第4讲n阶行列式定义.doc

第一章行列式 （一）n阶行列式的定义第四讲 n阶行列式定义（一） n阶行列式定义我们接上一讲-二阶、三阶行列式的定义，本讲中我们将首先介绍全排列及其逆序数，其次看阶行列式的定义3. 全排列及其逆序数定义3 把个不同元素排成一列，叫做这个元素的一个全排列（也简称排列）或级排列。注 (1) 由于可将 个不同元素按1-进行编号，所以个不同元素的全排列可看成这个自然数的全排列，以后我们就用来表示个不同元素。(2) 的全排列的个数-种，通常用表示。由高中数学知识知，个不同元素的全排列共有种，通常用表示。(3) 标准排列（或自然排列）显然也是一个全排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的，称此排列为标准排列（或自然排列）；其它的排列或多或少地破坏自然顺序，我们用逆序数来衡量被破坏的程度.如全排列：2341， 4312，4321，破坏了自然顺序。定义4 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.注： 排列的逆序数记为定义5 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列.例3 讨论 1 ， 2 ， 3 的全排列。 全排列 123 231 312 132 213 321 逆序数 0 2 2 1 1 3 奇偶性 偶 奇 下面讨论计算排列的逆序数的一种方法：设为 的一个全排列，则其逆序数为：，其中为排在前，且比 大的数的个数。 例4 求逆序数（1） 求的逆序数； （2）求的逆序数。解：(1)由于，所以;(2)由于，所以现在我们来讨论n阶行列式定义.4. n阶行列式定义为了作出n阶行列式定义，先来研究三阶行列式的结构。三阶行列式定义为=。 （3）容易看出：(i) （3）式右边的共有6项并且每一项恰好是三个元素的乘积，这三个元素位于不同行、不同列的，因此（3）式右边任一项除正负号外可以写成。这里的行标排成自然顺序123，而列标排成，它是三个数的某个排列，这样的排列共有6种，对应（3）式右边共含6项。(ii) 当各项的行指标按自然顺序排列时，各项的正负号与列标的排列对照：带正号的三项列标排列是：123，231，312；带负号的三项列标排列是：321，213，132经计算可知前三个排列都是偶排列，而后三个排列都是奇排列，因此各项所带正负号可以表示为，其中为列标排列的逆序数。综上可知，三阶排列可以写成，其中为排列的逆序数， 表示对三个数的所有排列取和。容易验证，二阶（级）行列式，也可以表示成上述形式，即二阶（级）行列式共有2!项且每一项恰好是2个元素的乘积，这2个元素位于不同行、不同列的；当各项的行指标按自然顺序排列时，各项的正负号由列标的逆序数决定，显然项前带正号，项前带负号。仿此，可以把二、三阶行列式推广到一般情形-n阶行列式定义6 由个数()组成的行列的记号 称为n阶行列式，它等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，其中是的一个排列。每一项都按下列规则带有符号：当是偶排列时，前带有正号，当是奇排列时，前带有负号，即就是，这里 表示对的所有排列取和。注记：I.只要大家掌握以下四点，就将n阶行列式完全掌握。(1) n阶行列式是一个代数和 (2) n阶行列式有n！项，(3)n阶行列式中每一项的组成，(4) n阶行列式中每一项的符号。II. n阶行列式常简记为，其中数成为行列式的一般元素。这是由于行列式的英文是“determinant”，所以常用表示行列式，或者用表示行列式。II. 一阶行列式，注意不要与绝对值记号相混淆。现在我们看几个特殊的行列式。例 5 特殊的n阶行列式（1）n阶对角行列式-主对角线以外元素都是0的行列式，其中主对角线上的元素是，未写出的元素都是0。（2）n阶副对角形行列式-副对角线以外元素都是0的行列式（3）n阶上三角形行列式-主对角线以下元素都是0的行列式。（4）n阶下三角形行列式-主对角线以上元素都是0的行列式。（5）n阶副上三角形行列式-副对角线以下元素都是0的行列式（6）n阶副下三角形行列式-副对角线以上元素都是0的行列式证明： 只证（3），（5），其它是类似证明。（3）设，由于当，故的各项中可能不为零的元素为，其下标应为，即，。在所有排列中，能满足上述关系的排列只有一个自然排列，所以中可能不为零的项只有一项，此项的符号为，从而。（5）设，由于当，故的各项中可能不为零的元素为，其下标应满足，即，。在所有排列中，能满足上述关系的排列只有一个排列，所以中可能不为零的项只有一项，此项的符号为，从而。例6 计算行列式：（3）上面都是副对角形行列式，都是副对角线上元素的乘积，其前加上适当的符号，正负号由的奇偶性决定，请大家思考在什么情况下是奇数，或是偶数？小结：1.n阶行列式是由n2个数排成的符号后按某种确定运算规律得到的一个数.因此,行列式这个名称有”运算表达式”与”数值