卷五╱线性代数试卷.doc

卷七一. 填空题（每小题4分，共40分）1设行列式, 其代数余子式, 则 .2设矩阵和分别按列分块为和，且，则行列式 .3. 设, 则 .4. 设满足, 其中, 为单位矩阵, 为的伴随矩阵, 则 .5. 设满足, 其中是3阶单位阵, 则 .6. 设, 且可用线性表出, 则 .7. 设线性方程组有无穷多组解, 则 .8. 设阶矩阵的元素全为1, 则的个特征值是 .9. 设都是3阶方阵, 且. 已知是不可逆矩阵, 且, 则一个与相似的对角矩阵为 .10.已知二次型 通过正交变换化为标准形 , 则 .二(10分). 已知向量组. 求: (1) 取何值时, 不能用线性表出? (2) 取何值时, 可用线性表出? 并写出此表示式.三（10分）. 设有线性方程组 . 已知是它的一个解. 求该线性方程组的通解.四（10分）.已知矩阵的逆矩阵为,求其伴随矩阵的逆矩阵.五（10分）. 设矩阵有一个二重特征根, 求的值. 并判别是否可以对角化?六（12分）. 设. 求正交矩阵和对角矩阵, 使得七（8分）设是矩阵，是矩阵，证明：若，则参考答案一 填空题（每题4分，共40分.）1设行列式, 其代数余子式 , 则 1 .2设矩阵和分别按列分块为和，且，则行列式 .3. 设, 则.4. 设满足, 其中, 为单位矩阵, 为的伴随矩阵, 则 .5. 设满足, 其中是阶单位矩阵, 则.6. 设, 且可用线性表出, 则 .7. 设线性方程组有无穷多组解, 则 .8. 设阶矩阵的元素全为1, 则的个特征值是 .9.设都是3阶方阵, 且. 已知是不可逆矩阵, 且, 则一个与相似的对角矩阵为 .10.已知二次型 通过正交变换化为标准形 , 则 2 .二(10分). 已知向量组 . 求: (1) 取何值时, 不能用线性表出? (2) 取何值时, 可用线性表出? 并写出此表示式.解 设. 对增广矩阵施行初等行变换: 所以(1) 当时, 线性方程组无解, 此时不能由线性表出. (2) 当时, 线性方程组有惟一解, 即 .当时, 线性方程组有无穷多组解, 即. 三（10分）. 设有线性方程组 已知向量是它的一个解. 求该线性方程组的通解.解 代入已知解, 求得 对方程组的增广矩阵施行初等行变换:, (1) 当时, 方程组有无穷多组解, 求得其通解为: . (2) 当时, 上述方程组的增广矩阵经初等行变换化为: 方程组有无穷多组解, 且为 为常数. 四（10分）. 已知阶矩阵的逆矩阵为, 求其伴随矩阵的逆矩阵.解 由知, .只要求出和. 用初等行变换. 因为 .所以 五(10分). 设矩阵有一个二重特征根, 求的值. 并判别是否可以对角化?解 . (1) 若有根, 代入后易求得 , 这时是的二重特征值. 由于 的秩为1, 因此有两个线性无关的特征向量, 故可以对角化. (2) 若有重根, 则 .这时的特征值为, 对二重特征值, 有 其秩为2, 此时不可以对角化. 六(12分). 设. 求正交矩阵和对角矩阵, 使得解 的特征多项式为 . 的特征值为 . 当时, 解方程组 , 得两个线性无关的特征向量为, 将其正交规范化为 当时, 解线性方程组, 求出一个特征向量为, 将其单位化, 得 . 令, 为正交矩阵, 且 七(8分)设是矩阵，是矩阵，证明：若，则证 因为矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.因为, 所以由的行秩等于的秩知, 有个行向量线性无关. 于是存在阶可逆矩阵, 使 . 其中是阶可逆矩阵. 因为进行一系列初等行变换, 可以把