竞赛均值不等式专题讲解.doc

均值不等式专题讲解一、几个重要的均值不等式当且仅当a = b时，“=”号成立；当且仅当a = b时，“=”号成立；当且仅当a = b = c时,“=”号成立； ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.注： 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； 熟悉一个重要的不等式链：。.二、用均值不等式求最值利用均值不等式求最值的记忆口诀为：“一正二定三相等”，三者缺一不可：一 正：利用均值不等式解题要先保证各式都是正数；二 定：求和的 积要固定，求积的 和要固定；三相等：只有在各式都相等的前提下，和与积才能取到最值。例1：下列命题中正确的是【 】A、的最小值为；B、的最小值为；C、的最小值为； D、的最小值为。点评：各式都是正数是利用均值不等式解题的前提，缺少这个条件足以致命。例2：你能指出下列推导过程错在哪里吗？ 若，则；若，则；若，则。点评：只有在各式都相等的前提下，均值不等式才有可能取等号，实践中要注意验证。例3：已知，则的最小值是 。函数的最大值是 。函数()的值域是 。若、为正数，且，则的最大值 。点评：本例应采用拼凑的思想解答，主要包括：先加再减、先乘再除、先平方再开方。例4：若，则的最小值是 。函数的最小值是 。函数的最小值是 。设、均为正常数，函数的最小值是 。点评：本例应采用拆分的思想解答，把函数式拆成两项或两项以上，问题就会明朗起来。例5：已知，且，则的最小值为 。若且，则的最大值为 。已知，则的最小值为 。点评：把已知条件和所求式子结合在一起，先进行彻底地变形，方能用上均值不等式。例6：已知，则函数的最大值为 。函数的最大值为 。若，则的取值范围是 。函数的最大值为 。点评：如果各式都是负数，必须先全部转化成正数，然后再把负号处理掉。例7：已知，则函数的最小值 。若，则的最小值为 ，的最小值为 。若，则的最大值为 ，的最大值为 。点评：新教材只保留两个正数的均值不等式，但有一些题目两个正数的均值不等式是解决不了的，这时我们可以将两个正数拆成三个正数，切记：往往遵循对半拆的原则。例8：函数的最小值为 。已知，则的最大值为 。点评：均值不等式并不是万能的上帝，其实求最值的办法还有很多，你知道多少呢？例9：已知正数、满足，求的最小值。错解：， ， ，的最小值为。点评：因为均值不等式要求比较苛刻，所以多次使用均值不等式常常会引起错误。巩固练习：1、已知：且，则的最大值为【 】(A) (B) (C) (D)2、若，且恒成立，则a的最小值是【 】(A) (B) (C)2 (D)13、已知下列不等式：；.其中正确的个数是【 】(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个4、设，则下列不等式中不成立的是【 】(A) (B) (C) (D)5、设且的最大值是【 】(A) (B) (C) (D)6、若实数满足，则的最小值是【 】(A)18 (B)6 (C) (D)7.若，则下列不等式恒成立的是【 】A、 B、 C、 D、8.已知，则、的大小关系是【 】A、 B、 C、 D、9.已