第二十三届全国中学生物理竞赛试题分析.pdf

清北学堂 2007 暑假物理金牌特训班专用资料 版权所有，翻制必究 第二十三届全国中学生物理竞赛试题分析第二十三届全国中学生物理竞赛试题分析 清华大学清华大学 朱力朱力 试题综述：试题综述：本套试题为 2006 年第二十三届全国中学生物理竞赛预赛试题。总 体难度和高考的较难的题目相当，在物理竞赛中相比较为简单。对于准备过物理 竞赛的同学来说，很多题都是似曾相识。虽然试题比较简单，但是对于想要在物 理竞赛中有所收获的同学来说也应该认真对待，争取在预赛中取得较好的成绩， 才能在复赛中有充足的自信和良好的心态。所以预赛虽然简单，但是不能忽视。 详细分析详细分析： 第一题：第一题： （1）参考解答）参考解答: 1、线剪断前，整个系统处于平衡状态。此时弹簧S1的弹力 F1=(mA+mB+m B C)g （1） 弹簧S2的弹力F2=mcg （2） 在线刚被剪断的时刻，各球尚未发生位移，弹簧的长度尚无变化，故F1、F2的大 小尚未变化，但线的拉力消失。设此时A、B、C的加速度的大小分别为aA、aB、 a B C， 则有F1mAg=mAaA（3） F2+mBg=m B B B aB（4） F B 2mCg=mCaC（5） 解以上有关各式得aA= A CB m mm + g，方向竖直向上(6)；aB= B B CB m mm + g，方向竖直 向下(7)；aC=0（8） 2.试题分析：试题分析： 本题属于高中物理范畴的基础题。所测试的就是对于牛顿定律的理解。首先分析 绳剪断之前的状态。在绳剪断之前，系统处于平衡状态。则可以求出两个弹簧的 拉力。当绳剪断以后，A 球受到重力和拉力作用，则这两个力的合力使得 A 球 做加速运动。同理对于 B 球和 C 球，也受到弹簧的弹力和重力作用，做加速运 动，可以用牛顿第二定律求出加速度。仔细分析可以发现 A、B、C 组成的系统 的质心加速度为零。这是由于系统受到的拉力和重力在绳剪断的时刻仍然平衡。 （2）1.参考解答：参考解答：开始时，磁铁静止不动，表明每一条磁铁受到另一条磁铁的 磁力与它受到板的静摩擦力平衡。 （i）从板突然竖直向下平移到停下，板和磁铁的运动经历了两个阶段。起初， 板向下加速移动，板与磁铁有脱离接触的趋势，磁铁对板的正压力减小，并跟随 -1- 北京清北学堂教育科技中心 清北学堂 清北学堂 2007 暑假物理金牌特训班专用资料 版权所有，翻制必究 板一起作加速度方向向下、速度向下的运动。在这过程中，由于磁铁对板的正压 力减小，最大静摩擦力亦减小。向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静 摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力， 于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。 接着， 磁铁和板一起作加速度方向向上、 速度向下的运动，直线停在 AB处。在这过程中，磁铁对板的正压力增大， 最大静摩擦力亦增大，因两磁铁已碰在一起，磁力、接触处出现的弹力和可能存 在的静摩擦力总是平衡的，两条磁铁吸在一起的状态不再改变。 （ii）从板突然竖直向下平移到停下，板和磁铁的运动也经历了两个阶段。起 初，板和磁铁一起作加速度方向向上、速度向上的运动。在这过程中，正压力增 大，最大静摩擦力亦增大，作用于每个磁铁的磁力与静摩擦力始终保持平衡，磁 铁在水平方向不发生运动。接着，磁铁和板一起作加速度方向向下、速度向上的 运动，直线停在 AB处。在这过程中，磁铁对板的正压力减小，最大静摩擦 力亦减小，向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小。当板 的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相 向运动并吸在一起。 试题分析：试题分析：对于本题的分析，在参考解答中已经很详细。像这类论述题在初赛中 是十分常见的。它考察的是参赛选手对物理现象的定性分析能力和物理思维。在 初赛中出现的此类试题通常比较简单。但是要想获得全分就需要严谨的逻辑。对 于问题的分析要从最基本的理论出发得出结果。 第二题：第二题： 1.参考答案：参考答案： 1、 （i） （ii） （iii） 3 1 2. 2、f1，f4 2.试题分析：试题分析：填空题在预赛中几乎是必然出现的。通常会靠一些物理常识或者贴 近生活的物理现象。通常比较简单。就本题而言，第一问是用透镜成像原理画光 -2- 北京清北学堂教育科技中心 清北学堂 清北学堂 2007 暑假物理金牌特训班专用资料 版权所有，翻制必究 路图。其中考到一个物理常识。眼镜镜片的焦距是眼睛的度数除以 100 后的倒 数。第二问要求对于望远镜系统有这一定的了解。根据题意的要求，要使得得到 的像为正立的，则应该用凸透镜做物镜，凹透镜做目镜。放大率为 o e f k f =。要使 得放大率最大，则选 f1,f4 第三题：第三题： （1）1、参考答案、参考答案 （i）通过对点电荷场强方向的分析，场强为零的P点只可能位于两点电荷之 间。设P点的坐标为x0，则有 2 0 1 x q k= 2 0 2 )(xl q k （1） 已知q2=2q1 （2） 由（1） 、 （2）两式解得x0=l ) 12( （3） （ii）先考察点电荷q0被限制在沿x轴运动的情况。q1、q2两点电荷在P点处 产生的场强的大小分别为E10= 2 0 1 x q k E20= 2 0 2 )(xl q k ， 且有E10=E20， 二者方向相 反。点电荷q0在P点受到的合力为零，故P点是q0的平衡位置。在x轴上P点右侧 x=x0+x处，q1、q2产生的场强的大小分别为 E1= 2 0 1 )(xx q k + E20 方向 沿x轴负方向 由于E2E1，x=x0+x处合场强沿x轴的负方向，即指向P点。在x轴上P点左 侧x=x0x处，q1、q2的场强的大小分别为E1= 2 0 1 )(xx q k E10 方向沿x轴 正方向 E2= 2 0 2 )(xxl q k + 1 即水银柱上表面低于管口，可继续注入水银，直至 d=x（即水银柱上表面与管口 相平）时为止。何时水银柱表面与管口相平，可分下面两种情况讨论。 1、水银柱表面与管口相平时，水银柱未进入水平管，此时水银柱的长度 xl， 由玻意耳定律有(H+x)(Lx)=HL （3） 由（3）式可得 x=LH （4） 由此可知，当lLH时，注入的水银柱的长度x的最大值xmax=LH（5） 2、水银柱表面与管口相平时，一部分水银进入水平管，此时注入水银柱的长度 xl ， 由 玻 意 耳 定 律 有 (H+l)(L x)=HL （ 6 ） x= lH Ll + (7) lx= lH Ll + （8） 由（8）式得 lH+l （9） x=LH lH L + LH （10） 即当lLH时，注入水银柱的最大长度xxmax。 由上讨论表明，当lLH时，可注入的水银量为最大，这时水银柱的长度 为xmax，即（5）式。 （2）试题分析：）试题分析：本题为一个在物理竞赛书中较为常见的题。考察的是对热力学 定律的理解。首先需要进行定性分析。在水银进入水平部分之前和之后是不同的 物理过程，所以需要判断水银是否能够进入水平管中。取临界情况，设水银加到 恰好到水平部分。分析此时的状态，再在临界点两侧分别分段分析，求得结果比 较即得到所求的结果。 第五题：第五题： 1.参考答案：参考答案：正、负电子绕它们连线的中点作半径为 2 r 的圆周运动，电子的电荷 量为 e，正、负电子间的库仑力是电子作圆周运动所需的向心力，即 )2/( 2 2 2 r v m r e k= (1) 正电子、负电子的动能分别为Ek+和Ek，有Ek+=Ek= 2 1 mv2 （2） 正、负电子间相互作用的势能Ep= r e k 2 （3） 电子偶素的总能量E=Ek+Ek +Ep （4） -5- 北京清北学堂教育科技中心 清北学堂 清北学堂 2007 暑假物理金牌特训班专用资料 版权所有，翻制必究 由 （1） 、 （2） 、 （3） 、 （4） 各式得 E= 2 1 r e k 2 (5) 根据量子化条件 mrv=n 2 h n n=1,2,3, （6） （6）式表明，r 与量子数 n 有关。由（1）和（6）式得与量子数 n 对应的定态 r 为 rn= mke hn 22 22 2 n=1,2,3, （7） 代入（5）式得与量子数n对应的定态的E值为En= 22 422 hn mekn n=1,2,3, （8） n=1 时， 电子偶素的能量最小， 对应于基态。 基态的能量为E1= 2 422 h mekn （9） n=2 是第一激发态，与基态的能量差E= 2 422 4 3 h mekn （10） 2.试题分析：试题分析：本题是一个经典的原子物理试题。在物理参考书上已经屡次出，现 是一个陈题。利用量子化条件求解。先通过经典力学模型给出电子的角动量。再 将量子化条件代入即可求解。 第六题：第六题： 1.参考答案：参考答案：P被释放后，细绳的张力对D产生机械力矩，带动D和A1作逆时针的 加速转动，通过两个轮子之间无相对运动的接触，A1带动A2作顺时针的加速运 动。由于两个轮子的辐条切割磁场线，所以在A1产生由周边沿辐条指向轴的电 动势，在A2产生由轴沿辐条指向周边的电动势，经电阻R构成闭合电路。A1、A2 中各辐条上流有沿电动势方向的电流，在磁场中辐条受到安培力。不难看出，安 培力产生的电磁力矩是阻力矩，使A1、A2加速转动的势头减缓。A1、A2从起始 的静止状态逐渐加速转动，电流随之逐渐增大，电磁阻力矩亦逐渐增大，直至电 磁阻力矩与机械力矩相等，D、A1和A2停止作加速转动，均作匀角速转动，此时 P匀速下落，设其速度为v，则A1的角速度 0 1 a v = (1) A1带动A2转动，A2的角速度2与A1的角速度1之间的关系为1a1=2a2 （2） A1中每根辐条产生的感应电动势均为 1 2 11 2 1 Ba= （3） 轴与轮边之间的电动势就是A1中四条辐条电动势的并联，其数值见（3）式。 同理，A2中，轴与轮边之间的电动势就是A2中四条辐条电动势的并联，其数值 为 2 2 22 2 1 Ba=（4） A1中，每根辐条的电阻为R1，轴与轮边之间的电动势就是A1中四条辐条电动势 的并联，其数值为RA1= 4 1 R （5） A2中，每根辐条的电阻为R2，轴与轮边之 -6- 北京清北学堂教育科技中心 清北学堂 清北学堂 2007 暑假物理金牌特训班专用资料 版权所有，翻制必究 间的电动势就是A2中四条辐条电动势的并联，其数值为RA2= 4 2 R （6） A1轮、A2轮和电阻R构成串联回路，其中的电流为I= 21 21 AA RRR+ + （7） 以（1）至（6）式代入（7）式，得 I= ) 4 () 4 ( )() 2 1 ( 21 211 0 RR R vaaBa a + + （8） 当 P 匀速下降时， 对整个系统来说， 重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和， 即 mgv=I2(R+ 4 1 R + 4 2 R ) （ 9 ） 以 （ 8 ） 式 代 入 （ 9 ） 式 得 v= 2 21 2 1 2 2 021 )( )4( aaaB aRRRmg + + (10) 2.试题分析：试题分析：本题是一个电磁学和力学相互结合的试题。总体难度虽然不大，但 是考察的知识点很多，所以需要有良好的物理基础才能做出正确的解答。 首先要对问题有一个定性的认识。释放后，物体下降带动辐条在磁场中运动。 由于电磁感应产生感应电动势。从而在回路中产生感应电流。通过电流的辐条在 磁场中受到安培力作用，判断可知安培力产生阻力矩。到达某一个速度时，安培 力矩等于动力矩，从而使得重物匀速下降。 求解本题可以有两种思路。第一种方法是用动力分析求解。设一个稳定速度， 计算此时的安培力矩使其等于重力力矩，从而求出结果。但是这种方法可能需要 微积分的知识。第二种方法是分析系统的能量关系。当匀速下降时，重力的功率 等于电路消耗的焦耳功，同样可以得出结果。 第七题：第七题： 1.参考答案：参考答案：如图 1 所示，设筒内磁场的方向垂直纸面指向纸外，带电粒子 P 带正电， 其速率为 v。 P 从小孔射入圆筒中因受到磁场的作用力而偏离入射方向， 若与筒壁只发生一 次碰撞，是不可能从小孔射出圆筒的。但与筒壁碰撞两次，它就有可能从小孔射出。在此 情形中，P 在筒内的路径由三段等长、等半径的圆弧 HM、MN 和 NH 组成。现考察其中一 段圆弧 MN，如图 2 所示，由于 P 沿筒的半径方向入射，OM 和 ON 均与轨道相切，两者 的夹角 3 2 =（1） 设圆弧的圆半径为 r，则有 qvB=m r v 2 （2） 圆弧对轨道圆心 O所张的圆心角 3 =（3） 由几何关系得 r=Rcot 2 （4） 解（2） 、 （3） 、 （4）式得 v= m qBR3 （5） -7- 北京清北学堂教育科技中心 清北学堂 清北学堂 2007 暑假物理金牌特训班专用资料 版权所有，翻制必究 2、P由小孔射入到第一次与筒壁碰撞所通过的路径为s=r（6） ，经历时间为t1= v s （7） P从射入小孔到射出小孔经历的时间为t=3t1 （8） 由以上有关各式得t= qB m （9） 2.试题分析：试题分析：本题是一个带电粒子在磁场中受到洛仑兹力运动的试题。在中学物 理竞赛中非常常见。其特点是对运动的分析比较复杂。在国内的预赛复赛以及决 赛中屡次出现。决赛中出现的试题都相当复杂，难度很大。本题作为预赛试题， 要求相对较低，只要分析出碰撞次数最少的情况。但是，不妨将本题做一定的延 伸，求出所有粒子可以射出时的速度。方法和参考答案中的方法大同小异。只要 找出碰撞 n 次射出时的运动半径，在有洛仑兹运动的关系求解即可。 第八题：第八题： 1.参考答案参考答案：小球获得沿竖直向下的初速度 v0后， 由于细绳处于松弛状态， 故从C点开始， 小球沿竖直方向作初速度为v0、 加速度为g的 匀加速直线运动。当小球运动到图 1 中的M 点时，绳刚被拉直，匀加速直线运动终止。 此时绳与竖直方向的夹角为=30。 在这过程中，小球下落的距离 s=l+2lcos=l(1+3) （1） 细绳刚拉直时小球的速度v1满足下式：v12=v22+2gs （2） 在细绳拉紧的瞬间， 由于绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的， 故小球沿细绳 方向的分速度v1cos变为零，而与绳垂直的分速度保持不变，以后小球将从M 点开始以初速度v1=v1sin= 2 1 v1 (3) 在竖直平面内作圆周运动， 圆周的半径为 2l， 圆心位于A点， 如图 1 所示， 由 （1） 、 （2） 、 （3）式得v12=)31 ( 2 1 4 1 2 0 +glv (4) 当小球沿圆周运动到图中的 N 点时， 其速度为 v， 细绳与水平方向的夹角为， 由能量关系有 )sin23( 2 1 2 1 22 1 llmgmvvm+= （5） 用FT表示绳对小球的拉力，有FT+mgsin= l v m 2 2 （6） -8- 北京清北学堂教育科技中心 清北学堂 清北学堂 2007 暑假物理金牌特训班专用资料 版权所有，翻制必究 1、glv) 13326(2 2 0 += 设在=1时（见图 2） ，绳开始松弛，FT=0，小球 的速度v=u1。以此代入（5） 、 （6）两式得 )sin23(2 1 2 1 2 1 llguv+= （7） mgsin1= l u 2 2 1 （8） 由 （4） 、（7） 、（8） 式和题设v0的数值可求得1=45 （9） u1=gl2 （10） 即在1=45时，绳开始松弛，以N1表示此时小球在圆周上的位置，此后，小 球将脱离圆轨道从N1处以大小为u1，方向与水平方向成 45角的初速度作斜抛 运动。 以N1点为坐标原点，建立直角坐标系N1xy，x轴水平向右，y轴竖直向上。 若以小球从N1处抛出的时刻作为计时起点，小球在时刻t的坐标分别为 x=u1cos45t= 2 2 u1t （11） y= u1sin45t 2 1 gt2= 2 2 u1t 2 1 gt2 （12） 由 （11） 、 （12）式，注意到（10）式，可得小球的轨道方程：y=xg 2 1 2 u x =x l x 2 2 （13） AD 面的横坐标为 x=2lcos45=2l （14） 由（13） 、 （14）式可得小球通过 AD 所在竖直平面的纵坐标 y=0 （15） 由此可见小球将在 D 点上方越过，然后打到 DC 边上，DC 边的纵坐标为 y=(2lsin45l)=(21)l（16） 把（16）式代入（13）式，解得小球与 DC 边撞击点的横坐标 x=1.75l （17） 撞击点与 D 点的距离为l=x2lcos45=0.35l （18） 2、v02=2(33+11)gl设在=2时，绳松弛，FT=0，小球的速度v=u2。以此代 替（5） 、 （6）式中的1、u1，得)sin23(2 2 2 2 2 1 llguv+= （19） msin 2= l u 2 2 2 （20） -9- 北京清北学堂教育科技中心 清北学堂 清北学堂 2007 暑假物理金牌特训班专用资料 版权所有，翻制必究 以v02=2(33+11)gl3 代入 （4） 式， 与 （19） 、（20） 式联立， 可解得2=90 （21） u2=gl2 （22） 2.试题分析：试题分析：首先分析物理过程。物体先竖直向下做抛体运动。当绳和水平方向 的夹角为时，绳被拉直。由于绳是非弹性的，所以在拉直的瞬间沿着绳方向的 速度减小为零。垂直于绳方向的速度不变。随后，球绕着 A 点作圆周运动机械 能守恒。但是，这里需要分析的问题是，在圆周运动过程中，绳是否会松弛。可 以这样判断，假设球可以运动到最高点，通过机械能守恒计算出此时球的速度。 再由牛顿第二定律算出绳的拉力。如果拉力的确大于零，则说明绳没有松弛，则 整个过程都可以用圆周运动来计算。那么结果直接可以用几何关系来计算，易知 球将打到 C 点。反之，绳会松弛。计算出松弛时的位置和速度。绳松弛后，物 体做斜抛运动，通过抛体运动的计算可以得到结果。 解决本题的关键是对于运动中绳的状态有一个正确而清晰的分析。判断出各 种不同的情况从而达到解答。 第九题：第九题： 1参考解答：参考解答：这是一个大尺度运动，导弹发射后，在地球引 力作用下将沿椭圆轨道运动。如果导弹能打到 N 点，则此椭圆 一定位于过地心 O、 北极点 N 和赤道上的发射点 C 组成的平面 （此平面是 C 点所在的子午面）内，因此导弹的发射速度（初 速度 v）必须也在此平面内，地心 O 是椭圆的一 个焦点。根据对称性，注意到椭圆上的 C、N 两点到焦点 O 的距离相等，故所考察椭圆的 长辆是过 O 点垂直 CN 的直线，即图上的直线 AB，椭圆的另一焦点必在 AB 上。已知质 量为 m 的物体在质量为 M 的地球的引力作用下作椭圆运动时，物体和地球构成的系统的 能量 E（无穷远作为引力势能的零点）与椭圆半长轴 a 的关系为 E= a GMm 2 （1） 要求发射的能量最少，即要求椭圆的半长轴 a 最短。根据椭圆的几何性质可知，椭圆的两 焦点到椭圆上任一点的距离之和为 2a，现 C 点到一个焦点 O 的距离是定值，等于地球的 半径 R，只要位于长轴上的另一焦点到 C 点的距离最小。该椭圆的半长轴就最小。显然， 当另一焦点位于 C 到 AB 的垂线的垂足处时，C 到该焦点的距离必最小。由几何关系可知 2a=R+ 2 2 R （2） 设发射时导弹的速度为v，则有E= 2 1 mv2 R GMm （3） 解（1） 、 （2） 、 （3）式得 v=) 12( 2 R GM （4） 因 2 R GMm =mg （5） 比较 （4） 、 （5） 两式得 v=) 12(2Rg （6） 代入有关数据得 v=7.2km/s （7） 速度的方向在 C 点与椭圆轨道相切。根据解析几何知识，过椭圆上一点的切线的垂直线， 平分两焦点到该点连线的夹角OCP，从图中可看出，速度方向与 OC 的夹角=90 2 1 45=67.5 （8） -10- 北京清北学堂教育科技中心 清北学堂 清北学堂 2007 暑假物理金牌特训班专用资料 版权所有，翻制必究 2、由于地球绕通过ON的轴自转，在赤道上C点相对地心的速度为vC= T R2 （9） 式中R是地球的半径，T为地球自转的周期，T=243600s=86400s，故vC=0.46km/s （10） C点速度的方向垂直于子午面（图中纸面） 。位于赤道上C点的导弹发射前也有与子午面垂 直的速度vC，为使导弹相对于地心速度位于子午面内，且满足（7） 、 （8）两式的要求，导 弹相对于地面（C点）的