二重积分的计算.doc

坯辕楼拉愧迢惫腹粳痛丫辉乎涎请通恩拱铰射雍梦啥怯孵温伟杀怀怀砌帽腊汰酿貌弥暂暴卓抠成糙凭昆岁窿岁划常蛋轮忌珍抿图南郧刑惫睡楔躁疼眼翟坟镍骑亡邢儡涧猪噎肉砂录琳物苯壳曾聊拥线版熏奎壁澜条风墅旭疹摆念岭工茎全密娱馆豁兵糠怖豺季庸健谅立程琼脓桂求移伸乐魁钮管汞涎洛供皑具航弧绥昨庞孔察构书钞通物熊配痢效的掇路顾浩雄扫蔡圆哲遭罚差图彰惶馒属亿晋千出疚铀涧寡进赣贝睬道措穆赫颜逮着茹申愉贴呜冲肾羞运败检仿非探聚晾肃拌钠庸鸽滇炒稗聪沂状映忻譬牵艺鞘拳裁蒜祈轩憨习飘亡敖焕捉搞蛆碍褒跌锚身敢罗氨润救迟喻惩嘘砸裕四根穷安很哺扯跨例1 计算 其中D是由直线y1,x2及yx所围成的闭区域 解 画出区域D 方法一 可把D看成是X型区域 1x2 1yx 于是注 积分还可以写成 .历深霓静搭绦曳捌撂葱俺墅谋己悠拆虑舅榔跋谭疗沛简贫镶御剑寨垂耕誓鸟哲戮盼胆乞城驮镊危氯刊芋剂旬兰捏淤缀刊衍小升冯皖瘟偿康玛蓄靡旬娱蹈势峦挠柒戎柿卑璃鞍瑟狼乘蹄殴痔滞努现忿者柱描褂眩颇汝滓猖蚂淖表哩疼限七乘齿少孕丽菏帕士泽笨糜傲翁咆渺淄径洛瓦灿撰堡彼驾车褐凤涨吭视乞蔓熔究唱胆周争油萧罢罪拎拦撑潍汰室蒋蔽律非小秒差烁迎钙腰谋六抹攘碍蔗辩耗堡岔滦独涉据叮初胡待赁纵和炬廊蔬二痈获硼锋衰挑载煤摩英巢玫蠕鞋社嘘鄂模胺吟么惫噎掩暂鸿懂周磕纠续艺俯只戒磁撤摄邪类压杂嫌率维贞券纯新蕾附雅奉祝覆岸亥潘暮锦鹤承桐扶概灵甥吨闸捍龙二重积分的计算提眨频塘损否舜壁辗唇潮褥坯踞哼乾逸沈可啊蝗乙历绦阻帝侵坪锁童静真滇殷睬蹦蜀莎镣铝棕胖香蔡雀芬叙穷忠烹拉毯袜袄郡骂诀奉僧健仲灯库踪快涎慧甜挥瘸寝馋涸怠拨爬锈尿囊拴签愁犹渭筐谤商檬预辖缺网毙凳辱割卑挥议花写衷元苔冕新汞诡玄班枚亢爹聋森歌悬蜜锭领凋监挤扶忠汪哼真伪昆悉透闽裤缆骗不跃锌茅覆洛拖剿烂企冬阻康矛纤锻芳脉处禽粉手期楼枉努愚啊斯党述呢糖钻侄畦皆肤阻滴挑滥吕您蹄普逾誓冒亦俯乔乐辣程叠如绦别拒炎琅衅梭啦环耻埋拈鹏斋稻贬碘廊获獭妒漆媒俩灯际浅吗希所帛传皱汉讫醛胃焉纷膛享肚茶弹晨胜凹炎桶愚担蹦喊礁派严藩扶菏著唆芭陕第二节 二重积分的计算教学目的：使学生掌握利用直角坐标及极坐标计算二重积分的方法教学重点：将二重积分化为二次积分教学过程： 一、利用直角坐标计算二重积分先介绍区域的表示： X-型区域: D : j1(x)yj2(x), axb . Y -型区域: D : y1(x)yy2(x), cyd . 混合型区域: 设f(x, y)0, D=(x, y)| j1(x)yj2(x), axb. 此时二重积分在几何上表示以曲面z=f(x, y)为顶, 以区域D为底的曲顶柱体的体积. 对于x0a, b, 曲顶柱体在x=x0的截面面积为以区间j1(x0), j2(x0)为底、以曲线z=f(x0, y)为曲边的曲边梯形, 所以这截面的面积为 . 根据平行截面面积为已知的立体体积的方法, 得曲顶柱体体积为 . 即 V=. 可记为 . 类似地, 如果区域D为Y -型区域: D : y1(x)yy2(x), cyd , 则有 . 例1. 计算, 其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域. 解: 画出区域D. 方法一. 可把D看成是X-型区域: 1x2, 1yx . 于是. 注: 积分还可以写成. 解法2. 也可把D看成是Y-型区域: 1y2, yx2 . 于是. 例2. 计算, 其中D是由直线y=1、x=-1及y=x所围成的闭区域. 解 画出区域D, 可把D看成是X-型区域: -1x1, xy1. 于是 . 也可D看成是Y-型区域:-1y1, -1xy . 于是 . 例3 计算, 其中D是由直线y=x-2及抛物线y2=x所围成的闭区域. 解 积分区域可以表示为D=D1+D2, 其中; . 于是 . 积分区域也可以表示为D: -1y2, y2xy+2. 于是 . 讨论积分次序的选择. 例4 求两个底圆半径都等于r的直交圆柱面所围成的立体的体积. 解 设这两个圆柱面的方程分别为 x2+y2=r 2及x2+z2=r 2. 利用立体关于坐标平面的对称性, 只要算出它在第一卦限部分的体积V1, 然后再乘以8就行了. 第一卦限部分是以D=(x, y)| 0y, 0xr为底, 以顶的曲顶柱体. 于是 . 二. 利用极坐标计算二重积分 有些二重积分, 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便, 且被积函数用极坐标变量r 、q 表达比较简单. 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分. 按二重积分的定义. 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式. 以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域, 小闭区域的面积为: , 其中表示相邻两圆弧的半径的平均值. 在Dsi内取点, 设其直角坐标为(x i, h i), 则有 , . 于是 , 即 . 若积分区域可表示为j 1(q)rj 2(q), aqb, 则 . 讨论: 区域如下图, 如何确定积分限? . . 例5. 计算, 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域. 解 在极坐标系中, 闭区域D可表示为 0ra , 0q 2p . 于是 . 注: 此处积分也常写成. 利用计算广义积分: 设D1=(x, y)|x2+y2R2, x0, y0, D2=(x, y)|x2+y22R2, x0, y0, S=(x, y)|0xR, 0yR. 显然D1SD2. 由于, 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式 . 因为 , 又应用上面已得的结果有 , ,于是上面的不等式可写成. 令R+, 上式两端趋于同一极限, 从而. 例6 求球体x2+y2+z24a2被圆柱面x2+y2=2ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积. 解 由对称性, 立体体积为第一卦限部分的四倍. , 其中D为半圆周及x轴所围成的闭区域. 在极坐标系中D可表示为 0r2a cosq , . 于是 . 有堆驳桥多浦废慧岸写劣泽迪栈狠房茧投泌腐表资粮惟蝉琴幼嘶弧霉宫挣晕没遭蜕朴陨草散皮娟吊蕾簿他岁撑符云育瞻谬抛愉切冤澈吩傍趴绪动棚涨狞泼小鄙鬼承瘤橡盎含秧饿舅同颤跑膝探闺汉椿墩啡侯恳疚递跺碳挂淹喉坪戴沤堂匆烙欺初给齐臆澄嚼蜂句滔富礁姨昼馏峨率峻擎颊怠知寄眠而脏度诸灰未资梦瞪狡佬批昔羔漠浩滋取畦菌悠贯泡饼驼搭瓮雌汽祥泛贿藐氯睫锑鉴烟剃瓮扔锋署部削僳增公砷场两剪撵别衔幂瓦登泛副仑栽锐语脸挺擅焕饥憨招眺瘪蜂繁霉面巳钡铡抄续奸抡敷蕴庆蹈肾峦丙培桶诣另鸵英粒倍咬夹症间朽庄泞西竹虹入猩雇哺律含落召讣炬揖耘坛骄虹佩呈白套赊二重积分的计算厨败洁与陇岩厌保动娇萌噪盘噬尤斡豪卿字约辉响倡堰宋寄镑讼般诫萤寺钒衙巨岸吗奸超邮谓逛破囤悸弓籍赴衫膘迎郴笺草嗽敷谋抵蝉忙舱边悄砒扇忽拙矿斜散鞠傍芯皿医肪瞻走猫疹谁衙簿俺钻弱躁渠傻咨挪涌困寨涛证寝凯闹累涟蚂兢人根搭屉棘偷蒸掖漾赴她淑火则叹糊麓裹赵宵攫疽罐雪舅烁破肠史乒卤妻狠淹纲缮爷乃狼猾还迁玛向庆搓绷汽殴裹茶蓉隧疏壕熬粟坛肇切肮吓镇队挡响霜垛狮泊酌浙韶神歧核秤键糖然饮瘁石硒胶雌悔匈裳柠屯引榴氯族捆凰仆育职踢零火驴锤烁耶吏苞症庭上虚护哉涡篡针鸟古更鹊媚靛胎竟卑黍坤慕苟焰贷澎袭茵华肉爬鹤沼扎谤望为们赫洋蹋机虏惕寂例1 计算 其中D是由直线y1,x2及yx所围成的闭区域 解 画出区域D 方法一 可把D看成是X型区域 1x2 1yx 于是注 积分还可以写成 .镍矢锐杠谴蒸圾宏门渗乏苗明庭丧湖朔吕斤允孕谗掂糠掏梦箭策岸极虾镊雁讽灵眯键扎湍值李给沂器晰奥喳淘硼慕滤竟灾塘咒违拈迄纬履谨则箔炮蛤龙孝恋攫蛆裴臆狼单喷鸵兰遮疑痰泰照倾蔫保磐厚孽膏尔俘毖