导数与微分的应用举例.doc

江西师范大学2011届学士学位论文江西师范大学数学与信息科学学院 学士学位论文导数与微分的应用举例 Examples of applications of the derivative and differential姓 名：吴文才 学 号：0707010193 学 院：数信学院 专 业：数学与应用数学 班 级：07数学（3）班 指导老师：桂国祥 (讲师） 完成时间：2011年2月22日 27导数与微分的应用吴文才【摘要】本文通过对导数与微分的基本理论来解决数学中的相关问题，通过例题从简单应用和综合应用来说明导数与微分的应用，如在函数单调性、极值，不等式证明、实际问题应用介绍，还有在高等数学中运用导数与微分求不定式极限的介绍。同样在实际中利用微分把非线性函数线性化，复杂的计算简单化，把导数引入经济学, 使经济学研究的对象从常量进入变量, 可以说运动进入了经济学,辩证法进入了经济学, 这在经济学的发展史上具有重要的意义。来说明导数与微分的重要性，以及在数学生活领域的广泛应用。【关键词】导数 微分 函数 极值 近似值Examples of applications of the derivative and differential Wu wen cai【Abstract】 Based on the basic theories of differential and derivative, this paper aims to solve the questions related in mathematics and make an illustration of the application of derivative and differential through the simple application and comprehensive application by instances, such as introduction of application in functional monotonic, extreme, inequality proof and practical questions, and to introduce the methods of using derivatives and differential in higher mathematics to solve questions of quadrate infinitive limit. As well as mineralizing the nonlinear function and the simplification of complex calculation by differential in practice, introducing derivative into the economics research to turn the objects from constant into variables, thus movements and dialectics entering economics, which is a landmark with a vital significance in the history of Economics. The importance of derivative and differential, along with the wide application in mathematics and daily life will both be illustrated in this paper. 【Keywords】derivative differentia functions extreme approximation 目录1 引言12 预备知识23导数与微分的应用63.1导数在函数中的应用63.1.1求函数极值和最值63.1.2求函数的解析式83.1.3判断函数的周期性，奇偶性93.1.4求曲线的切线93.1.5导数的定义求极限113.2导数解决不等式问题123.2.1构造辅助证明不等式123.2.2构造辅助求不等式参数的范围143.2.3微分中值定理解决不等式问题153.3 洛必达法则求未定式的极限163.3.1型不定式极限163.3.2型不定式极限173.3.3其他类型不定式极限183.4微分在近似值中的应用193.4.1计算函数的近似值193.4.2误差估计203.5导数与微分证明恒等式203.6导数与微分探究方程根的存在性或唯一性213.7导数与微分的综合应用233.7.1导数与微分的实际问题建模233.7.2导数在微观经济中的简单应用264小结27参考文献281 引言导数与微分的知识和方法在数学的许多问题上，能起到以简驭繁的作用，尤其体现在判定函数相关性质，曲线的切线，证明不等式，恒等式，研究函数的变化形态及函数作图上.导数是微分学中重要的基础知识, 是研究函数解析性质的重要手段，在求函数的极值,最值方面起着“钥匙”的作用。通过大学的课程，我们对微观经济学一些概念，也有了一定的认识。由导数定义利用极限与无穷小量之间的关系，上式可写即函数在处的改变量课表示成两部分：的线性部分与的高阶无穷小部分。当充分小时，函数的改变量可由第一部分近似代替而计算函数改变量的精确值，微分概念依赖于导数概念，但它具有独立的意义，它是函数的局部线性化.在数学上最容易处理的函数是线性函数，借助微分可使一大批非线性函数转化为线性函数。一般来说是较繁琐、较困难的，但是计算它的近似值相对要容易些.如自由落体运动：，当时间t 取得改变量时，位移s的改变量为：显然当时，是无穷小量，其中第一部分是同价无穷小，而第二部分是比高阶的无穷小量，且当很小时，它比第一部分要小得多，所以可将第二部分忽略掉，而用第一部分近似地表示，即。我们将第一部分称为的主要部分，它是关于的线性函数，计算起来要简便些。2 预备知识 导数它来源于求曲线在一点处的切线和运动物体在某时刻的瞬时速度。因而，导数的几何意义是切线斜率； 导数的几何意义： 曲线在一点处切线的斜率.导数的物理意义： 瞬时速度.一个变量对另一个变量的变化率.导数的概念:设函数在点的邻域内有定义，若极限存在则称函数在点x0处可导并称该极限为函数在点处的导数，记作令 则微分的概念:引例：一片边长为的正方形,它的面积其边长从变化到,问此正方形的面积改变了多少？ 定义11：设函数 在 内有定义，且 如果函数的增量为 可表示为,则称函数在点是可微的，称为函数在点相应于自变量的增量的微分，记为，即. 微分的几何意义:微分是曲线在点的切线在点的纵坐标改量,如图。TyoM0y=f(x)x0QRx0+xxQ 极值定义：设在内有定义，若对任意，恒有)，则称是的一个极大值（极小值），点称为的一个极大值点（极小值点）。函数的极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。函数导数为0的点称为驻点。驻点和不可导点称为极值的可疑点。极值的充分条件： 定理1（第一充分条件）：设在)内连续，在内可导 1)若， 0，则为的极大值. 2)若， 0，则为的极小值. 3)若， 的符号保留不变，则不是极值. 定理1（极值的第二充分条件）：设在x0具有二阶导数，且=0 1)若 0，则为的极小值. 3)若=0，则可能是也可能不是极值. 导数求最值问题的方法：解这类实际问题需要先建立函数关系，再求极值点，确定最值点及最值。 设在闭区间上连续，在开区间内可导，求在上的最大值与最小值。 (1)求出在内的极值也就是时所对应的值 （2）将的极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的那个是最小值.运用导数确定函数单调区间的一般步骤: a 求出函数的导数。b 在函数定义域内解求出递增区间，求出递减区间1罗尔定理1 ：设满足： 1) 在闭区间 上连续。 2) 在开区间内可导。 3) 则在内至少存在一点x，使=0.2拉格朗日中值定理1：设满足： 1) 在闭区间上连续。 2) 在开区间内可导。则在内至少存在一点x，使= (b-a) (x) 若记，则拉格朗日中值定理的结论可写为： 位于与之间。 若记，则拉格朗日中值定理的结论又可写为： 常用的拉格朗日中值公式有下列形式： （介于与之间）； （介于与之间）； ； （介于与之间）； ； ； （介于与之间）。3.柯西定理1 ：设，满足： 1)在闭区间上连续。 2）在开区间内可导且。则在内至少存在一点，使4. 经济学中的边际与弹性 边际 在经济学中，边际是变量关于变量在附近（边缘上）的变化情况，即在附近有微小变化时，变量的变化。当的变化单位很小时，由微分近似计算公式得， 因此，边际值是当，改变一个单位，改变了个单位。 弹性的概念及弹性理论无论在数理经济学的研究，还是在实际应用都会起到重要作用。在经济管理中，弹性对分析产品的需求、供给和收益，给决策者提供有力可靠的理论依据起到了重要作用。 当自变量和因变量代表不同背景的实际问题时，其弹性的意义也不同。如代表某种商品的价格，代表顾客对该商品的需求量，那么表示当产品价格有1%的变化时，相应需求的变化为%。由于需求函数一般是减函数，所以它的边际函数小于零。因此需求价格弹性取负值，经济学中常规定需求价格弹性为 这样，需求价格弹性便取正值。即便如此，经济学上在对需求价格弹性做经济意义的解释时，也应理解为需求量的变化与价格的变化是反方向的。 经济学中对需求价格弹性有下述规定：当某商品的需求价格弹性，则称该商品的需求量对价格富有弹性；当某商品的需求价格弹性，则称该商品的需求量对价格溃乏弹性；当时，则称该商品具有单位弹性。3导数与微分的应用3.1导数在函数中的应用3.1.1求函数极值和最值例1：求在点的最大值与最小值 解： 由在闭区间上连续则令有即解得x=-1,x=3而在内无导数不存的点由， 所以： 例2：已知，设函数在区间内是减函数求的取值范围解： 则函数在区间内是减函数即3（）2+（）+10 a 即3（）2+2a()+10 a2综上可知a2例3：已知为实数，函数.求导数；若，求在上的最大值和最小值.解：由原式得则 由 得，此时 由 得 或，又 ，所以在上的最大值为，最小值为.例4： 已知函数=，-1, ,其中，求的取值范围，使在区间-1, 上是单调函数.解：=+，它在-1, 上是单调函数，当， 即时，为单调递增函数；当， 即时，故为单调递减函数； 综上所述，当时，在区间-1, 上是单调函数. 3.1.2求函数的解析式 例56：设函数为三次函数，其图像与轴的交点为P，且曲线在P点处的切线方程为，若函数在处取得极值，求函数的解析式.解：设，则，依题意有 因为切线的斜率为，所以.把代入，得.所以P点的坐标为，即求得，此时.由函数在处取得极值，则得 ， 解得 ，所以 例6： 设为三次函数，且图像关于原点对称，当时，的极小值为，求函数的解析式. 解：设，因为其图像关于原点对称，即 ，所以 ，则 即 ，所以 .依题意 ，解得 故.3.1.3判断函数的周期性，奇偶性例7：若所给的偶函数可导，则其导函数是奇函数。 证明：设为偶函数 则 =例8：周期函数若可导，则其导数仍为周期函数。 证明： 设为周期是T的函数3.1.4求曲线的切线运用导数的几何意义研究曲线在P（x0 y0）处的切线方程和法线方程在求过点所作函数对应曲线的切线方程时应先判断该点是否在曲线上. 当点在曲线上，即点为切点时，则切线方程为 . 当点不在曲线上时，则设切点坐标为，由先求得切点的坐标，然后进一步求切线方程. 例9：已知抛物线和抛物线，当取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出公切线的方程.分析：传统的处理方法来解决，但计算量大，容易出错，如能运用导数的几何意义去解，则思路清晰，解法简单.解：设分别是直线与、的两个切点. 又，的导数分别为：，所以 ，即 又、有且只有一条公切线，则点A与点B重合，所以，即，有点在上，可知，此时.例10： 已知曲线，直线，且与切与点，求直线的方程及切点坐标.解：由过原点，知，点在曲线上， 又，又 （不符合题意）所以的方程为，切点为.例11：在处切线的斜率。 解： 例12：从椭圆的一个焦点发出的任意光线，经过椭圆反射后，反射光必经过它的另一个焦点。证明：假设为椭圆上的任意一点当时的结论显然成立设，则过此点的切线斜率为与焦点的连线的斜率为，此连线与切线夹角的正切为 K=与另一焦点连线的斜率为此连线与切线夹角的正切为= 两个夹角的正切相等即两个夹角相等3.1.5导数的定义求极限 导数的定义多题目中出现的形式灵活多样，较为简单的类型是直接用导数的定义是作适当的变形即能解决问题，导数是由极限定义，所以就能利用导数来求极限例13：.解：令，由导数定义可得例14：存在，证明，其中为常数.证明：左 .3.2导数解决不等式问题3.2.1构造辅助证明不等式 利用数得出函数单调性来证明不等式，根据不等式的特点构造函数，用导数证明函数得到单调性，从而达到证明不等式的目的。例15：0时 求证 证明：设 当0时 单调递增 也为单调递增函数 = e0-0-1=0例16：证明在上成立 证明：令 可知 =0得0 例17：证明：当时，有不等式x证明：令 当时 01 0 单调递增 得证 为证明 设 令 0 为单调递减当时 0 即0从而0 在上单调递减 所以得证例18：证明不等式（,其中等号仅当时成立 证明：令令得证唯一驻点0为极大值从而是在点内的最大值0即其中等号仅在时成立。3.2.2构造辅助求不等式参数的范围例194：已知，函数在上是单调函数，求的取值范围.解：，由 ，即 ，解得 .当时， ，在上是减函数，在上是增函数，所以在上是单调函数的充要条件是，即 ，解得 . 所以的取值范围为例20：求出的范围，使不等式对任意的都成立.分析: 将含参数的不等式问题转化为函数问题,利用导数求得函数最小值,方可确定出参数的范围.解：令，则 ，再设，可求得 或，当时，； 当时，；当时，. 所以时，取得极小值为，从而有最小值为，则， 故有.解决本题的关键在于构造函数，通过导数判断函数极小值的位置. 3.2.3微分中值定理解决不等式问题例21：证明：当时，成立不等式 证明;令，则在上满足拉格朗日定理条件，从而有 ，即 .因为，所以，代入上式得 ，即 例22： 设且在上单调递减，证明对任意，成立不等式 证明 :不妨设，由题设在区间与上满足拉格朗日定理条件，所以存在及，使得 ， 成立，从而有，.因为，所以.又因为单调递减，从而，于是 ，再由得.例23：设在上连续，在内可导且，对任意有，则在上恒有.证明:在区间上任取一点，则在上满足拉格朗日定理条件，故存在使 所以 又在上也满足拉格朗日定理条件，故 于是 ，则 继续下去可得 .因为，且由在上连续知有界，所以，由夹逼准则知3.3 洛必达法则求未定式的极限求未定式极限的洛必达法则是柯西中值定理的一个应用，它是求极限的一个重要方法，应注意只有“”型、“”型的极限才可以直接用洛必达法则，而对“，”型等其他未定式极限，必须通过通分、取对数等变形方法将其转化为“”型或“”型后，才能使用洛必达法则。3.3.1型不定式极限 1.型不定式极限若函数和满足 （I） （II）在点的某空心邻域内两者都可导且 （III）则 “”型不定式例24： 解：例25：解：例26：解:例27: 解 : 3.3.2型不定式极限若函数和满足 （I） （II）在的某右邻域内两者到可导且 （III) 则例28:解 ：例29: 。解：3.3.3其他类型不定式极限其他类型不定式极限，经过简单变换吧它们化成或型的极限例30: 解 ：这是“”型的极限，求解方法是通分或有理化因式将其化为“”型或“”型极限后用洛必达法则。对本题，通分后化为“”型可两次使用洛必达法则。 例31: 这是“”型的极限，求这类极限的方法是将部分函数取倒数变形为 “”型极限后用洛必达法则， .例32: 这是“”型极限，利用对数性质有，问题归结为求“”型极限。本题变形后为“”型极限，则 （“”型） 3.4微分在近似值中的应用在工程问题中，常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进行计算，往往会费时费力而利用微分则可把一些复杂性的计算公式用简单的近似公式来代替3.4.1计算函数的近似值 函数在处的导数由极限的定义知，当充分小时，所以，利用这个公式可求的函数的近似值. 例33.：计算的近似值解 ：设函数. 显然, 要计算的值就是函数在, 时的函数值 取, , , 由于, = 例34： 不查表，求的值. 解：令，由导数和微分的关系得，因 ，取，于是 ，代入上式得 . 3.4.2.误差估计 若精确度值为A，近似值为A,近似值为a,那么 称为绝对误差，称为相对误差。例35： 测量直径为4m的球时有1%的相对误差，利用公式V=计算球的体积时，相对误差有多大？解：绝对误差：1%=4% 绝对误差 1% 64%=32% 相对误差 3%答：相对误差是3%3.5导数与微分证明恒等式 例36：证明：当时，分析 令当时只要，便有.注意到且，所以有.证明： 令当时有 ，所以.因为在时连续，从而 故即3.6导数与微分探究方程根的存在性或唯一性例37： 若，则方程在上有多少个根？解：设，则，当，时，故在上单调递减.而在与处都连续，且故在上有且只有一个根.例38：取何值时, 关于的方程在上有解？分析：本题亦可结合二次函数的图象, 使得问题转化为区间根分布问题, 但是要分在上有两解和一解两种情况.采用转化思想将与分离开, 利用导数求函数值域, 使得运算量大大减少.解：因为 ，所以 ，将看成的函数，因为 ， 所以函数在上是增函数， 故.例39：设函数在上二阶可导且,则在内至少存在一点，使.证明： 由题设可知，在上可导，从而在上连续，在内可导且，但与是否相等未知。注意到，且在上连续，在内可导，故在上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理可知，存在使，即.于是在区间上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理可知，存在，使.例39：设函数，试确定方程实根的个数。解：显然函数在可导，且易知有4个零点，故在区间，上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理知，至少存在，使，即至少有3个零点。又因为是四次多项式，所以是三次多项式，故至多有3个零点。综上可得，方程恰有3个实根2例40： 设函数在上可导，且，试证：方程在内至少有一个实根。证明：作函数，则在区间上连续，在内可导，且由及有， 所以在区间上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理知，至少存在一点，使，即是方程的一个根。3.7导数与微分的综合应用 3.71导数与微分的实际问题建模 例41： 正方形的棱长从增加到，它的体积大约增加多少？ 解：设正方形的体积为，它放入棱长为,则，取 则 例42：有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm增大到 高度由减少到99cm. 求此圆柱体体积变化的近似值. 解 设圆柱体的半径、高和体积依次为和, 则有 已知,. 根据近似公式, 有 =. 即此圆柱体在受压后体积约减少了例43 :长的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长，那么高为多少时容器的容积最大并求出它的最大容积.解：设容器底面短边为, 则另一边长为，高为.由 且，得.设容器的容积为，则有，所以 令 ，即，解得 （不合题意，舍去）.当时，；当时，.所以函数在上单调递增，在上单调递减.因此，当时，这时，高为，故高为时容器的容积最大，最大容积为例44:铁路上AB段的距离为100Km，工厂C与A相距40Km，AC垂直于AB，今要在AB之间一点D向工厂C修一条公路，使原料供应站B运货到工厂C所用运费最少，问D点应该设在何处?已知每公里的铁路运费和公路运费之比3：5 解：设BD= （0100）每公里的铁路运费和公路的运费之比是3：5 假设铁路的运费为3元,公路的运费是5元则 = =当0 时 3 70x130当070时0 单调递减当70100时0 单调递增当=70时最小 则D点应设在离A处30Km处的位置例45:从南至北的铁路经过B城,某工厂A距此铁路的最短距离为aKm，距北面之B城b Km,为了从A到B运输货物最经济,从工厂建设一条侧轨，若每吨货物沿侧轨运输的价格是P元/Km而沿铁路q元/Km 问测轨应向铁路取怎样的角度？ 解：AD=a BC=b = =当时=当时=相应的运费所需M=3.7.2导数在微观经济中的简单应用 例46： 供给函数为，问当价格时，价格改变一个单位（增加或减少一个单位），供