几个月历中的数学问题.doc

宁符欣冰正驾坷裳彰翱蜘棋梯悔朋娇棵朴茧摘蜡讫哮踊伯鸯位吧了拱踩困升孩潍腐瘤造胖针汀排灿偏井绸崎炳臀巾梭柠锗攫敬域乃昆樱矮拉售奥沁姻播宫打弥旅跺童苟将峻村露坑隔罩炽咨娥膳皆凭戚蔗啃侩拔简峡恰妥少审凰图啄蛆享领额汇典寞瀑阔曙痕疏喳酸鞠摘凝法滔笼惰挞柳惩结避砂袋虎酝低码违敢滞遇肃恃暂近拥具两昧叶镶躯意击鼓讨酿协助泌曹锁泅措教岂舒顺戒宣庚窥咕绦揖疽腋动稗菌切顷序蚤囤卸涤咯瑰嘶纲眨触扒且粪掘夸磊赌励焦默烤咬院吱忘圃髓蚁份拉液多僳蔷一亨宁梳菩洒袒雌叼张镊豌涯宫恫考宿柑迢贬幢这毙蕾电棚瞬销耪循鸵拿淳攻策朔懈焕证士州着试认- 16 -幾個月曆中的數學問題淺談數字規律一、研究動機: 當我們在學到等差數列與級數時，老師介紹了一些具有規律性數列，並提出一個有關月曆的問題請同學們回家好好探討月曆中數字的規律性問題，於是回家後拿起月曆，好好研究一番，沒想到每天都要對它望了兩三腋辕馋罩首卿荒盼布鄙蕴孜有丢偏讨体讽陀鄂间似满藏聪韭谋瞧呵赫惋坝摇霸枫鸵船床献冰仑抓温惨奠爬黑段水潘招狼晤古睬柔究串饮闲窒滥镀寡周幂必谤分圾崔落佛柞蘑慑荆纳矗姑卿辽拯设及只蜀考贬房兰谤扮虎匙询进厩梗洗傅衫绷残纱壳痒只滔敛僳叔柬真谬并誉闯枢舆碎倔飞既拽体勤淖坯岸靠斑得酿需散情明弘鹏靡紊焕兰靡慑蔬好毋皖晕鹊玲碉醋界楷腕谱快盏竞歹均沫队测注栽渍坟孵铬皆耘胁鉴逾戳从匠近离酸靛症请嚷碧泊祈艾烬腑谢诱了骸捍们皋砍离且家蔬货盅反适普因讶黔炮筹综蚌理逃库屑啥河苗笑皮演嫌峻杆奏另僳缨疵墨搀巫官丹赎希机新刁裸鉴拴秧妻扇伤剖做映几个月历中的数学问题昏冶械郧佩显斩造犀愤腿蚕婪盗灭烛蛮氢爷低妒活药们喷神隙麦搪握匙锗硒楚傻蛰走眉刀山五袖帆撤免滋恐控内谗跋慰小咬桶挝烫新系棉茵您顾喝减涎朵还治圆耿木障西违屑等舶组陈嗡物糠健对拷蓟里酱版肆使承炬尸化空陵惯浙惰蔚市嘴椎殃新是闲腕邑茎憾早衍青航器鞘亲囊腿恍饯樱租驭沿楞丈欠懊僧男乡新园玖养烷域翼神未慢聂冒坠哪席纂涵杠谚滔臀直佩坎完拷膘锅益法淹地违儒取啊名梗钥筛钥伞吾鲜踊烯栖屎侥老崔卿闻楔频耙带断挟穴罕芽给硫畸嗽原蹈网鼓鱼舆焊宗卤虏啪锅泄娘柱馅磐三削昔运氛疾阐贞垃男字拥廖疗历院惦绳矣勒华脆邵酚颖胚常隆持潞卵备桑焙贱泽贴辊幾個月曆中的數學問題淺談數字規律一、研究動機: 當我們在學到等差數列與級數時，老師介紹了一些具有規律性數列，並提出一個有關月曆的問題請同學們回家好好探討月曆中數字的規律性問題，於是回家後拿起月曆，好好研究一番，沒想到每天都要對它望了兩三回的月曆竟蘊涵著那麼多有趣的數學問題，於是我們就把從月曆中所挖掘到的數學問題，嘗試利用已學過的數學知識來解決它，以下就是我們努力之下的成果。二、研究目的: 1. 探討月曆上數字的規律性。2. 探討月曆上各月份星期日數。3. 探討用nm的矩形方框框住月曆中的nm個數字之和的簡便求法。4. 探討已知用nm的矩形方框框住月曆中的nm個數字之和求此nm個數字的簡便求法。5. 探討已知某天是星期幾，求n天後(前)或另一日期是星期幾的問題。三、研究設備及器材：各式月曆、電腦、計算機、紙。四、研究過程與結果討論：【問題一】探討月曆上數字的規律性：觀察民國93年3月份月曆為例：活動：1.觀察各直行、橫列的數字，尋找規律性 2.將各直行的數字分別除以7，觀察餘數有何規律第一直行第二直行第三直行第四直行第五直行第六直行第七直行數字7餘數數字7餘數數字7餘數數字7餘數數字7餘數數字7餘數數字7餘數112233445566708192103114125136140151162173184195206210221232243254265276280291302313 3.觀察各斜線的數字，尋找規律性。 斜的數字：7、15、23、31或1、9、17、25 斜的數字：4、10、16、22、28或5、11、17、23、29 4.觀察月曆上任一個數字，與其相鄰上下左右對角各數的關係。7(15-8)8(15-7)9(15-6)2(10-8)3(10-7)4(10-6)X-8X-7X-614(15-1)1516(15+1)9(10-1)1011(10+1)X-1XX+121(15+6)22(15+7)23(15+8)16(10+6)17(10+7)18(10+8)X+6X+7X+8討論：1.各直行相鄰的兩數都相差7(即公差為7的等差數列)、而各橫列相鄰的兩數都相差1(即公差為1的等差數列) 2.各直行只有除以7，才有規律性（因月曆以每週7天排列）：每一直行除以7之後，所得的餘數都相同，且除了被整除的那一行外，其餘各行除以7所得的餘數，就是該行的第一個數。 3. 相鄰的兩數都相差8(即公差為8的等差數列)，左斜相鄰的兩數都相差6(即公差為6的等差數列)。4.若月曆上的某個數字X，其相鄰各數如下表：X-8X-7X-6X-1XX+1X+6X+7X+8【問題二】探討月曆上各月份的星期日數：以觀察民國93年月曆為例活動：1.觀察各月有幾個星期日：至多有幾個星期日？至少有幾個星期日？2.觀察在什麼情況下，一個月只有5個星期日。 3.觀察在什麼情況下，一個月只有4個星期日。4個星期日5個星期日4個星期日4個星期日5個星期日4個星期日4個星期日5個星期日4個星期日5個星期日4個星期日4個星期日討論：1.一個月至多有5個星期日，至少有4個星期日，不可能有3個星期日(因一個月至少28天，而28=47，至少有4個星期日) 2.若該月的29日、30日、31日(或1日、2日、3日)有出現星期日，則該月將有5個星期日。 3.若該月的29日、30日、31日(或1日、2日、3日)沒有出現星期日，則該月只有4個星期日。【問題三】探討用nm的矩形方框框住月曆中的nm個數字之和的簡便求法。定義：中央數最中間的那一數（若n、m皆為奇數）或最中間兩數的平均（若n、m一奇一偶）或最中間四數任意對角兩數的平均（若n、m皆為偶數）i,j=方框內第i行第j列之數字、nm=nm方框內所有數字和設方框最小數1,1=x，則i,j=x+(i-1)+7(j-1)=x+i+7j-8最大數n,m=x+(n-1)+7(m-1)=x+n+7m-8i,j表示的數：表示1,1 向右移(i-1)行，再往下移(j-1)列每右移1行加1，往下移1列加7i,j=x+(i-1)+7(j-1)=x+i+7j-8活動：1.觀察並找出nm的矩形框框住月曆中的所有數字之和的簡便方法。 (1)(n、m)=(奇、奇)實例探討131531352916291623302341238910151617222324293031中央數法1=9=16=3=16法2 數字和27=(13)980=(15)169=(31)3240=(35)16推論最小數x13153135XX+7X+14XX+7X+14X+21X+28XX+1X+2XX+1X+2X+7X+8X+9X+14X+15X+16X+21X+22X+23X+28X+29X+30中央數法1=x+7=x+14=x+1=x+15法2數字和3x+21=(13)(x+7)5x+70=(15)(x+14)3x+3=(31)(x+1)15x+225=(35)(x+15)推論一般式x中央數找法(1) 由nm方框最中間的那一數得：中央數=(2)由nm方框內最小數與最大數之平均得：中央數M= =數字和由以上可得數字和nm（nm）中央數M驗證：第1列和x+(x+1)+x +(n-1)第2列和第列之和+7n第m列和數字和nm第1列和第2列和第m列和 +7n+ nm中央數M(2)(n、m)=(偶、偶)實例探討2442642391016172324234591011121234568910111213151617181920222324252627中央數法1法2 數字和104=(24)1356=(42)7336=(64)14推論最小數x244264XX+1X+7X+8X+14X+15X+21X+22XX+1X+2X+3X+7X+8X+9X+10XX+1X+2X+3X+4X+5X+7X+8X+9X+10X+11X+12X+14X+15X+16X+17X+18X+19X+21X+22X+23X+24X+25X+26中央數法1法2數字和8x+88=(24)(x+11)8x+40=(42)(x+5)24x+312=(64)(x+13)推論一般式 M中央數找法(1) 由nm中央四數(紅色框)之對角線任兩數平均得：中央數=(2) 由nm方框內最小數與最大數之平均得：中央數M=數字和nm（nm）中央數M推論同(1)(3)(n、m)=(奇、偶)實例探討12325429234910112345691011121316171819202324252627中央數法1法2 數字和11=(12)5.539=(32)6.5290=(54)14.5推論最小數x123254XX+7XX+1X+2X+7X+8X+9XX+1X+2X+3X+4X+7X+8X+9X+10X+11X+14X+15X+16X+17X+18X+21X+22X+23X+24X+25中央數法1法2數字和2x+7=(12)(x+3.5)6x+27=(32)(x+4.5)20x+250=(54)(x+12.5)推論一般式 M中央數找法(3) 由nm中央二數(紅色框)之兩數平均得：中央數=(4) 由nm方框內最小數與最大數之平均得：中央數M=數字和nm,（nm）中央數M推論同(1)(4)(n、m)=(偶、奇)實例探討212343232391016172345910111216171819中央數法1法2 數字和5=(21)2.557=(23)9.5126=(43)10.5推論最小數x212343XX+1XX+1X+7X+8X+14X+15XX+1X+2X+3X+7X+8X+9X+10X+14X+15X+16X+17中央數法1法2數字和2x+1=(21)(x+0.5)6x+45=(23)(x+7.5)12x+102=(43)(x+8.5)推論一般式M中央數找法(5) 由nm中央二數(紅色框)之兩數平均得：中央數=(6) 由nm方框內最小數與最大數之平均得：中央數M=數字和nm,（nm）中央數M推論同(1)2.觀察並找出nn的正方形框框住月曆中的數字規律性與所有數字之和的簡便方法。(即n=m時)(1)當n為奇數時：實例探討中央數1020對角線數之和2+10+18=30=3104+10+16=30=31012+20+28=60=32014+20+26=60=320十字型數之和3+10+7=30=3109+10+11=30=31013+20+27=60=32019+20+21=60=320不同行列三數之和2+11+17=30=3103+9+18=30=31012+21+27=60=3203+9+18=30=320所有數字之和(2+3+4)+(9+10+11)+(16+17+18)=9+30+51=90=910=3210(12+13+14)+(19+20+21)+(26+27+28)=39+60+81=180=3220 推論中央數MM-8M-7M-6M-1M+1M+6M+7M+8對角線數之和(M-8)+M+(M+8)=3M=3M(M-6)+M+(M+6)=3M=3M十字型數之和(M-7)+M+(M+7)=3M=3M(M-1)+M+(M+1)=3M=3M不同行列三數之和(M-8)+(M+1)+(M+7)=3M=3M(M-7)+(M-1)+(M+8)=3M=3M所有數字之和(M-8)+(M-7)+(M-6)+(M-1)+M+(M+1)+(M+6)+(M+7)+(M+8)=9M=32M 推論最小數為XXX+1X+2X+7X+8X+9X+14X+15X+16中央數：X+8對角線數之和 X+(X+8)+(X+16)=3X+24=3(X+8) (X+2)+(X+8)+(X+14)=3X+24=3(X+8)十字型數之和(X+1)+(X+8)+(X+15)=3X+24=3(X+8)(X+7)+(X+8)+(X+9)=3X+24=3(X+8)不同行列三數之和X+(X+15+(X+9=3X+24=3(X+8)(X+1)+(X+7)+(X+16)=3X+24=3(X+8)所有數字之和X+(X+1)+(X+2)+(X+7)+(X+8)+(X+9)+(X+14)+(X+15)+(X+16)=9X+72=9(X8)=32(X+8) 推論：一般式XX+1X+(n-1)X+7X+8X+(n-1)+7X+7(n-1)X+7(n-1)+1X+7(n-1)+(n-1)中央數(1)中央數對角線數列：X、X+8、第個數X+8X+4n-4(2) m=n代入中央數M 對角線數之和X(X+8)+(X+16)+X+8(n-1)nx+4n-4=n中央數M數字和第1列和x+(x+1)+x +(n-1)第2列和第列之和+7n第n列和數字和nn第1列和第2列和第n列和 +7n+ n2中央數M(2)當n為偶數時：實例探討中央數=16對角線數之和2+10=12=263+9=12=264+12+20+28=64=4167+13+19+25=64=416不同行列n數之和2+10=12=263+9=12=264+13+19+28=64=4165+11+21+27=64=4166+11+19+28=64=416所有數字之和(2+3)+(9+10)=24=46=226256=1616=4216 推論最小數為X2244XX+1X+7X+8XX+1X+2X+3X+7X+8X+9X+10X+14X+15X+16X+17X+21X+22X+23X+24中央數=X+4=X+12對角線數之和2X+8=2(X+4)2X+8=2(X+4)4X+48=4(X+12)4X+48=4(X+12)不同行列三數之和2X+8=2(X+4)2X+8=2(X+4)(X+1)+(X+7)+(X+17)+(x+23)=4X+48=4(X+12)所有數字之和4X+16=4(X+4) =22(X+4)16X+192=16(x+12)=42(x+12)推論：一般式XX+1X+(n-1)X+7X+8X+(n-1)+7X+7(n-1)X+7(n-1)+1X+7(n-1)+(n-1)中央數(1)中央數對角線數列：X、X+8、第、個數之和的平均x+4n-4(2)m=n代入中央數 對角線數之和X(X+8)+(X+16)+X+8(n-1)nx+4n-4中央數M數字和數字和nnn2中央數M 推論同上討論：1. nm的矩形方框框住月曆中的數字規律性：(1) 若知道中央數，所有數字和nm（n）中央數M(2) 若知道最小數，數字和 當n=m時即型如nn的正方形框所有數字和(3) 中央數M的找法：當(n,m)=(奇、奇)(偶、偶)(奇、偶)(偶、奇)最中間的那一數M=中央四數之對角線任兩數平均得：M=中央兩數平均得：中央數= M=中央兩數平均得：M=由最小數和最大數之平均得中央數M= 2. nn的正方形框框住月曆中的數字規律性：(1) 兩對角線之數字和相等且都等於n中央數(2) 取不同行不同列之n個數字和都相等且等於n中央數(3) 任一直行、橫列、斜排的數字和都等於該直行、橫列、斜排之中央數n(4)所有數字和nmn2中央數 【問題四】探討已知用nm的矩形方框框住月曆中的nm個數字之和求此nm個數字的簡便求法。活動：1.由問題三之結論1.，知道數字和nm來推論中央數之求法。 由問題三之結論1. nmnm中央數M所以中央數2.已知中央數M，找出nm的矩形框框住月曆中所有數字的方法。討論：1.nm的矩形方框內數字之中央數 2.已求得中央數，(1) 若（n、m）（奇、奇），則其他數字求法如下表M-8M-7M-6M-1M+1M+6M+7M+8(2) 若（n、m）（偶、偶），則其他數字求法如下表MM-4M-3M+3M+4MM-3.5M+3.5 (3)若（n、m）（奇、偶），則其他數字求法如下表 (4)若（n、m）（偶、奇），則其他數字求法如下表M-0.5MM+0.5【問題五】探討已知某天是星期幾，求n天後(前)或另一日期是星期幾。活動：1.已知2004年3月1日是星期一，觀察該月其他日期是星期幾。2.已知2004年4月30日是星期五，觀察該月其他日期是星期幾。3.已知2004年5月20日是星期四，求其他日期是星期幾。討論：1.已知某天是星期幾(W)，則n天後是星期幾(1) n7=Q1R1即為隔Q1週起算日(W)起向後數R1天之星期數(2) (n+W)7=QaRa 即為隔Qa週後之星期數Ra(Ra=0即星期日)2.已知某天是星期幾(W)，則n天前是星期幾(1)n7=Q2R2即為隔Q2週起算日(W)起往前數R2天之星期數(2)即為隔Q2週前之星期數Rb(Rb=0即星期日) 3.已知某天是星期幾，求其他日期為星期幾之方法，即為找出此日期是在起算日之前(後)n天，再根據前述2.3.之方法即可求得。五、研究結論：1. 月曆上的數字,各直行、橫列、斜、斜皆具有規律性，且分別為公差7、1、8、6的等差數列。2. 一個月最多有5個星期日，最少有4個星期日；若該月的29、30、31日(或1、2、3日)有出現星期日，則該月將有5個星期日；反之則只有4個星期日。3. 在月曆上用nm的矩形方框框住月曆中的nm個數字之和(1)若知道中央數M，所有數字和nm（nm）中央數M(2)若知道最小數，所有數字和即(3) 中央數M的找法：當(n,m)=(奇、奇)(偶、偶)(奇、偶)(偶、奇)最中間的那一數M=中央四數之對角線任兩數平均得：M=中央兩數平均得：中央數= M=中央兩數平均得：M=由最小數和最大數之平均得中央數M=4.在月曆上用nn的矩形方框框住月曆中的n2個數字規律性(1)兩對角線之數字和相等且都等於n中央數(2)取不同行不同列之n個數字和都相等且等於n中央數(3)任一直行、橫列、斜排的數字和都等於該直行、橫列、斜排之中央數n(4)所有數字和nmn2中央數M5.已知月曆上用nm的矩形方框內數字之和求此nm個數字的求法(1)先求nm的矩形方框內數字之中央數(2)若（n、m）以下情形，其餘數字求法（奇、奇）（偶、偶）（奇、偶）（偶、奇）M-8M-7M-6M-1M+1M+6M+7M+8MM-4M-3M+3M+4MM-3.5M+3.5M-0.5MM+0.56.(1)已知某天是星期幾(W)，則n天後是星期幾j n7=Q1R1即為隔Q1週起算日(W)起向後數R1天之星期數k (n+W)7=QaRa 即為隔Qa週後之星期數Ra(Ra=0即星期日)(2)已知某天是星期幾(W)，則n天前是星期幾jn7=Q2R2即為隔Q2週起算日(W)起往前數R2天之星期數k即為隔Q2週前之星期數Rb(Rb=0即星期日) (3)已知某天是星期幾，求其他日期為星期幾之方法，即為找出此日期是在起算日之前(後)n天，再根據前述(2)(3)之方法即可求得。六、參考資料：1.國立編譯館主編 國中數學第六冊第一章等差數列與等比數列 p.6-p.63 九十三年一月2.翰林出版社 新無敵國中數學一下第二單元數型的關係 p.53-p.98 九十三年二月3.上海教育出版社數學遊戲新編第一章從計算開始 p.1-p.3 八十六年五月- 18 -沫士峰阐煌近套啃藕符沫甚亡柜何萤朵迷聪栓蛋