一道高考数学试题的解法探究及教学思考

教育资源分享一道高考数学试题的解法探究及教学思考马兴奎（云南省昭通市实验中学）题目：双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1、l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1、l2于A、B两点. 已知、成等差数列，且与同向.（1）求双曲线的离心率；（2）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.一、试题分析本题是2008年高考数学全国卷I文科第22题（理科第21题），是主要考查解析的几何基本思想和基本方法的压轴题，看似平凡，其实是一道可以用来归纳求解离心率的常用方法和技巧的好题，对启迪学生的发散性思维，拓宽学生的解题思路很有帮助。其命题意图是考查学生数形结合、化归与转化的数学思想和方程的思想。考生初读题目，感觉常规，下笔却困难重重。原因是试题的第（1）问对考生的思维能力要求较高，许多考生草读一遍题意，便下笔求解A、B两点的坐标，虽然一些考生能够正确求出A、B两点的坐标为，接下来计算和还较容易，但计算由于计算量大，陷入解题困境，部分考生算出了一个相当复杂的结果；部分考生甚至算了半天也计算不出结果，最后心慌，放弃此题。本文以此题为载体，引导学生一题多解，发散思维，并引发了几点思考，旨在与同行交流。OxyFAB图1二、第（1）问解法探究分析：如图1所示，设双曲线方程为=1(a0，b0)，右焦点为F(c,0)(c0)，则c2=a2+b2.不妨设l1：bx-ay=0，l2：bx+ay=0，依题意=b，=a，由知，只需求出的值即可，可用多种思维建立a与b的关系。解法1（坐标法）:由已知知直线AB的方程为，联立解得，联立解得。因为与同向，所以ab,所以，。又因为、成等差数列，所以，可得a=2b，所以。【点评】联立消元和坐标运算是解决解析几何问题的核心，也是常规解题思想和方法，但往往由于涉及字母较多，计算量大，运算技巧强，使得许多学生“易想难算”，望而生畏，产生恐惧心里，因此，对学生而言是一项艰巨的考验。解法2（勾股定理）: 因为，又由已知知，联立可得，所以= tanAOB，因为与同向，所以AOB=2AOF，即，解得tanAOF =或tanAOF =-2（舍去），因此。以下略。【点评】事实上，由知，只需求出的值即可，进而寻找a与b之间的关系，而恰为渐近线l1 的斜率，由斜率的定义得 =tanAOF，再往下思考，会自然想到AOB=2AOF，通过求出tanAOB =的值再计算，这样思路自然，迅速解答。解法3（方程思想）:由已知得解得：=3：4：5。设=3k，=4k，=5k，k0，则可求得tanAOB =，进而tanAOF =，即。以下略。【点评】在解法2的思维的启发下，利用已知建立三元方程组，从而可以得到、中的任何两个或三个的比值关系，这个解法较为简捷，也激发了学生思维智慧的火花。解法4（三角法）: 设AOF=，则AOB =2，由得，在RtAOB中，即，由万能公式解得，即。以下略。【点评】此解法充分利用直角三角形中的三角函数，把边长的比值问题转化为三角函数的运算，使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系，从而培养思维的灵活性。解法5（角平分线定理）:依题意可知AOF=BOF。由三角形角平分线定理得，再利用比例性质及得，即。以下略。【点评】此解法用到了初中数学中的知识，显示了初中、高中数学知识的连贯性，利用两条渐近线关于实轴对称的特点和三角形角平分线定理建立简洁的比例关系进行求解。解法6（设而不求）:不妨设l1：，l2：，直线AB的方程为，又设，则x2x1,，所以。由得。直线AB的斜率，联立得。以下略。OxyFAB图2H【点评】利用点在曲线上的性质，对点的坐标进行相关设法，设而不求和整体消元是解析法的重要思想和方法，可以简化很多繁琐的运算。解法7（几何法）:如图2所示，过点B作x轴的平行线交渐近线l1于点H，根据两条渐近线关于y轴对称的性质，由得，且AOF=AHB。在RtBAH中，tanAHB=，即tanAOF =。以下略。【点评】此解法充分利用几何图形的性质及特点，巧妙地进行转化，从而简化运算。这种解决问题的思想凸显解析几何的核心问题之一几何问题。三、第（2）问解法探究分析：由（1）知a=2b，双曲线的方程可化为x2-4y2=4b2。由l1的斜率为，知，直线AB的方程为,代入并化简得. 由已知。设直线AB与双曲线交于C(x1，y1)，D(x2，y2)两点，则，下面可用3种解法计算。解法1：AB被双曲线所截得的线段的长为，解之得b=3，从而a=6，所以双曲线的方程为=1。解法2：AB被双曲线所截得的线段的长可以利用直接计算（简化运算量，提高算对的概率），由弦长公式（其中a为消元后得到的一元二次方程的二项式系数），由此可得，解之得b=3，从而a=6。以下略。解法3：由双曲线的第二定义得，则。将代入即可得b=3，从而a=6。以下略。【点评】联立方程，利用根与系数的关系和弦长公式解题是解决直线与圆锥曲线问题的基本方法。基本模式为：联立消元计算值设出点的坐标韦达定理代入化简运算求解问题。四、教学思考1. 在高考数学中学生在解析几何部分的主要问题(1)不能做到正确地读题、审题,不能正确地理解数学的内在联系。(2)不能准确运用概念理解诠释题意。(3)在科学合理的运算与逻辑推理的实际能力上的欠缺。2. 回归课本，狠抓基础，重视挖掘教材的本质与内涵既要立足于对基础知识的强化复习，比如圆锥曲线的定义、圆锥曲线方程、圆锥曲线的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等；又要立足对基本方法的强化训练，比如用定义法、直接法、转移代入法、向量法、消参法、交轨法求轨迹方程，用焦半径公式求弦长等的复习。深化对基本概念、性质和基本方法的理解和掌握，重视知识间的内在联系，特别是知识交会点要重点掌握。同时要指导学生回归课本，重视课本的例题和习题。近几年圆锥曲线的部分高考试题都源于教材又高于教材，这是高考的一个命题趋势，教师在复习中可对每个章节的典型例题作出要求，让学生人人过关。对解决某一问题的基本方法，比如用圆锥曲线定义解决与焦点有关的问题；用违达定理解决直线与圆锥曲线位置关系等，常见的变形思路方法以及这部分的知识可能与哪些知识有联系，要总结归纳上升为结论印成讲义发给学生。以达到巩固双基的目的。3、重视知识间的内在联系，总结常考题型，提升数学思想方法综观近几年高考数学试卷中的圆锥曲线试题，题型新颖别致、自然流畅，内容综合，解法灵活。圆锥曲线的试题涉及到函数、方程、导数、不等式、三角、向量、数列等各章节的知识，常把代数、三角、向量、数列、导数等知识交会在一起成为典型题。而求曲线方程、弦长、角、面积、最值、轨迹、参数的值或取值范围，证明某种关系、证明定值、探索型、存在性讨论等问题是常考的题型，具有一定的综合性和灵活性，计算也较复杂，需要有较强的综合能力。函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想是解析几何的灵魂。考查学生对数学思想方法的掌握程度，在近年的高考数学中尤显突出，在复习中教师可以以专题的形式给学生在这些数学思想方法上进行渗透。4、立足高考热点，一题多解，重视学生运算能力的培养对近几年的高考数学试题，教师要进行深入、全面的探究。总结归纳高考中主要出现的热点题型，然后精选一些高考试题讲解，最好一题多解，帮助学生从多个切入口，较广泛地联系不同的数学知识和思想方法。丰富多彩的解题方法既给学生带来惊喜，又给学生带来美妙的感觉。这样，学生思维一旦打开，智慧的火花必将灿烂夺目。同时还要强调，当题目的解法较多时，要注意择优。解完题后应对题目认真反思：思考题型有何特征，解法有何规律； 题目有哪些解法，其中哪些方法最简便；题目的几种解法中，运算有何规律；在题目的解决过程中，解题的关键何在；涉及哪些基础知识；在题目的解决过程中，有哪些地方容易发生错误；应注意什么问题。注重对学生运算能力的培养，注意运算技巧，因为圆锥曲线问题的解答过程运算量较大，对运算能力要求较高，寻求简捷、合理的运算途径显得十分重要。常用的减“负”途径有：设而不求、活用定义（圆锥曲线的第一、二定义）、妙用性质、根与系数的关系，统一方程、巧用对称等，平时解题要有意识地积累解题经验，提升解题能力。运算能力特别是解析几何中字母的化简变形能力历来是学生比较欠缺的一个方面，要在平时教学