数学建模 深圳人口与医疗需求预测.doc

深圳人口与医疗需求预测【摘要】本文主要研究深圳市人口及床位需求的预测问题，运用回归分析和灰色模型的研究方法，得到了较为可靠的预测结果。首先，我们寻找到了2000-2010年深圳市人口数量及结构的统计数据，运用灰色模型和回归分析模拟出了变化规律，进而预测出了深圳市后十年的人口数量及结构的发展趋势，并通过往年深圳每千人口的床位数预测未来十年的每千人口的床位数，两者相乘得到后十年深圳市的就医床位需求。然后，我们主要针对肿瘤和分娩两个问题进行了具体的预测分析，发现它们和经济增长以及年龄结构之间存在相关关系，我们又分析得出了后五年深圳市的GDP增长趋势以及年龄结构的变化规律和住院的一般规律，通过多元线性回归方法预测出需要入院就医的人数的变化规律，通过最小二乘法进而预测出所需要的不同类型医疗机构的床位需求。最后，本文用相关分析和距离分析的方法对模型预测结果进行了检验和评价。结果显示，预测结果与实际结果的走势基本一致，但具体数值上还有一定差距。这表明本文讨论的数学模型基本把握了人口数量、结构和床位需求的内在规律，有一定预测价值。【关键词】人口预测 床位需求 回归分析 灰色模型背景分析及问题重述深圳是我国经济发展最快的城市之一，同时也面临着人口和就医需求的尖锐矛盾。从结构来看，深圳人口的显著特点是流动人口远远超过户籍人口，且年轻人口占绝对优势。年轻人身体强壮，发病较少，因此深圳目前人均医疗设施虽然低于全国类似城市平均水平，但仍能满足现有人口的就医需求。然而，随着时间推移和政策的调整，深圳老年人口比例会逐渐增加，产业结构的变化也会影响外来务工人员的数量，这些都可能导致深圳市未来的医疗需求与现在有较大的差异。未来的医疗需求与人口结构、数量和经济发展等因素相关，合理预测能使医疗设施建设正确匹配未来人口健康保障需求，是保证深圳社会经济可持续发展的重要条件。因此，根据深圳人口发展变化态势以及全社会医疗卫生资源投入情况建立针对深圳具体情况的数学模型，预测深圳未来的人口增长和医疗需求，解决下面问题：（1）预测未来全市和各区医疗床位需求；（2）恶性肿瘤、分娩在不同类型的医疗机构就医的床位需求。基本假设1. 在预测年份内没有大的政策变化及突发性事件发生，即人口数量、结构及医疗床位变化服从一定的规律。2. 在预测年份内，可以认为在未来年深圳市经济增长的情况保持6的稳定增长率。问题分析要较为准确地对未来十年全深圳市和各区医疗床位需求做出预测，首先分析深圳近十年常住人口变化特征，预测未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势。但实际情况中影响深圳市人口数量及结构的因素是很多很复杂的，比如深圳市的经济状况、经济政策的调整和发展模式的转变、医疗卫生事业的投入变化等等。因此要较好的预测未来几年医疗床位需求是比较困难的。除了要仔细分析影响医疗床位需求的诸多因素外，还需要采用较为适用的数据模拟方法和选取对未知系统有较好预测性能的预测模型，并对该模型进行必要的改进。实际预测过程中我们选择了灰色系统模型和线性回归模型。 【1】灰色系统模型“灰色系统理论认为：尽管客观系统表象复杂，但总是有整体功能，总是有序的，在离散的数据中必然蕴涵着某种内在规律。”影响医疗床位需求的因子很多，具有灰信息覆盖，故为“灰因”，而每年医疗床位需求是具体的、确定的具有白信息覆盖，是系统的“白果”，所以床位需求是符合“灰因白果律” 的灰色预测事件。因此可将医疗床位需求数列看作系统的灰色量，并运用连续的灰色微分模型GM（1，1）对系统的发展变化进行分析预测。这些工作实质上是将“随机过程”当作“灰色过程”，“随机变量”当作“灰变量”，并主要以灰色系统理论中的GM(1,1)模型来进行处理。灰色预测模型的建立第一步 对数据列作一次累加（AGO）生成数列 其中 （k=2,3,10）第二步对作紧邻均值生成。令得 第三步 建立灰色微分方程 (k=2,3,10)相应的白化微分方程为记则由最小二乘法，求使得J(u)=() 达到最小值的.于是求解(1.1)的白化微分方程得 (k=1,2,9) (1.2)第四步，运用（式1.2）对进行模拟和预测。 【2】回归模型我们采用多元线性回归分析的模型为：式中， ，都是与，无关的未知参数，其中，称为回归系数。然后我们采用最小二乘法确定各个系数。面对一组数据,i=1,2,n, 用线性最小二乘法作曲线拟合时，首要的、也是关键的一步是恰当地选取,。如果通过机理分析，能够知道y 与x之间应该有什么样的函数关系,则容易确定。若无法知道y 与x之间的关系，通常可将数据,i=1,2,n作图，直观地判断应该用什么样的曲线去作拟合。模型的建立、求解、分析（一）1.深圳市人口预测首先，我们根据查找到的数据绘制了2000-2010年深圳市人口变化图：根据以上分析以及图表走势我们不难发现，选择灰色模型进行预测比较可靠的。然后运用灰色模型预测未来10年（2011-2020年）深圳市人口数量的变化，得到如下变化曲线图：可得，深圳市2011-2020年总人口数如下表：年份总人口（万）年份总人口（万）20111076.0820161321.2620121121.1720171376.6320131168.1620181434.3220141217.1120191494.4220151268.1120201557.052.深圳市每千人口床位预测我们根据查找到的数据绘制了1979-2010年深圳市每千人口床位数变化图：根据上图的趋势，它包括正弦函数和指数函数，故我们用如下函数模拟上面的曲线图；f=x(1)-x(2)*exp(-(t-x(3).2*x(4)+sin( x(5)*t+x(6).*x(7).*t; 用Matlab编程进行模拟，得到如下图形： 其中，黑色曲线代表直接拟合的结果，红色曲线为偏差修正以后的拟合曲线。取79年以后，先线性拟合得总体趋势，画出曲线图。根据拟合与原始数据偏差，得出偏差值，拟合值减去偏差值就得到偏差修正值，进而再次拟合。 预测得到2011-2020年的每千人口床位数：年份每千人口床位数年份每千人口床位数20112.5061481487300720162.3095896966160520122.5765103911868420172.2047410591066720132.5849376793753620182.1441647938629520142.5305754467105020192.1454273979067720152.4293203711895320202.200653590880833. 深圳市床位需求预测总床位数=（总人口数/1000）*每千人口床位数；得到2011-2020年总床位数：年份总床位数年份总床位数201126968.07201630515.62201228887.10201730351.06201330196.11201830754.11201430799.88201932061.79201530806.57202034265.293.深圳市各区床位需求预测根据每个区不同的数据特点，我们灵活选用了不同的数据拟合和预测的方法，其中，宝安区、龙岗区、南山区是采用了灰色模型的算法，另外的福田区、罗湖区、盐田区是采用了回归分析，最小二乘法。得到的结果较好地符合了实际情况。具体数据如下：(1)宝安区总床位预测图及结果:年份总床位数年份总床位数20115057.6720166575.9620125330.3020176930.4420135617.6420187304.0420145920.4620197697.7720156239.6120208112.73(2)福田区总床位预测图及结果:年份总床位数年份总床位数2011891.9820161076.512012913.9120171171.092013990.0120181235.5920141035.8420191254.6420151036.4720201312.90(3)龙岗区总床位预测图及结果:年份总床位数年份总床位数20112656.6320163304.1520122775.0920173451.4820132898.8320183605.3820143028.0920193766.1520153163.1120203934.08(4)罗湖区总床位预测图及结果:年份总床位数年份总床位数2011554.372016807.932012599.912017945.732013715.8220181010.252014758.3320191014.492015741.0320201102.81(5)南山区总床位预测图及结果:年份总床位数年份总床位数20111930.5220162790.6520122078.1620173004.0820132237.1020183233.8320142408.2020193481.1620152592.3820203747.40(6)盐田区总床位预测图及结果:年份总床位数年份总床位数20113348.7820163414.1820123205.1320173758.1620133528.9020184025.1020143770.5020193826.3720153547.2120203715.50（二）肿瘤和分娩问题的具体床位预测.在研究肿瘤问题时，我们主要关注年龄和经济因素对发病率的影响，进而达到床位预测的目的。我们从所了解到的资料中看出，恶性肿瘤的发病人群主要集中在老人人群中，为简化模型，我们只研究了年龄结构中老人的影响因素。（1）年龄因素：用五年一次的人口普查数据，已知2000、2005、2010年65岁以上老人占总人口比例的实际数据分别为： 0.01226096、0.01587616、0.017750083。通过用最小二乘法得出函数：Y=0.0005*x+0.0126-1;用以上函数得到深圳市2000-2010年的65岁以上人口比例：年份65岁以上人口比例年份65岁以上人口比例20010.013120060.015820020.013620070.016420030.014220080.016920040.014720090.017520050.015320100.0177（2）经济因素：以2002年经济为得出的2003-2010各年的GDP比例数据：年份比例年份比例2002120071.707820031.175820081936120041.29692009220051.3420102.043120061.4639对经济和人口结构变化和出院人数的相关性分析，得到相关系数：r = 0.754102313024434 0.631236066423185知道两者和住院人数的相关性相差不大，然后考虑用回归性分析进行预测，具体得到函数：y = 0+ x + x；0=-3.43645789560011=713.41851346672062=265.1654673180867进而预测20112015年肿瘤所需床位需求：首先，我们得到出院人数：年份20112012201320142015出院人数2838030578328313514237513由死亡率为11.9%可得未来5年需要住院就医的人数：年份20112012201320142015住院人数3225034749373093993442628根据生病人数从而可以估计出将来的床位数；按照病情的严重性和人群就医倾向，肿瘤应在综合医院和专科医院救治，一般不选择去街道医院。由统计知肿瘤的住院天数平均为13天。由以上分析可得计算公式：床位需求=人数/365*13；得到肿瘤的床位需求为： 年份20112012201320142015床位需求10111089116912521336假设去综合医院就诊的人数比例为（），则去专科医院就诊的比例为，总床位需求乘以比例即可得到两种医院的床位需求。.在研究分娩问题时，我们主要从产妇数量和产妇分娩情况具体分析，进而得到床位预测的结果。首先，我们根据往年具体数据，得到未来5年产妇数量的预测结果年份20112012201320142015产妇数811195121.11561.3081.534然后，我们又一步了解到产妇分娩情况为：剖宫产比例高达61.4%，顺产比例为38.6%。因此，我们得到平均住院天数为a=2.5*0.614+6*0.386=3.851天床位需求=人数/365*3.851；得到床位需求为：年份20112012201320142015床位需求8551003117713801618假设去综合医院分娩的比例为（），则去妇幼保健院的人口比例为，总床位需求乘以比例即可得到两种医院的床位需求。模型检验与评价于是得到08-10数据为：2.14306373221446 2.17088053461614 2.21308818666290 再与08-09年人口数（954.28 995.01 1037.2）相乘得总床位数为：（*1000）2.04508285837761 2.16004784074841 2.29541506720676再与查到的实际的08-10总床位数（19913 21399 22842）比较说明较好地满足了实际情况。我们先说明灰色模型可以用来很好地预测，我们选择了2000-2010年人口数据作为误差分析，发现得到结果较为准确，因此，为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解，然后计算残差，计算相对误差，计算级比偏差值。得到相对误差为：20000.000000000020040.0081318317413920080.0030327175748220010.0149131044478620050.0161809213038520090.0037734388027520020.0039431994105420060.0060765964377320100.0042463936303920030.0044060053947120070.00082212473337通过以上计算结果，我们可以看出，各个数据的相对误差基本上都小于1%，因此，进一步说明用灰色模型得到的结果可信。在研究具体床位需求时，我们选择了对研究肿瘤问题回归分析的检测，及考虑年龄因素和经济发展带来的影响是的相关性分析，得到相对误差为：bint = 1.0e+003 * -0.008187466180218 0.001314550389017 -1.039375349633535 2.466212376566976 -0.201939576330435 0.732270510966609分析知相关性很好；因而，模型在预测范围内可靠，所得结果可信，很好符合了具体情况。论文总结本论文，我们对深圳市未来十年人口数量以及未来十年内深圳市床位需求和各区的床位需求做出了预测。在预测过程中使用了灰色系统理论，同时也根据预测对象的本生属性建立了合理的函数模型对已知数据进行模拟，进而对未来作出预测。从新查阅的资料显示，我们的预测还是有效的。在对已知数据的充分拟合的前提下，尽量挖掘预测对象的本身属性，进而使预测函数包含预测对象的固有性质，这对预测的有效性是极为重要的。但是本文的预测模型，局限性较大，对其他预测问题无法直接应用，但本文的预测思想却是有借鉴意义的。 当然，论文中存在许多不足之处。一方面由于对人口增长规律和就医需求的内在规律缺乏深入调查认识，我们未能完全从造成人口数量、结构的机理角度提出完整的数学模型，预测更多地依赖对已有数据的处理；另一方面，基于数据的预测方法较为单一，都是根据拟合原始数据得出预测结果。又因为实际中影响人口数量、结构以及医疗床位需求的因素复杂多变，因此我们的预测模型只能进行短期预测，具有较大的局限性，有待进一步改进，使之更为完善。 参考文献【1】 成艳，聂锐，灰色预测模型GM（1，1）在江苏省能源消费量预测中的应用（中国矿业大学管理学院，江苏徐州221116） 【2】 运筹学教材编写组，运筹学（修订版），北京：清华大学出版社，1990。【3】 叶其孝主编，大学生数学建模竞赛辅导教材（三），长沙：湖南教育出版社，1998。【4】 白其峥主编，数学建模案例分析，北京：海洋出版社，2000。【5】 深圳市医疗卫生与计划生育办统计年鉴【附录】Matlab程序1.先说明灰色模型可以很好的预测clc,clearx0=701.24 724.57 746.62 778.27 800.8 827.75 871.1 912.37 954.28 995.01 1037.2;n=length(x0);lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n);range=minmax(lamda);x1=cumsum(x0);for i=2:nz(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1);endB=-z(2:n),ones(n-1,1);Y=x0(2:n);u=BY;x=dsolve(Dx+a*x=b,x(0)=x0,t)x=subs(x,a,b,x0,u(1),u(2),x1(1)yuce1=subs(x,t,0:10)digits(11),y=vpa(x); %为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解yuce=x0(1),diff(yuce1)t1=0:10;t2=0:10;plot(t1,yuce,b,t2,x0,r*)epsilon=x0-yuce %计算残差delta=abs(epsilon./x0) %计算相对误差%rho=1-(1-0.5*u(1)/(1+0.5*u(1)*lamda %计算级比偏差值2.预测未来12年人口变化（11-22年）clc,clearx0=701.24 724.57 746.62 778.27 800.8 827.75 871.1 912.37 954.28 995.01 1037.2;n=length(x0);lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n);range=minmax(lamda);x1=cumsum(x0);for i=2:nz(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1);endB=-z(2:n),ones(n-1,1);Y=x0(2:n);u=BY;x=dsolve(Dx+a*x=b,x(0)=x0,t)x=subs(x,a,b,x0,u(1),u(2),x1(1)yuce1=subs(x,t,0:22)digits(11),y=vpa(x); %为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解yuce=x0(1),diff(yuce1)t1=0:22;t2=0:10;plot(t1,yuce,b,t2,x0,r*)3.预测08-10年每千人口床位数：clc;clear;format longa=1.90 1.93 2.15 1.60 1.72 2.20 2.14 2.26 2.00 1.68 1.53 1.58 1.50 1.74 1.78 1.83 1.95 2.08 2.18 2.25 2.30 2.38 2.38 2.46 2.44 2.52 2.03 2.07 2.10 ;b=1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 ;p=find(b1979);%取79年以后%画图a=a(p); b=b(p);hold on;grid on;plot(b,a,*r)p=find(b1979);%取79年以后%画图a=a(p); b=b(p);hold on;grid on;plot(b,a,*r)p=find(b2002);%取79年以后%画图a=a(p); b=b(p);hold on;grid on;plot(b,a,*r)p=find(b2002);%取79年以后%画图a=a(p); b=b(p);hold on;grid on;plot(b,a,*r)p=find(b2002);%取79年以后%画图a=a(p); b=b(p);hold on;grid on;plot(b,a,*r)p=find(b2020);%取96年以后%画图a=a(p); b=b(p);%模型拟合%先线性拟合得总体趋势p=polyfit(b,a,1)fun=ffor1 x0=440 1 2002 0.001 2*3.14/4 2006 1;%这个初值给的很重要，下面的二乘发可能是用迭代法在临近点处调整得到最优值x,resnorm=lsqcurvefit(fun,x0,b,a)bb=b(1)-2:0.1:b(length(b)+15;aa=fun(x,bb);%求出拟合后的平滑曲线上的点plot(bb,aa,k);%画出曲线图%根据拟合与原始数据偏差，得出偏差值tc=fun(x,b);%c为拟合个点的拟合值t=c-a;%用多项式去拟合偏差，并修正拟合值，得到修正的值1p=polyfit(b,t,2);tt=polyval(p,bb);aa1=aa-tt;%拟合值减去偏差值就得到偏差修正值%三次函数加周期周期函数的方法拟合偏差，并对拟合值进行修正得到修正值2p=polyfit(b,t,2);%fun=inline(x(1)+x(2).*xdata+x(3)*(xdata).2+sin( x(4)*xdata+x(5) ).*x(6).*(xdata),x,xdata);%x0=p(3) p(2) p(1) 2*3.14/4 1997 1;x,resnorm=lsqcurvefit(fun,x0,b,t);tt=fun(x,bb);%把偏差拟合后的光滑曲线上点求出来%aa2=aa-tt;%拟合值减去拟合得偏差值，就得到修正值%偏差计算p=find(bb=2010)%aa(p)aa1(p)%aa2(p)plot(bb,aa1,-g)%plot(bb