函数的导数.doc

_普通函数的导数到算子的导数中学中，我们首先接触的是一元函数，紧接着是二元函数与多元函数.而对于函数的导数，中学中只了解了一元函数的导数.导数作为微分学中重要的概念，描述函数在定义域上某点附近的变化率.随着知识的不断深入，在大学教材中，我们知道导数的本质是通过极限的形式对函数进行局部的线性逼近.随之，二元函数与多元函数的导数也相应给出.当然，还有其它形式的导数，例如本文介绍的导数和导数.说到导数，导数的存在性也是非常重要的.由于导数是描述函数的局部性质，所以并不是所有的函数都有导数.同样，一个函数也不一定在所有的点上都有导数.若一个函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否者则称为不可导.1.函数的导数与几何意义定义1.1 (一元函数的可微性)是开区间，.如果函数的增量可表示为是只依赖于的常数，则称在可微.为在处相应于增量的微分.为在的导数，记为，其极限表示形式为n 一元函数导数的几何意义如果函数在处可微（可导），由公式，可以做出函数在的导数的几何图形，如下所示图 1.1 由图1.1可知红线的斜率为，当时，红线逐渐趋于蓝线，蓝线是函数上点的切线，则蓝线的斜率为.因此，一元函数导数的几何意义是函数在某点处的斜率.定义1.2（二元函数的可微性）是开集，.如果函数的增量可表示为其中是只依赖于的常数，则称在处可微（可导），称为在处的全微分.此时，那么此时，向量称为在的“梯度”，或“导数”.记作，或，导数的极限形式为n 二元函数导数的几何意义如果函数在处可微（可导），由公式，可以做出函数在的导数的几何图形，如下所示图 1.2由图1.2知函数在图中就是曲面,点坐标是.从平面的角度看线的斜率是，当时，逐渐趋于红线；从平面的角度看线的斜率是，当时，逐渐趋于红线，线和线组成的平面是点的切平面.则线和线点在轴和轴的方向的切线，在相应平面上斜率分别是则二元函数导数的几何意义是函数在某点处的关于轴和轴的偏导数组成的向量.定义1.3（元函数的可微性）是开集，如果函数增量可表示为其中是只依赖于的常数，则称在点可微（可导），称为在处的全微分.此时那么，称向量为在处的“梯度”，或者称“导数” ，记作，或.由于多元函数的几何意义无法在有限的三维空间进行展示，因此在这里不讨论多元函数的几何意义.如果函数本身是一个向量函数，如，向量函数的形式如下.定义1.4（向量函数的可微性）是开集，.如果存在只依赖于的线性变换，使得当时，有其中线性变换是一个的矩阵，则称向量函数在处可微（可导），称是在的全微分，称为在的导数，记作.n 线性变换具体形式为2.算子的导数关于函数的微分与导数的概念可以平行地推广到抽象空间之间的算子,同样利用极限形式， 在局部用线性算子代替非线性算子. 因为任意有限维（维）空间都与某个等距同构. 所以，这种推广实际上针对的是无穷维空间及其上的算子.设都是空间，是开集，是一映射，是到上所有有界线性算子的全体.定义2.1（导数）设，,如果存在使得.那么，称在点可微.称为在点的导数，简称导数，记为.称为在点微分.如果在的每一点都可微，那么如果在点连续，那么在点连续可微.如果在的每一个点都连续，那么在上连续可微，记为.由定义2.1可以看出，可微退回到有限维时就是多元函数在某一点的可微性，导数就是定义在定义1.4中定义的导数.n 函数的方向导数定义2.2（一元函数的导数）一元函数只有左右两个方向，所以方向导数只包括左导数与右导数：定义2.3（元函数的方向导数）是开集，点，是从点出发的射线，是上且包含在内的任意一点，设.若极限存在，则此极限为在点沿方向的方向导数，记作或l 当方向可微时，方向导数可由偏导数表示若在点可微，则在点沿任意方向的方向导数存在，且其中为的方向余弦，即方向在各个方向上的单位分量.定义2.4（向量函数的方向导数）是开集，是从点出发的射线，是上且包含在内的任意一点，设.若极限存在，则称此极限为在点沿任意方向的方向导数，记作或l 当方向可微时，方向导数可由偏导数表示若在点可微，则在点沿任意方向的方向导数存在，且3.算子的导数定义3.1（导数）设，如果对任意的，存在，使得，当时，则称在点可微，简称可微，称是在点的导数，或者称导数.n 注意事项（1）在多元函数中，定义方向导数只对某一特定方向存在极限，此极限就称为函数在该点沿某方向的方向导数.而对于导数，定义3.1中要对任意的”方向”都成立，所以, 此定义退化到多元函数时，就是说沿任意方向的方向导数存在, 因而定义中用，对于有限维时用的是.虽然定义说了各方向的方向导数都存在，但数值仍跟方向有关, 也就是说各方向的方向导数未必是相同的. （2）导数的定义方式：令.如果在点可微，则有导数，这是郭大钧书中的定义方式.（3）导数的性质：l 如果在点可微，则唯一确定；l ；l 如果在点可微，则对任意的，函数在右可微，且.如果在线段上每一点都可微，则函数在上可