称中致密的闭集为紧集。若本身是致密集，则称为致密空间或紧空间。（5）设A为中的致密集，是A中的任一Cauchy点列，则有在中收敛的子点列。由定理3.2.13知，在X中收敛。（6）由（5）即得（6）。定理3.2.17设为距离空间，。若A为中紧集，则A一定是中的有界集。证明反证法。若A无界，取，则对任意的正整数，存在，使。显然，点列不存在收敛的子点列，这与A为紧集矛盾。定理3.2.19（Banach不动点原理）设为完备距离空间。若为上的压缩映射，则存在唯一的，使得。证明 1、任取，令因为是压缩映射，则因为，所以，从而是Cauchy点列。再由的完备性，存在，使得。因为压缩映射是连续的，则。2、如果还有使得，则由距离的非负性得。推论3.2.2 设为完备距离空间，。若存在某个正整数，使为上的压缩映射，则在X中存在唯一的不动点。证明 记。由定理3.2.19知T在X中存在唯一的不动点。又由可知也是T在X中的不动点。由唯一性知，即也是在X中的不动点。推论3.2.3 设为完备距离空间，若为上的压缩映射，且压缩因子为，则对任意，迭代法产生的点列收敛于的不动点，并且证明 类似于定理3.2.19的证明，对任意，有令，即得.再由和上式，即得所要证的第二个不等式。例3.2.5（Fredholm积分方程解的存在唯一性定理） 设是上的连续函数，并且存在常数使在上，是区间上的连续函数。如果参数满足，则Fredholm积分方程在中存在唯一解。证明 对，令，因为是上的连续函数，则。对任意因为，则是上的压缩映射。由定理3.2.19知，在中存在唯一的不动点，即Fredholm积分方程有唯一解。例3.2.6（Voltera积分方程解的存在唯一性定理） 设是上的连续函数，是区间上的连续函数。则Voltera积分方程在中存在唯一解。证明 对，令则对，,其中为函数在上的最大值。对任意的正整数，构造映射，下面用归纳法证明.1、事实上，当时，结论显然成立。假设对不等式成立，即。则由归纳法原理知，结论成立。2、因为对于任意的常数，有。取自然数满足，则即为上的压缩映射，由推论3.2.2知，在中存在唯一的不动点，即Voltera积分方程有唯一解。例3.2.7（常微分方程解的存在唯一性定理） 设是上的连续函数，并且存在常数使在D上。如果在D上满足Lipschitz条件，即存在常数k，使得则常微分方程初值问题在上存在唯一连续解，其中。证明 已知完备。记， M是的闭子距离空间，由定理3.2.14知，M是完备的。对，令。第一大题证明（1）按矩阵乘法构成群,但不是交换群；（2）按矩阵乘法构成群,但不是交换群；(3) 按矩阵乘法构成群,是交换群.（4）这三个集合按加法都不是群。证明（1）（i）因为,所以，即；（ii）任取,则，因此，即知；（iii）因为上乘法满足结合律且，所以上乘法满足结合律，即有；（iv）因为，有，所以是中的单位元；（v），有，所以的逆矩阵存在且。又因为，所以因此。由的定义可知，即在中有逆元。综上所述可知是一个群；（vi）因为上乘法不满足交换律且，所以上的乘法也不满足交换律，所以不是交换群。（2）（i）因为,所以，即；（ii）因为上乘法满足结合律且，所以上乘法满足结合律，即有；（iii）任取,，因此，即知，因此；（iii）因为上乘法满足结合律且，所以上乘法满足结合律，即有；（iv）因为，有，所以是中的单位元；（v），有，所以的逆矩阵存在且。又因为,所以，因此由的定义可知，即在中有逆元。综上所述可知是一个群；（vi）因为上乘法不满足交换律且，所以上的乘法也不满足交换律，所以不是交换群。（3）（i）因为，所以；（ii）任取,则，因此，即知；（iii）因为上乘法满足结合律且，所以上乘法满足结合律，即有；（iv）因为，有，所以是中的单位元；（v），有，所以，因此倒数存在且。又因为因此由的定义可知，所以是在中的逆元。综上所述可知是一个群 ；（vi）因为上乘法满足交换律且，所以上的乘法也满足交换律，所以是交换群。第二大题设是群G到的同态满映射，为的单位元，称集合， 分别为同态映射的值域和核，证明：(1)，其中e，分别为G，的单位元； (2)； (3)是G的子群；(4)是的子群； (5)是G的正规子群； (6)是同态单映射当且仅当证明 (1).事实上，因为G有单位元e，则在同态满映射下，e有像，即，则是的一个单位元。因为对任意，存在的一个原像，使得则由，即得，即是的一个单位元。(2) 1、因为G与之间存在一个满映射，所以，存在，使得。因为G是一个群，是G与之间一个同态映射，所以，因此是一个半群。2、对任意，存在其逆元。事实上对任意，存在其逆元。对，存在的一个原像，使得。因为，所以有逆元，则。由，即,有， 因此有逆元。结合（1）可知故是一个群。3、证明。事实上有逆元，则。由，即。又因为是群单位元，所以。（3）由（1）知，非空。对任意，有。则，即。又由于G是一个群，因此是G的子群。（4）由的定义知，非空。对任意，存在，使得。因为，则由（2）有。又由于是一个群，因此是的子群。（5）要证是G的正规子群，即证。事实上，存在使得，所以，即由（2）知即因此，即存在，使得，因此。再有（2）知即，因此。再由的任意性知。同理可证，因此（6）如果是G到的一个单映射，则对任意，有。因此，即。反之，若，则对任意且，有。故，于是，即是单映射。第三大题设1、证明是的子空间；2、确定的维数与一组基；3、在上令，证明是上的线性变换；4、求在（2）所